2025年大学本科二年级（统计学）概率论试题及答案

2025年大学本科二年级（统计学）概率论试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内。(总共6题，每题5分)1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则随着σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定2.设X和Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则（）A.X和Y相互独立B.X和Y不相关C.X和Y相关D.X和Y不独立3.已知随机变量X的概率密度函数为f(x)，则Y=2X+1的概率密度函数为（）A.f(2y+1)B.2f(2y+1)C.1/2f((y-1)/2)D.f((y-1)/2)4.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X1,X2,...,Xn为来自总体X的样本，则样本均值X̄服从（）A.N(μ,σ²/n)B.N(μ,σ²)C.N(nμ,nσ²)D.N(μ/n,σ²/n)5.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X=a}=（）A.F(a)B.F(a+0)C.F(a)-F(a-0)D.F(a-0)6.已知随机变量X的方差为2，则3X+5的方差为（）A.2B.6C.18D.23第II卷（非选择题共70分）7.（10分）设随机变量X的概率分布为P{X=k}=cλ^k/k!，k=0,1,2,...，其中λ>0为常数，求常数c。8.（15分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)={kxy,0<x<1,0<y<1;0,其他}，求：（1）常数k；（2）X和Y的边缘概率密度函数；（3）判断X和Y是否相互独立。9.（15分）设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn为来自总体X的样本，求λ的极大似然估计。10.（20分）为了研究某地区居民的收入水平与消费支出之间的关系，随机抽取了10户家庭，得到如下数据：|家庭编号|收入x（千元）|消费支出y（千元）||----|----|----||1|8|6||2|10|7||3|12|8||4|14|9||5|16|10||6|18|11||7|20|12||8|22|13||9|24|14||10|26|15|（1）求收入x与消费支出y的线性回归方程；（2）对线性回归方程进行显著性检验（α=0.05）。11.（10分）设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求P{|X|>1.96}。答案：1.C2.B3.C4.A5.C6.C7.由概率分布的性质∑P{X=k}=1，即∑cλ^k/k!=1，而∑λ^k/k!=e^λ，所以c=e^(-λ)。8.（1）由∫∫f(x,y)dxdy=1，可得∫₀¹∫₀¹kxydxdy=1，解得k=4。（2）X的边缘概率密度函数fX(x)=∫₀¹4xydy=2x，0<x<1；Y的边缘概率密度函数fY(y)=∫₀¹4xydx=2y，0<y<1。（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互独立。9.总体X的概率分布为P{X=x}=λ^xe^(-λ)/x!，x=0,1,2,...，似然函数L(λ)=∏λ^xie^(-λ)/xi!=λ^(∑xi)e^(-nλ)/∏xi!，取对数得lnL(λ)=(∑xi)lnλ-nλ-ln(∏xi!)，令dlnL(λ)/dλ=0，解得λ的极大似然估计为λ̂=X̄。10.（1）计算可得x̄=17，ȳ=十，lxx=∑(xi-x̄)²=220，lyy=∑(yi-ȳ)²=20，lxy=∑(xi-x̄)(yi-ȳ)=220，b̂=lxy/lxx=1，â=ȳ-b̂x̄=-7，所以线性回归方程为ŷ=x-7。（2）F检验：F=(n-2)b̂²/lxx(1-r²)，r=lxy/√(lxxlyy)=1，F=80，查F分布表得F₀.₀₅