甘肃省兰州市示范初中2026届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

甘肃省兰州市示范初中2026届数学高二上期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若等差数列，其前n项和为，，，则（）A.10 B.12C.14 D.162．我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（）A.96 B.48C.24 D.123．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.44．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B.C. D.5．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示.按公式计算，与的回归直线方程是，则下列说法错误的是（）售价99.51010.511销售量1110865A.B.售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位C.当时，的估计值为12.8D.销售量与售价成正相关6．已知实数、满足，则的最大值为（）A. B.C. D.7．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A.10种 B.12种C.16种 D.24种8．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A. B.C. D.9．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（）A.3 B.4C.9 D.2110．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B.C.8 D.11．已知命题是真命题，那么的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：x－10245f（x）312.513f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；②f（x）有2个极大值点；③f（x）的值域为[1，3]；④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4其中，所有正确结论的序号是（）A.③ B.①④C.②③ D.③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；14．若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为_____________15．已知函数则的值为.____16．不等式的解集是_______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的切线，求切线方程18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为（1）求a；（2）若D为BC边上一点，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值19．（12分）已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.20．（12分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少21．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由22．（10分）写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题：（1）若，则；（2）已知为实数，若，则

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，，即，得.故选：B.2、C【解析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.第一天走了里，第4天走了.故选：C3、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B4、C【解析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.5、D【解析】首先求出、，再根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再根据回归直线方程的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，与回归直线方程，恒过定点，，解得，故A正确，所以回归直线方程为，即售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位，故B正确；当时，即当时，的估计值为12.8，故C正确；因为回归直线方程为，所以销售量与售价成负相关，故D错误；故选：D6、A【解析】作出可行域，利用代数式的几何意义，利用数形结合可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，代数式的几何意义是连接可行域内一点与定点连线的斜率，由图可知，当点在可行域内运动时，直线的倾斜角为锐角，当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.故选：A.7、A【解析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A8、D【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.故选：D9、A【解析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A10、B【解析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B11、C【解析】依据题意列出关于的不等式，即可求得的取值范围.【详解】当时，仅当时成立，不符合题意；当时，若成立，则，解之得综上，取值范围是故选：C12、D【解析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，对于①，在区间上单调递减，所以①错误，对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1时，t的最大值为4，所以④正确，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.14、【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程【详解】点到点的距离比它到直线的距离少1，所以点到点的距离与到直线的距离相等，所以其轨迹为抛物线，焦点为，准线为，所以方程为，故答案为：15、-1【解析】详解】试题分析：由题意，得，所以，解得，所以考点：导数的运算16、或【解析】将分式不等式，转化为一元二次不等式求解【详解】因为，所以，解得或.故答案为：或【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）．（或标准形式）（2）或【解析】（1）根据题意，求出中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案【小问1详解】解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，因为，所以的中垂线方程为，即又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，【小问2详解】解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）由圆心C到切线的距离，可得将代入（*），得切线方程为综上，所求切线方程为或18、（1）（2）【解析】（1）利用面积公式及余弦定理可求解；（2）由正弦定理得到，再运用同角函数的关系得到，最后运用正弦的两角和公式求解即可.【小问1详解】∵，，，∴由余弦定理：，∴【小问2详解】在中，由正弦定理得，∴，易知B为锐角，∴，∴19、（1）答案见解析（2）【解析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.【小问1详解】解：求导可得①时，令可得，由于知；令，得∴函数在上单调递减，在上单调递增；②时，令可得；令，得或，由于知或；∴函数在上单调递减，在上单调递增；③时，，函数在上单调递增；④时，令可得；令，得或，由于知或∴函数在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由（1）时，，（不符合，舍去）当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可∴.综上，.20、（1）初中、高中年级所抽取人数分别为45、55（2）2.375小时，2.4小时（3）【解析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.【小问1详解】设初中、高中年级所抽取人数分别为x、y，由已知可得，解得；【小问2详解】的频率为，的频率为，的频率为因为，，所以中位数在区间上，设为x，则，解得，所以学生做作业时间的中位数为2.375小时；平均时长为小时.故估计学生做作业时间的中位数为2.375小时，平均时长为2.4小时【小问3详解】2人来自初中年级，记为，，3人来自高中年级，记为，，，则从中任选2人，所有可能结果有：，，，，，，，，，共10种，其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为21、（1），；（2）过，.【解析】（1）根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解判断即可.【小问1详解】设圆E的圆心为，半径为r，