2025年大学本科二年级（统计学）概率论与数理统计综合试题及答案

2025年大学本科二年级（统计学）概率论与数理统计综合试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则随着σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定2.已知随机变量X和Y相互独立，且它们的概率分布分别为P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.5；P(Y=0)=0.5，P(Y=1)=0.5，则P(X=Y)=（）A.0B.0.25C.0.5D.13.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,...,Xₙ为来自总体的样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)=（）A.λB.λ/nC.nλD.λ²4.设随机变量X的概率密度为f(x)，则Y=2X+1的概率密度为（）A.f(2y+1)B.2f(2y+1)C.0.5f(0.5y-0.5)D.f(0.5y-0.5)5.已知随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X=a)=（）A.F(a)B.F(a⁺)-F(a)C.F(a⁺)D.F(a⁻)6.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,...,Xₙ为来自总体的样本，则θ的矩估计量为（）A.2X̅B.X̅C.0.5X̅D.X̅²7.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，则下列结论正确的是（）A.X和Y相互独立B.X和Y不相关C.P(X=Y)=1D.E(XY)=08.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，σ²已知，X₁,X₂,...,Xₙ为来自总体的样本，则μ的置信水平为1-α的置信区间为（）A.(X̅-zα/2σ/√n,X̅+zα/2σ/√n)B.(X̅-tα/2(n-1)S/√n,X̅+tα/2(n-1)S/√n)C.(X̅-zα/2S/√n,X̅+zα/2S/√n)D.(X̅-tα/2(n)S/√n,X̅+tα/2(n)S/√n)9.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=Ck(0.5)ᵏ,k=0,1,2,...，则C=（）A.1B.0.5C.2D.410.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xₙ为来自总体的样本，样本方差S²=1/n∑ᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ-X̅)²，则(n-1)S²/σ²服从（）A.N(0,1)B.N(μ,σ²)C.χ²(n-1)D.χ²(n)第II卷（非选择题共70分）11.（本题10分）设随机变量X的概率密度为f(x)={kx²,0<x<2;0,其他}，求：（1）常数k的值；（2）P(1<X<3)。12.（本题15分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={Cxy,0<x<1,0<y<1;0,其他}，求：（Ⅰ）常数C的值；（Ⅱ）X与Y的边缘概率密度fₓ(x)和fᵧ(y)；（Ⅲ）判断X与Y是否相互独立。13.（本题15分）设总体X的概率密度为f(x)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0为未知参数，X₁,X₂,...,Xₙ为来自总体的样本，求θ的极大似然估计量。14.（本题15分）为了研究某地区居民的收入水平与消费支出之间的关系，随机抽取了10户家庭，得到如下数据：|家庭编号|收入x（千元）|消费支出y（千元）||----|----|----||1|20|16||2|22|17||3|25|20||4|28|21||5|30|22||6|32|24||7|35|25||8|38|26||9|40|28||10|45|30|（1）求消费支出y对收入x的线性回归方程；（2）对线性回归方程进行显著性检验（α=0.05）。（已知F₀.₀₅(1,8)=5.32）15.（本题15分）设总体X服从正态分布N(μ,1)，μ未知，X₁,X₂,...,Xₙ为来自总体的样本，考虑检验问题：H₀:μ=μ₀；H₁:μ>μ₀，取拒绝域为W={X̅>μ₀+zα/√n}。（1）求该检验犯第一类错误的概率α；（）求该检验犯第二类错误的概率β（用标准正态分布函数表示）。答案：1.C2.C3.A4.C5.B6.A7.B8.A9.A10.C11.（1）由∫₋∞⁺∞f(x)dx=1，可得∫₀²kx²dx=1，即k/3x³|₀²=1，解得k=3/8。（2）P(1<X<3)=∫₁²3/8x²dx=3/8×1/3x³|₁²=7/8。12.（Ⅰ）由∫₋∞⁺∞∫₋∞⁺∞f(x,y)dxdy=1，可得∫₀¹∫₀¹Cxydxdy=1，即C/4=1，解得C=4。（Ⅱ）fₓ(x)=∫₋∞⁺∞f(x,y)dy={4x∫₀¹ydy,0<x<1;0,其他}={2x,0<x<1;0,其他}；fᵧ(y)=∫₋∞⁺∞f(x,y)dx={4y∫₀¹xdx,0<y<1;0,其他}={2y,0<y<1;0,其他}。（Ⅲ）因为f(x,y)=fₓ(x)fᵧ(y)，所以X与Y相互独立。13.似然函数L(θ)=∏ᵢ₌₁ⁿθxᵢ^(θ-1)=θⁿ(∏ᵢ₌₁ⁿxᵢ)^(θ-1)，取对数得lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑ᵢ₌₁ⁿlnxᵢ，令dlnL(θ)/dθ=0，解得θ̂=-n/∑ᵢ₌₁ⁿlnxᵢ为θ的极大似然估计量。14.（1）x̅=31.5，y̅=22.9，lₓₓ=∑ᵢ₌₁ⁿ(xᵢ-x̅)²=632.5，lₓᵧ=∑ᵢ₌₁ⁿ(xᵢ-x̅)(yᵢ-y̅)=471.5，b̂=lₓᵧ/lₓₓ=0.745，â=y̅-b̂x̅=0.513，所以线性回归方程为ŷ=0.513+0.745x。（2）F=(n-2)b̂²/lₓᵧ²(1-r²)