广东省肇庆联盟校2026届高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

广东省肇庆联盟校2026届高二上数学期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A. B.C. D.2．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.43．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）A. B.C. D.4．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.5．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A. B.C. D.6．在数列中，，，则（）A.985 B.1035C.2020 D.20707．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A.100 B.120C.130 D.3908．设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（）A. B.C. D.9．已知随机变量，，则的值为（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.7610．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（）A.B.C.D.11．设等差数列的前n项和为．若，则（）A.19 B.21C.23 D.3812．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的导数_________________.14．已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.15．已知的展开式中项的系数是，则正整数______________.16．如图，正方形ABCD的边长为8，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL.依此方法一直继续下去.①从正方形ABCD开始，第7个正方形的边长为___；②如果这个作图过程可以一直继续下去，那么作到第n个正方形，这n个正方形的面积之和为___.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱柱中，，，，四边形为菱形，在平面ABCD内的射影O恰好为AD的中点，M为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样1000汽车调查，得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表：年份20162017201820192020年份代码第x年12345新能源汽车y辆305070100110（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设该地区2022年共有30万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车参考公式：回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，19．（12分）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为A（1）求点A的坐标；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（均与A，不重合），过点与轴垂直的直线分别交直线，于点，，证明：点，关于轴对称20．（12分）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点求椭圆C的方程；若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点21．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率22．（10分）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.2、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.3、D【解析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值【详解】如图，由题意得，，，在中，，在中，，所以，故选：D4、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.5、D【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.【详解】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.6、A【解析】根据累加法得，，进而得.【详解】解：因为所以，当时，，，……，，所以，将以上式子相加得，所以，，.当时，，满足；所以，.所以.故选：A7、A【解析】根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33,从而得到位于30～50的数据的频率之和为1-0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.【详解】位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人,即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得解之得.故选：A8、D【解析】连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】设椭圆右焦点为，连接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，则，由，∵Q在椭圆上，∴，又，解得，∴离心率故选：D9、A【解析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A10、D【解析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.【详解】可化为，∴直线过定点，故选：D.11、A【解析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d，由已知，得，解得，所以.故选：A12、C【解析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.【详解】由题意，是的中垂线，故，由对称性得，则，故，∴.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】根据初等函数的导数法则和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由题意，函数，可得.故答案为：.14、30【解析】根据等比数列性质得，，也成等比，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可知，，，构成首项为10，公比为1的等比数列，所以【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力，属基础题.15、4【解析】由已知二项式可得展开式通项为，根据已知条件有，即可求出值.详解】由题设，，∴，则且为正整数，解得.故答案为：4.16、①.1②.【解析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，然后根据等比数列的通项公式及等比数列的前n项和的公式即可求解.【详解】设第n个正方形的边长为，第n个正方形的面积为，则第n个正方形的对角线长为，所以第n+1个正方形的边长为，，∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，，∴，即第7个正方形的边长为1；∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，故答案为：1；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明，，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为O为在平面ABCD内的射影，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以.如图，连接BD，在中，.设CD的中点为P，连接BP，因为，，，所以，且，则.因为，所以，易知，所以.因为平面，平面，，所以平面.【小问2详解】由（1）知平面ABCD，所以可以点O为坐标原点，以OA，，所在直线分别为x，z，以平面ABCD内过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以,,，，设平面的法向量为，，，则可取平面的一个法向量为.设平面的法向量为，，，则令，得平面的一个法向量为.设平面与平面的平面角为，由法向量的方向可知与法向量的夹角大小相等，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分别算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一问的结果，带入方程即可算出预估的结果.【小问1详解】，，，因为，所以，所以【小问2详解】预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，当时，，该地区2022年共有30万辆汽车，所以新能源汽车.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）先求出直线的方程，联立直线与椭圆，求出A点坐标；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，用韦达定理得到两根之和，两根之积，求出两点的纵坐标，证明出，即可证明关于轴对称.【小问1详解】由题意得，，所以直线方程为，与椭圆方程联立得解得或，当时，，所以【小问2详解】设，，的方程为，联立消去得，则，直线的方程为，设，则，直线的方程为，设，则，因为，即，所以点，关于轴对称20、（1）（2）（3）满足条件的直线不存在，详见解析【解析】根据条件直接求出,进而求出椭圆标准方程;设,表示出,求出其范围;设CD的中点为;由,则;得到其斜率的乘积为,最后列取方程联立计算即可.【详解】解：由题意可知,,则;所以椭圆C的方程为:;由题意可知,,设,则,;所以的取值范围是;假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;则设直线的方程为：；消化简得:;,则;；设，则CD的中点为；,；，则;，即;即,无解;故满足条件的直线不存在.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,向量的数量积,直线的垂直,设而不求的思想方法,关键在于将几何条件进行适当的转化,还考查了学生的综合运算能力,属于中档题.21、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是，由古典概型概率公式可得所求概率为试题解析：（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：，所以低于分的人数为（人）（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为，故抽样学生成绩的及格率是，于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%（3）由（1）知，“成绩低于5