【初中 数学】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件1.4.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理第一章

三角形的证明及其应用情境导入ABP如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？点P是码头的位置进行新课我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一点。求证：PA=PB。ABCMNP知识点1线段垂直平分线的性质已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一点。求证：PA=PB。ABCMNP证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°。∵

AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）。∴

PA=PB（全等三角形的对应边相等）。如果点P与点C重合，那么结论显然成立。1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，PA＝6，则线段PB的长为(

)A．3B．4C．6D．7C返回2．[达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(

)A．21 B．14C．13 D．9C返回定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：∵MN⊥AB于点C，且AC=BC，∴PA=PB线段垂直平分线的性质：ABCMNP这一点是任意一点练一练如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（）A.ED=CDB.AE=ACC.AD=BDD.BD=ACC3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于________。60°返回4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是________。

4返回尝试·思考知识点2线段的垂直平分线的判定你能写出这个定理的逆命题吗？定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。逆命题它是真命题吗？已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB。求证：点P

在AB

的垂直平分线上。ABP考虑点P是否在线段AB上。证明：∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。①当点P在线段AB上时：ABP②当点P在线段AB外时：证法一：过点P

作PC⊥AB，垂足为C。∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC

≌Rt△PBC(HL)。∴AC=BC，即点

P

在线段AB的垂直平分线上。CABP证法二：取AB的中点C，连接PC。∵AP=BP，PC=PC，AC=BC，∴△APC≌△BPC(SSS)。∴∠PCA=∠PCB。又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴点P在线段AB的垂直平分线上。C②当点P在线段AB外时：ABP证法三：过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)。∴AC=BC，∠PCA=∠PCB。又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。∴点P在线段AB的垂直平分线上。C②当点P在线段AB外时：5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。

解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。返回定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上线段的垂直平分线的判定：ABP归纳总结：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。归纳总结：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。例1

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O

是△ABC

内一点，且OB=OC。求证：直线AO

垂直平分线段BC。ABCO证明：∵AB=AC，∴

点A

在线段BC

的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。∴直线AO

是线段BC

的垂直平分线（两点确定一条直线）。同理，点O

在线段BC

的垂直平分线上。还有其他证法吗？证明：设直线

AO

交

BC

于点

D，∵

AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴

△ABO

≌

△ACO(SSS)。∴

∠BAO

=∠CAO，又∵

AB

=AC，∴

AO

⊥

BC。∵OB=OC，OD=OD，∴Rt△DBO

≌Rt△DCO

(HL)。∴

BD=CD。∴

直线

AO

垂直平分线段

BC。①该直线有两点到线段两端点距离相等。②该直线垂直且平分线段。证明直线垂直平分线段

ABCOD6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA返回7．[榆林二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(

)A．4 B．5C．2 D．6A返回8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在线段________的垂直平分线上。(填“AB”或“AC”)AC返回9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。

返回10．[威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(

)A．BO＝DO，AC⊥BDB．∠DAC＝∠BAC，AD＝ABC．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCAD．∠ADC＝∠ABC，BO＝DOD返回11．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(

)A．1 B．2C．4 D．5A返回12．[西安铁一中期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，DE垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，交AC于点G，连接CF，∠DCF＝20°，则∠BAC的大小为(

)A．60° B．70°C．80° D．90°C返回13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________。

7返回14．(8分)[西安高新一中期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE2－DC2＝AD2。判断BE与AC的数量关系，并说明理由。

解：BE＝AC。理由如下：如图，连接AE。∵EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE。∵D为线段CE的中点，∴ED＝CD。∵BE2－DC2＝AD2，∴AE2－ED2＝AD2。∴△AED是直角三角形，且∠ADE＝90°。∴AD⊥BC。∴AD是线段CE的垂直平分线。∴AE＝AC。∴BE＝AC。返回15．(8分)[教材P34“习题1.4”第4题变式]如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，∠B＋∠C＝45°。(1)求证：ME与NF的交点在BC的垂直平分线上；证明：设ME与NF的交点为G，连接AG，BG，CG。∵ME是AB的垂直平分线，∴AG＝BG。∵NF是AC的垂直平分线，∴AG＝CG，∴BG＝CG，∴点G在BC的垂直平分线上，即ME与NF的交点在BC的垂直平分线上。(2)若BC＝12，AF＝4，求EF的长。

解：∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F，∴BE＝AE，AF＝FC＝4，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C。又∵∠B＋∠C＝45°，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°，