概率论与数理统计复习资料要点总结6

《概率论与数理统计》复习提要

第一章随机事件与概率

1.事件的关系

2.运算规则(I)

(2)(AD8)DC=Au(BuC)(AB)C=A(BQ

(3)(A<JB)C=(AC)<J(BC)(AB)<JC=(AUC)(BUC)

(4)A\JB=ABAB=A^JB

3.概率满足的三条公理及性质：

(1)O<P(71)<1(2)P(Q)=1

(3)对互不相容的事件，有(可以取)

(4)P(0)=O(5)P(A)=1-P(A)

(6)，若，则，

(7)P(AUB)=P(A)-P(B)-P(AB)

(8)P(AuBuC)=P(A)+P(3)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

4.古典概型：基本事件有限且等可能

5.几何概率

(1)6.条件概率

(2)定义：若，则

乘法公式：

(3)若为完备事件组，，则有

(4)全概率公式：

Bayes公式：

7.事件的独立性：独立(注意独立性的应用)

第二章随机变量与概率分布

离散随机变量：取有限或可列个值，满足(1),(2)=1

1.(3)对任意，

2.连续随机变量：具有概率密度函数，满足(I)；

3.(2)；(3)对任意，

4.几个常用随机变量

名称与记号分布列或密度数学期望方差

两点分布8(1,〃)P(X=l)=p,P(X=0)=q=\-pPpq

二项式分布8(〃,〃)P(X=k)=C：pkqZ,k=U,l,2,…〃,叩秋q

Poisson分布P(Z)P(X=0,1,2,…22

k\

1q

几何分布G(p)P(X=k)=qk7p,k=\,2「・

7p2

a+b

均匀分布U(a,〃)f(x)=-!—,a<x<h,

b-a212

]_1

指数分布£(2)

/(工)=%-氐，x>0I不

(x-p)2

正态分布N(//,b2)‘3=方”"a2

分布函数，具有以卜性质

(1)F(-oo)=0,尸(+30)=1；(2)单调非降；(3)右连续；

(4),特别；

(5)对离散随机变量，：

5.(6)对连续随机变最，为连续函数，且在连续点上，

正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布困数，则有

(1);(2)；(3)若，则；

6.(4)以记标准正态分布的上侧分位数，则

7.随机变量的函数Y=g(X)

(1)离散时，求的值，将相同的概率相加；

(2)连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布

函数，再求导。

第三章随机向量

二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布列，有

1.(1)；(2)；⑶，

二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有

(I)/U,y)>0；(2)⑶P((X,y)£G)=JL〃x,)，)公心；

2.(4),

3.二维均匀分布，其中为的面积

4.二维正态分布，其密度函数(牢记五个参数的含义)且；

5.二维随机向量的分布函数F(x,y)=P(X4用丫Vy)有

(I)关于单调非降；(2)关于X,)，右连续；

(3)F(x,-oo)=尸(-00,y)=F(-oo,-oo)=0；

(4),,；

(5)P(X[<X<丫4)，2)=/"2，丁2)一尸()1，乃)一口(入2，凹)+尸(为，)'])；

(6)对二维连续随机向量，

(1)6.随机变量的独立性独立

(2)离散时X,丫独立op产Pi」乙

(3)连续时X,y独立=/(x,y)=fx(x)fY(y)

二维正态分布独立，且

(1)7.随机变量的函数分布

(2)和的分布Z=X+丫的密度/z(z)=J*/(z-y,y)dy=£/(x,z-x)dx

(3)最大最小分布

第四章随机变量的数字特征

1.期望

⑴离散时，；

⑵连续时，；

⑶二维时，

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(x+y)=E(x)+E(y)；

(7)独立时，

2.方差

(1)方差，标准差；

(2)0(。)=0,D(X+C)=£)(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)独立时，

3.协方差

(1)Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)；

(2)Q?v(X,y)=Cbv(r,X),Cov(aX,bY)=abCo\{X,Y)；

(3)G?v(X]+X2,Y)=Cov(Xt,Y)+Cov(X2,Y)；

(4)时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；

(5)D(X+7)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

4.相关系数：有，

5.阶原点矩，阶中心矩

第五章大数定律与中心极限定理

1.Chebyshev不等式或

2.大数定律

3.中心极限定理

(I)设随机变量独立同分布，则，或或，

(2)设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，有或理解为若，则

第六章样本及抽样分布

（1）1.总体、样本

（2）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）:

样本数字特征：

样本均值（，）;

样本方差52=-ycx.-x)2(E(S2)=O-2)样本标准差

〃一V

S=

样本阶原点矩，样本阶中心矩

2.统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3.三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

（I）分布，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则；

（2）分布，其中且独立；

（3）分布，其中且独立，有下面的性质

4.正态总体的抽样分布

_1n

(1)X~N(〃,cr?/〃)；(2)-〃尸~/(〃)；

bi=i

(3)5-1)且与又独立;(4)f=岂罕〃一1)；

o-S/yjn

(5),

⑹"=(…〃2-1)

第七章参数估计

1.矩估计：

（I）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2.极大似然估计：

（1）写出极大似然函数：（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏

导数为0,解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）

3.估计量的评选原则

（1）无偏

性：若

,则为

无偏；

（2）有效条件估计函数置信区间

性：两

个无偏

估计中

方差小

的有效：

4.参数

的区间

估计（正

态）

参数

b?已知u=[X干〃a-/=]

7i^2

b?未知