2025-2026学年上海上师大闵分高三上学期数学月考（含答案）

上师大附中闵分2025-2026学年第一学期高三年级数学月考一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．设集合，则．

2．已知函数为奇函数，则．

3．若，则.

4．记i是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为．

5．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为．

6．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是．

7．若正数满足，则的最小值为.

8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（从中选择作答）．

9．已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为．

10．i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为．

11．已知函数．若有2个不同的实数根，则实数的取值范围为．

12．设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（）.

A．B．C．D．

14．＂＂的一个必要非充分条件是（）.

A．B． C．D．

15．已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（）.

A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有

C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数

D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数

16．对于函数，设：对任意的，均有：对任意的，均有函数为偶函数，则（）.

A．中仅是的充分条件 B．中仅是的充分条件 C．均是的充分条件 D．均不是的充分条件

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知全集为实数集，集合．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知点是坐标原点．

（1）若，求的值；

（2）若实数满分，求的最大值．

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以A为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）．

（1）请以A为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式；

（2）是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆为坐标原点．

（1）求的离心率；

（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；

（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

定义：设和均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为＂相伴函数＂．

（1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为＂相伴函数＂（只需直接给出结论，不需论证）；

（2）若是定义在R上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为＂相伴函数＂；

（3），写出＂和为相伴函数＂的充要条件，并证明你的结论．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知函数．若有2个不同的实数根，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由函数，可得有2个不同的实数根，

即有2个不同的实数根，

所以，

设，则有2个不同的实数根，

所以当时，与的图象有2个不同的交点，

结合函数图象可得．故答案为：．12．设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】∵当时，∴当时，

令，∴为偶函数，

∵当时，∴函数在上单调递减，

∵，等价于即，则当时，即时，由函数在上单调递减，得，解得，

当时，即时，

由为偶函数，得，由函数在上单调递减，得，解得，

综上，的取值范围为，故答案为：．二、选择题13.A14.B15.D16.C15．已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（）.

A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有

C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数

D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【答案】D【解析】由极值的定义可知，当函数在处取得极小值时，

在左侧的函数图象存在点比处的函数值小，

在右侧的函数图象存在点比处的函数值小，故排除；

对于，函数在区间上为严格减函数，

在区间上为严格增函数，则是函数的极小值点；

对于，函数在区间上为严格增函数，

在区间上为严格减函数，则不是函数的极小值点．故选：D.三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）不存在20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆为坐标原点．

（1）求的离心率；

（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；

（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）当时，取得最小值为，当时，取得最大值为（3）存在，使得恒成立．【解析】（1）设的半长轴长为，半焦距为，则，所以．

（2）设

因为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为（3）设，则直线，

将直线方程代入椭圆方程得．

所以，，得，所以存在，使得恒成立．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

定义：设和均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为＂相伴函数＂．

（1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为＂相伴函数＂（只需直接给出结论，不需论证）；

（2）若是定义在R上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为＂相伴函数＂；

（3），写出＂和为相伴函数＂的充要条件，并证明你的结论．【答案】（1）第①组是，第②组不是（2）证明见解析（3）【解析】（1）①和，,所以这两组函数是＂相伴函数＂