概率论与数理统计第一章课后习题详解

第一章通机事件与＜4裸后灯题裨解

习题「1(p7)

1.解：(1)A1UA2二”前两次至少有一次击中目标”；.

(2).="第二次未击中目标”；

⑶AiA2A3="前三次均击中目标”；

(4)A2Az2"前三次射击中至少有一次击中目标”；

(5)A3-A2="第三次击中但第二次未击中”；

(6)A3^="第三次击中但第二次未击中“；

(7)"前两次均未击中”；

(8)A(A2="前两次均未击中”;..

(9)(A1A2)U(A2A3)U(A3AI)="三次射击中至少有两次击中目标

3•解：(l)ABC

⑵ABC

(3)ABC

(4)AJBJC

(5)ABC

(6)ABBCIJAC

(7)ABC

(8)(AB)(AC)(BC)

4.解：(1)A=BC

(2)A=BJC

习题1-2(PiJ

5,解：设人="从中任取两只球为颜色不同的球”，那么:

6.解：记A二”从中任取三件全为次品”，样本点总数为A包含的样本

点数为c：,所以

C3

P(A)=-r=1/4900

C50

7.解：⑴组成实验的样本点总数为Co,组成事件⑴所包含的样本点数为,

clC2

所以P尸«0.2022

C40

⑵组成事件(2)所包含的样本点数为C；，所以P2=-§-«0.0001

。40

(3)组成事件⑶所包含的样本点数为Cj，所以P3=S-0.7864

Jo

(4)事件(4)的对立事件，即事件A="三件全为正品”所包含的样本

点数为C：,所以P4=1-P(A)=1.胃。0.2136

(5)组成事件(5)所包含的样本点数为所以

P5=--~-"0.01134

。40

8.解：⑴P(A)

(2)因为不含1和10,所以只有2-9八个数字，所以

父7

P(B)=J

107

⑶即选择的7个数字中10出现2次，Bic；,其他9个数字出现5次,

即9，，所以

C；-95

p(c)=

107

(4)解法1：10可以出现2,3,…,7次，所以

解法2：其对立事件为10出现1次或0次，那么P(D尸骨

⑸因为最大为7,最小为2,且2和7只出现一次，所以3,4,5,6这四个

C}C2-45

数要出现5次，即样本点数为所以P(E)二之]涓

习题1-3(P]4)

9,证明：・・•A,B同时发生必导致C发生

二.ABIC,即P(C)2P(AB)

VP(AUB)=P(A)-P(B)-P(AB)

JP(AB)=P(A)+P(B)・P(AUB)

VP(AUB)^1

・・・P(AB)2P(A)+P(B)-1

P(C)2P(A)+P(B)-1

上述得证。

10.证明：

因为P()=P()=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)

因为P(A)=P(B)=l/2

所以P()=1—1/2—l/2+P(AB)

所以P()=P(AB)

11.解：记“订日报的住户”为P(A),“订晚报的住户”为P(B),

根据题意，易知：P(AB)=70%

刃|3么P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=40%+65%-70%=35%

答：同时订两种报纸的住户有35%。

13.解：解法1：

设A二“取出的两只球中有黑球”；A,二"取出的两只球中有i只黑球”

□=1,2);

因为A1,A2互不相容，所以

P(A)=P(AIJA2)=P(AJ+P(A2)=胃+三=|；

解法2：

—A23

P(A)=l-P(A)=l-4=-

设人="取出的两只球中有黑球”年5

习题1-4(P20)

15.解：因为A、B互不相容，即AB=(D,

所以Au百，

所以P(A)=P(A)

LL..P(A)

所以P(A/)=P(A)/P()=7——=0.3/(1-0.5)=0.6

16.解：P(B|A)=P(AB)/P(A)

因为P(A)=l-P(A)=l-0.3=0,7,

所以P(A)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7-P(AB)=0.5

即P(AB)=0.2

又因为P(A)=P(A)+P()-P(A)=0.74-1-0.4-0.5=0.8

所以P(B|A.)=P(AB)/P(AU)=0.25

17.解：设“第三次才取到正品”为事件A,那么

因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。

第一次取到次品的概率为器，

第二次取到次品的概率为行，

第三次取到正品的概率为二O

98

即第三次才取到正品的概率为0.0083o

18.解法1：

设A,B,C分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，那么:

P(A)=1/5P(B)=l/3P(C)=1/4

因为三个事件独立，

所以P(AB)=P(A)P(B)=l/15,P(AC)=P(A)P(C)=l/20,

P(BC)=P(B)P(C)=1/12,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,

所以P(A」BIC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5

解法2：

设人="至少有一人能译出"，那么X二"三个人均不能译出”，所以

19.解：设P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概率，

那么，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),

因为各工序是否出废品是独立的，

所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

=0.9x0.95x0.8

=0.684

20.解：根据题意:该题为伯努利事件。

n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9

所求事件概率为

P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.901

21.解：该题为伯努利事件。

(1)设事件A="恰有2个设备被使用”，那么:

P(A)=b(2;5,0.1)=C；xo.l2x(]・01)5-2=0.0729

(2)设事件B=“至少有一个设备被使用”，

那么二“没有一个设备被使用”，所以

P(B)=1-P()=1-b(0;5,0.1)=1-C;xo.l°x(l-O.l)5-°=0.40951

习题1-504)

22.解：该题为全概率事件。

设4="从甲袋中取出两球中有i只黑球"，i=0』,2,

B二"从乙袋中取出2球为白球”，那么：

19

答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为不。

23.解：该题为全概率事件。

设A尸”敌舰被击中i弹"，(k0』,2,3),

B二"敌舰被击沉”，那么：t

根据题意P(4>0.6X0.5X0.3=0.09

P(A)=0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7=0.36

P(4)=0.4X0.5X0.3+0.5X0.7X0.6+0.4X0.7X0.5=0.41

P(&)=0.4X().5X0.6=().14

P(B|4)=0,P(B|A)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(BIA.)=1

3

根据全概率公式有P(8)=ZP(B/4)P(4)=O,458

/=o

即敌舰被击中的概率为0.458.

24.解：设A)为“从2500米处射击”，A2为“从2000米处射击”,As为“从

1500米处射击”，B为“击中目标”，

由题知P(A1)=0.1,P(A2)=0.7,P(A3)=0.2

P(B|Ai)=0.05,P(B|A2)=0.1,P(B|A3)=0.2

3

所以P(8)=ZP(8/4)P(a)==0.。5•0.1+0.1•0.7+0.2.0.2=0.115

/=1

所以，由2500米处的大炮击中的概率为

P(Ai|B)=P(B|Ai)-P(Ai)/P(B)=0.005/0.115=0.0435

25.解：设事件Ai为“原发信息是A"，事件A?为“原发信息是B”，

B为事件“接收到的信息为A”，那么：

复习题1(P24)

26.解：(1)设在n个指定的盒子里各有一个球的概率为P(A),

在n个指定的盒子里各有一个球的概率：第一个盒子里有n个球可以放入，即

有n种放法，第二个盒子里有n-1种放法……那么事件A的样本点数就是n!,

样本点总数是N%所以P(A)=—(2)设n个球落入任意的

n个盒子里中的概率为P(B),因为是N个盒子中任意的n个盒子，所以样本点

数为•加，所以

27.解：设A=“该班级没有两人生日相同”，那么：

28.解：(1)因为最小号码是5,所以剩下的两个数必须从6,7,8,9,10五个

数中取，所以样本点数为或，样本点总数为金，

所以P(A)=C〃G%=I/12

(2)因为最大号码是5,所以剩下的两个数必须从1,2,3,4五个数中

取，所以样本点数为C；,样本点总数为G%，所以

P(B)=C；/C,；=l/20

(3)因为最小号码小于3,所以

假设最小号码为1,那么剩下的两个数必须从2・10九个数中取，所

以样本点数为样本点总数为Gi；

假设最小号码为2,那么剩下的两个数必须从3.1()八个数中取，所

以样本点数为c：,样本点总数为c；0,

所以P(C)=C；/C1+C；/C1=8/15

29.解：(1)设“恰好第三次翻开门”为事件A,那么

(2)设A="三次内翻开门”,A尸“第一次翻开”,A2=”第二次翻开”,

A3二"第三次翻开”,那么：

30.解：设A=”已有一个女孩"，B="至少有一个男孩"，那么

P(B/A)=P(AB)/P(A)=(6/8)/(7/8)=6/7

31.解：设A尸”取一件为合格品”，A2="取一件为废品“，B=”任取一件为一

等品，那么

32.解：

甲获胜乙获胜

第一局：0.20.8x0.3第二局：0.8x0.7x0.20.8x0.7x08y0.3

第三局：0.8x0.7x0.8x0.7x0.20.8x0.7x0.8x0.7x0.8x0.3第四

局：........

第n局02x(0.8x0.7严0.8x0.3x(0.8x0.7)n4所以获

胜的概率Pi为：

所以乙获胜的概率P2为：

P,_5

因为Pl+P2=l,T=所以:

r2o

33.解：设事件Ao为“笔是从甲盒中取得的"，事件Ai为“笔是从乙盒中取得

的〃，事件A2为“笔是从丙盒中取得的”；事件B为“取得红笔”，那么：

34.解:Ai为三个产品中不合格的产品数(i=0,1,2,3),Ao、Ai、A2、A3构成

完备事件组，B为“能出厂”，那么：

「3「I・元C2•C'尸

P(A0)=KAP(A1)二一^产,P(AJ=十产,P(A.3)=k

^l(X)C|()0^l(X)^l(X)

P(B/Ao)=(0.99)3,P(B/A|)=(0.