完全频散性非线性波数值模型：理论、方法与应用

完全频散性非线性波数值模型：理论、方法与应用一、引言1.1研究背景与意义在海洋工程、水利等众多领域中，波动现象广泛存在且对工程设施和自然环境有着深远影响。波浪作为一种典型的波动，其在海洋中的传播、变形以及与海洋结构物的相互作用，一直是海洋工程领域关注的焦点。在水利工程中，水波在河道、水库等水域的运动也对工程的安全性与稳定性起着关键作用。准确理解和预测这些波动现象，对于保障工程安全、优化工程设计以及维护生态环境具有重要意义。传统的波浪传播模型主要分为具有完全频散特性的线性缓坡方程类模型和具有弱频散特性的非线性Boussinesq方程类模型。线性缓坡方程类模型虽能较好地描述波浪的折射与绕射行为，具备完全频散性，但在处理波浪的非线性方面存在明显不足，无法准确刻画如波浪破碎、非线性相互作用等复杂现象。而Boussinesq方程类模型虽然考虑了一定的非线性效应，但仅具有弱频散性，在深水计算中受到诸多限制，无法全面描述不同水深条件下的波浪传播特性。在实际的海洋和水利环境中，波浪往往呈现出强烈的非线性和完全频散性，这些传统模型难以满足对复杂波动现象精确模拟的需求。例如，在近岸海域，地形变化复杂，波浪在传播过程中不仅会发生折射、绕射，还会由于浅水效应产生强烈的非线性变形，传统模型难以准确预测这些变化对海岸工程设施的影响。完全频散性非线性波数值模型的出现，为解决这些复杂波动问题提供了新的途径。该模型能够综合考虑波浪的非线性和完全频散性，更全面、准确地描述波浪在各种环境条件下的传播和演化过程。在海洋工程中，对于海上平台、跨海大桥等大型结构物的设计，精确掌握波浪的特性至关重要。完全频散性非线性波数值模型可以帮助工程师更准确地预测波浪对结构物的作用力，优化结构设计，提高结构的安全性和耐久性，降低工程建设和维护成本。在水利工程领域，对于防洪堤的设计、水库的调蓄等，该模型可以更精准地模拟洪水波的传播和演进，为水利工程的规划、设计和运行管理提供科学依据，有效提高水利工程的防洪减灾能力，保障人民生命财产安全。此外，在海洋生态环境研究中，该模型有助于深入理解波浪对海洋生态系统的影响，如对海洋生物栖息地、海洋物质输运等方面的作用，为海洋生态保护和可持续发展提供理论支持。1.2国内外研究现状在国外，对完全频散性非线性波数值模型的研究起步相对较早。1994年，Nadaoka提出了一个无流中无能量交换项的完全频散非线性方程，同年Isobe也提出一个无流水域中无能量交换项的完全频散非线性方程，他们的研究为完全频散性非线性波理论的发展奠定了基础，但这些方程形式极为复杂，其性能与普适性在后续研究中不断被探讨和验证。此后，国外学者围绕这些方程展开了一系列研究，如通过数值模拟方法对不同地形和水流条件下的波浪传播进行研究，以验证方程在实际应用中的准确性和适用性。在对复杂海底地形的波浪传播模拟中，发现这些早期提出的方程在处理局部地形突变引起的波浪复杂变化时，存在一定的局限性，模拟结果与实际观测存在偏差。国内对于完全频散性非线性波数值模型的研究也取得了显著成果。河海大学的吴中以洪广文提出的具有完全频散性非线性波浪传播方程为基础，建立了一个统一模式和计算方法。该方法能够适用于深水至浅水、包纳流场、地形与水位缓慢变化、满足开敞与多连通水域波浪传播。通过对深水至极浅水非线性波进行全面验证，模拟了波浪浅化、立波、三维干涉波、潮波、孤立波以及波浪越过潜堤、单突堤绕射、双突堤绕射、岛式堤、Berkhoff实验和多连通水域波浪传播等问题，还对特殊地形条件下波浪发生港湾共振、布拉格共振进行了仿真。在研究水流中波浪传播折射变形问题，如Arthur流场上非线性折射-绕射、水位缓变的转向潮流中波浪传播等缓变水流中波浪问题时，该模式展现出适用于深浅水的可计算性与非线性。然而，在面对极端复杂的海洋环境，如强台风引起的巨浪以及近岸复杂地形与强潮流共同作用下的波浪问题时，该模型的计算精度和效率仍有待进一步提高。在实际应用方面，国内外学者都将完全频散性非线性波数值模型应用于海洋工程和水利工程领域。在海洋工程中，用于海上平台、防波堤等结构物的设计和评估。通过模型模拟波浪对结构物的作用，优化结构设计，提高结构的抗浪能力。但在实际应用中发现，模型对于一些新型海洋结构物，如浮式风力发电平台等，由于其复杂的运动特性和与波浪的耦合作用，模拟结果的准确性还需要进一步验证和改进。在水利工程中，该模型用于水库、河道等水域的防洪、通航等方面的研究。例如，在水库的调洪演算中，利用模型模拟洪水波的传播和演进，为水库的合理调度提供依据。但在考虑水库周边复杂地形和建筑物对水流的影响时，模型的模拟效果还有提升空间。总体而言，国内外在完全频散性非线性波数值模型的研究上取得了一定进展，但仍存在一些不足。现有模型在处理复杂边界条件、多物理场耦合以及提高计算效率等方面还面临挑战。在未来的研究中，需要进一步改进模型的理论和算法，结合更先进的数值计算技术和实验验证手段，以提高模型的精度和适用性，更好地满足海洋工程和水利工程等实际应用的需求。1.3研究内容与方法1.3.1研究内容本文将围绕完全频散性非线性波数值模型展开多方面研究，具体内容如下：模型理论研究：深入剖析完全频散性非线性波的理论基础，详细推导和分析相关控制方程。从基本的物理原理出发，如质量守恒定律、动量守恒定律等，结合波动理论，推导完全频散性非线性波的控制方程，明确方程中各项的物理意义和数学表达。对已有的完全频散性非线性波方程，如Nadaoka、Isobe以及洪广文等人提出的方程，进行深入分析和对比。研究方程在不同条件下的适用范围，包括水深、波高、波频等条件对方程适用性的影响，分析方程在描述波浪传播、变形等现象时的优势与局限性。数值求解方法研究：针对完全频散性非线性波控制方程，研究高效、稳定的数值求解方法。探索有限差分法、有限元法、有限体积法等常用数值方法在求解该方程时的应用。对于有限差分法，研究不同的差分格式，如中心差分、迎风差分等，分析其对计算精度和稳定性的影响。对于有限元法，研究如何选择合适的单元类型和插值函数，以提高计算效率和精度。对于有限体积法，研究如何构建合理的控制体积，保证通量守恒。同时，考虑不同数值方法的优缺点，结合完全频散性非线性波方程的特点，选择最适合的数值方法或方法组合。此外，研究数值求解过程中的稳定性和收敛性问题，提出有效的解决方法。通过理论分析和数值实验，确定数值求解方法的稳定性条件和收敛准则。采用稳定性分析方法，如VonNeumann稳定性分析，研究数值方法在不同条件下的稳定性。对于收敛性问题，通过逐步加密网格或减小时间步长，观察计算结果的变化，判断数值方法的收敛性。针对不稳定或收敛性差的情况，提出改进措施，如添加人工粘性项、采用自适应网格技术等。数值模拟与验证：利用建立的数值模型，对不同条件下的完全频散性非线性波进行数值模拟。模拟内容包括波浪在不同地形（如平坦海底、斜坡地形、复杂海底地形等）、不同水流条件（如均匀流、非均匀流、潮流等）下的传播、折射、绕射、破碎等现象。在模拟波浪在斜坡地形上的传播时，研究波浪的爬坡过程、反射和折射情况，以及波浪破碎的位置和形态。在模拟复杂海底地形时，考虑海底的起伏、礁石等因素对波浪传播的影响。将数值模拟结果与理论解、实验数据进行对比验证，评估模型的准确性和可靠性。收集已有的波浪理论解，如线性波浪理论解、Stokes波浪理论解等，与数值模拟结果进行对比，分析模型在描述波浪传播特性方面的准确性。同时，与相关的物理实验数据进行对比，如实验室水槽实验、现场观测实验等，验证模型在实际应用中的可靠性。通过对比验证，不断优化模型参数和数值求解方法，提高模型的精度和适用性。实际应用案例分析：将完全频散性非线性波数值模型应用于海洋工程和水利工程实际案例中。在海洋工程中，选取海上平台、防波堤等结构物，分析波浪对其作用的荷载和响应。通过数值模拟，计算波浪作用下海上平台的受力情况，包括水平力、垂直力和弯矩等，评估平台的稳定性和安全性。对于防波堤，研究波浪在防波堤前的反射、绕射和透射情况，分析防波堤的消浪效果，为防波堤的设计和优化提供依据。在水利工程中，针对水库、河道等水域，模拟洪水波的传播和演进，为防洪减灾提供决策支持。在水库调洪演算中，利用模型预测洪水过程中水库水位的变化，合理制定水库的泄洪方案，保障水库的安全运行。在河道防洪中，模拟洪水波在河道中的传播速度、水位变化等，为河道堤防的设计和加固提供参考。分析模型在实际应用中存在的问题和不足，提出改进方向和建议。在实际应用过程中，可能会遇到模型计算效率低、对复杂边界条件处理能力不足等问题。针对这些问题，分析其产生的原因，提出相应的改进措施，如采用并行计算技术提高计算效率，改进边界条件处理方法以适应复杂边界条件等。1.3.2研究方法本文将综合运用多种研究方法，确保研究的全面性和深入性，具体方法如下：理论分析方法：运用数学物理方法，对完全频散性非线性波的基本理论进行深入研究。从波动方程的基本原理出发，通过数学推导和理论分析，建立完全频散性非线性波的控制方程。利用数学分析工具，如偏微分方程理论、变分原理等，对控制方程进行分析，研究方程的性质、解的存在性和唯一性等问题。通过理论分析，揭示完全频散性非线性波的传播特性和内在规律，为数值模型的建立和求解提供理论基础。数值计算方法：采用有限差分法、有限元法、有限体积法等数值计算方法，对完全频散性非线性波控制方程进行离散求解。根据不同的数值方法，将连续的控制方程转化为离散的代数方程组，通过迭代求解等方法得到数值解。在数值计算过程中，合理选择数值参数，如网格尺寸、时间步长等，以保证计算的精度和稳定性。利用数值计算软件，如MATLAB、COMSOL等，实现数值模型的编程和计算，提高计算效率和可视化效果。实验验证方法：收集和整理已有的波浪实验数据，将数值模拟结果与之进行对比验证。对于一些关键的波浪现象和参数，如波浪的传播速度、波高变化、波浪破碎等，通过实验数据来检验数值模型的准确性。同时，在条件允许的情况下，设计和开展相关的波浪物理实验。搭建波浪水槽实验平台，模拟不同地形和水流条件下的波浪传播，测量波浪的相关参数，如波高、波长、波周期等。将实验测量数据与数值模拟结果进行对比分析，验证数值模型的可靠性，为模型的改进和完善提供实验依据。案例分析法：选取海洋工程和水利工程中的实际案例，运用建立的完全频散性非线性波数值模型进行分析。深入了解实际工程问题的背景和需求，确定合适的计算参数和边界条件。通过数值模拟，得到波浪在实际工程环境中的传播和作用情况，分析波浪对工程结构物的影响。结合工程实际情况，对模拟结果进行分析和评估，为工程设计、运行管理提供科学建议和决策支持。二、完全频散性非线性波数值模型理论基础2.1波浪传播模型概述波浪传播模型在海洋与水利工程领域的研究中占据着核心地位，其发展历程反映了人们对波浪复杂现象认知的不断深化。早期的波浪传播模型主要为线性波折射模型，诞生于20世纪40年代。这类模型基于线性波浪理论，适用于大范围深水水域的波浪传播模拟。在开阔的深海区域，当波浪受到均匀的水深和相对简单的外力作用时，线性波折射模型能够较好地预测波浪的传播方向变化，其计算原理是基于光线理论，将波浪视为光线，根据水深变化引起的波速改变来确定波向线的弯曲。然而，线性波折射模型存在明显的局限性，它无法描述浅水非线性波的特性，当波浪传播至浅水区域，水深的变化导致波浪的非线性效应逐渐增强，如波浪的波峰变陡、波谷变平，线性波折射模型无法准确刻画这些现象。此外，对于浅水复杂地形产生的波向线相交情况，线性波折射模型也难以适应，因为它没有考虑波浪在复杂地形下的相互作用和能量转换。随着研究的深入，1972年联合折射绕射模型，即“缓坡方程”应运而生。缓坡方程具有完全频散性，这使得它能够精确地描述波浪在传播过程中的折射与绕射行为。在模拟波浪绕过海岛或防波堤等障碍物时，缓坡方程能够准确地预测波浪的绕射现象，展现出比线性波折射模型更强大的能力。缓坡方程无法描述波浪的非线性，在处理近岸区域波浪的破碎、波-波相互作用等非线性现象时存在严重不足。近岸区域的波浪破碎过程伴随着能量的剧烈耗散和复杂的流体运动，缓坡方程由于其线性假设，无法准确捕捉这些关键的物理过程。缓坡方程的抛物近似模式虽然在一定程度上简化了计算，但却忽略了反射波，并且绕射角受到限制，这在实际应用中极大地限制了其适用范围。在模拟具有明显反射波的海岸工程问题时，抛物近似模式的计算结果与实际情况存在较大偏差。缓坡方程的双曲近似模式虽然引进了虚拟中间量来试图解决部分问题，但在非线性处理和准确性方面仍存在一定的不足。1976年出现的非线性长波模型，以Boussinesq方程为代表，开启了波浪传播模型考虑非线性效应的新阶段。Boussinesq方程能够模拟近岸海域复杂地形上波浪传播的非线性变形，如折射、绕射、反射、浅化等现象，以及波浪与建筑物等的非线性综合作用过程。在模拟波浪与防波堤的相互作用时，Boussinesq方程可以考虑波浪在防波堤前的反射、透射以及非线性变形，为防波堤的设计提供更准确的理论依据。Boussinesq非线性长波方程只具有弱频散性，并且无法在深水计算。当水深较大时，其频散特性与实际波浪的差异逐渐增大，导致模拟结果出现较大误差。尽管Boussinesq改进型方程在频散性方面有一定提高，但深水计算仍受到一定限制，无法满足在不同水深条件下对波浪传播进行精确模拟的需求。近十余年发展起来的完全频散性非线性模型，旨在克服传统模型的不足，将完全频散性与非线性较好地统一到一个方程中。1994年，Nadaoka提出了一个无流中无能量交换项的完全频散非线性方程，同年Isobe也提出一个无流水域中无能量交换项的完全频散非线性方程，这些方程的提出为完全频散性非线性波理论的发展奠定了基础。但它们的形式极为复杂，其性能与普适性在后续研究中不断被探讨和验证。近年来洪广文提出了缓变水流、地形、水位条件、且具有能量交换因子的完全频散非线性方程，为解决复杂的波浪传播问题提供了新的思路。这类模型能够综合考虑波浪的完全频散性和非线性，在不同水深、地形和水流条件下更准确地描述波浪的传播、变形和相互作用，具有更广泛的应用前景。在复杂的近岸海域，完全频散性非线性模型可以准确模拟波浪在复杂地形和水流条件下的传播，包括波浪的破碎、非线性相互作用以及与海洋结构物的耦合作用等。但这类模型在数值求解的复杂性和计算效率方面仍面临挑战，需要进一步的研究和改进。2.2完全频散性非线性波模型原理完全频散性非线性波数值模型基于流体动力学基本原理，综合考虑了波浪传播过程中的多种复杂物理现象，旨在准确描述波浪在不同环境条件下的传播特性。其核心是通过建立一组偏微分方程来刻画波浪的运动，这些方程充分考虑了波浪的完全频散性和非线性特性。从基本物理原理出发，完全频散性非线性波模型的建立基于质量守恒定律和动量守恒定律。在不可压缩流体的假设下，质量守恒方程可表示为：\nabla\cdot\vec{u}=0，其中\vec{u}为流体速度矢量。对于动量守恒，在考虑重力、压力和粘性力等因素后，可得到纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes方程）。然而，直接求解纳维-斯托克斯方程对于复杂的波浪问题是极具挑战性的，因此需要进行合理的假设和简化。在完全频散性非线性波模型中，通常假设流体为无粘性、无旋的理想流体，这使得可以引入速度势函数\varphi，通过\vec{u}=\nabla\varphi来简化动量方程。基于速度势函数，结合自由表面条件和底边界条件，可以推导出完全频散性非线性波的控制方程。自由表面条件考虑了波浪表面的运动和压力分布，通常表示为自由表面的运动学条件和动力学条件。底边界条件则描述了波浪与海底的相互作用，如海底的摩擦、反射等。以洪广文提出的缓变水流、地形、水位条件且具有能量交换因子的完全频散非线性方程为例，其一般形式较为复杂，但包含了多个关键的物理项。方程中包含了描述波浪传播的基本项，如与速度势函数的二阶导数相关的项，这反映了波浪的传播速度和方向。还包含了考虑非线性效应的项，这些项通常与速度势函数的高阶导数或乘积相关。在描述波浪破碎等强非线性现象时，方程中的非线性项起到了关键作用。方程中还考虑了缓变水流、地形和水位变化的影响，通过引入相应的参数和项来体现这些因素对波浪传播的作用。当水流速度不为零时，方程中会出现与水流速度相关的项，以描述波流相互作用对波浪传播的影响。对于地形变化，会有与海底地形坡度相关的项，反映地形对波浪的折射、绕射等作用。模型中各项参数具有明确的物理意义。波数k是描述波浪空间周期性的参数，它与波长\lambda的关系为k=\frac{2\pi}{\lambda}，波数决定了波浪在空间上的变化快慢。在深水区域，波数与波浪频率\omega之间满足线性色散关系\omega^2=gk，其中g为重力加速度。而在浅水区，色散关系变得更加复杂，完全频散性非线性波模型能够准确描述这种复杂的色散特性。频率\omega则表示波浪在单位时间内的振动次数，它与波数一起决定了波浪的传播速度c=\frac{\omega}{k}。水深h是模型中的一个重要参数，它直接影响波浪的传播特性。在浅水区，随着水深的减小，波浪的非线性效应逐渐增强，如波浪的波峰变陡、波谷变平，同时波浪的传播速度也会发生变化。模型通过考虑水深对波浪的影响，能够准确模拟波浪在浅水区的传播和变形。在研究波浪在斜坡地形上的传播时，水深的变化会导致波浪的折射和绕射现象，模型可以通过对水深参数的处理，准确预测这些现象的发生。能量交换因子\alpha是模型中考虑能量交换的关键参数。在实际的波浪传播过程中，波浪与周围环境（如水流、海底等）之间存在能量交换。能量交换因子\alpha用于量化这种能量交换的强度，它的取值与具体的物理过程和环境条件有关。在波流相互作用的情况下，能量交换因子可以反映波浪与水流之间的能量传递情况，从而影响波浪的传播和演化。波幅A表示波浪的最大位移，它反映了波浪的能量大小。在非线性波浪中，波幅的变化会导致波浪的非线性特性发生改变。当波幅较大时，波浪的非线性效应更加明显，如波-波相互作用增强，可能会导致波浪的破碎等现象。模型通过考虑波幅对波浪传播的影响，能够准确模拟不同波幅条件下的波浪传播特性。这些参数相互关联，共同决定了完全频散性非线性波的传播特性。在实际应用中，需要根据具体的问题和边界条件，合理确定这些参数的值，以确保模型能够准确地描述波浪的传播和变形。通过对这些参数的深入理解和分析，可以更好地掌握完全频散性非线性波的运动规律，为海洋工程和水利工程等领域的实际应用提供更可靠的理论支持。2.3与其他波浪模型的比较与线性缓坡方程类模型相比，完全频散性非线性波模型在非线性描述能力上具有显著优势。线性缓坡方程类模型基于线性波浪理论，虽然具有完全频散性，能够精确描述波浪在传播过程中的折射与绕射行为，但在处理非线性现象时存在严重不足。在近岸海域，当波浪传播至浅水区域，水深的减小会导致波浪的非线性效应逐渐增强，如波浪的波峰变陡、波谷变平，以及波浪破碎等现象。线性缓坡方程类模型由于其线性假设，无法准确捕捉这些非线性变化，模拟结果与实际情况存在较大偏差。在模拟波浪破碎过程时，线性缓坡方程类模型无法描述波浪破碎瞬间的能量耗散和复杂的流体运动，而完全频散性非线性波模型通过考虑非线性项，能够更准确地刻画波浪破碎的过程和特征。在频散特性方面，尽管两者都具有完全频散性，但在复杂地形和水流条件下，完全频散性非线性波模型能够更好地适应频散特性的变化。在海底地形复杂多变的区域，线性缓坡方程类模型在处理地形对波浪频散特性的影响时，可能会出现误差，而完全频散性非线性波模型能够通过方程中的相关项，更准确地反映地形变化对波浪频散的影响，从而提高模拟的准确性。与非线性Boussinesq方程类模型相比，完全频散性非线性波模型在频散特性上表现更优。Boussinesq方程类模型虽然考虑了一定的非线性效应，能够模拟近岸海域复杂地形上波浪传播的非线性变形，如折射、绕射、反射、浅化等现象，但仅具有弱频散性。这使得Boussinesq方程类模型在深水计算中受到很大限制，当水深较大时，其频散特性与实际波浪的差异逐渐增大，导致模拟结果出现较大误差。在深水区域，波浪的频散特性对其传播和演化起着关键作用，Boussinesq方程类模型由于无法准确描述这种频散特性，无法满足对深水波浪传播精确模拟的需求。而完全频散性非线性波模型具有完全频散性，能够准确描述不同水深条件下波浪的频散特性，无论是在浅水还是深水区域，都能更准确地模拟波浪的传播和变形。在非线性处理方面，虽然两者都考虑了非线性效应，但完全频散性非线性波模型在处理强非线性现象时更加准确。在波浪与海洋结构物的强相互作用情况下，如波浪对海上平台的冲击，Boussinesq方程类模型在处理这种强非线性问题时，可能会因为其对非线性项的近似处理，导致模拟结果不够准确，而完全频散性非线性波模型能够更准确地描述这种强非线性相互作用，为海洋工程结构物的设计和分析提供更可靠的依据。三、完全频散性非线性波数值模型求解方法3.1控制方程与边界条件完全频散性非线性波传播的控制方程是基于流体力学基本原理推导得出，以描述波浪在各种复杂环境下的运动特性。以洪广文提出的缓变水流、地形、水位条件且具有能量交换因子的完全频散非线性方程为例，其一般形式较为复杂，但能全面考虑多种物理因素对波浪传播的影响。在笛卡尔坐标系下，该方程可表示为：\begin{align*}&\frac{\partial\varphi}{\partialt}+\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2+g\eta+\alpha\int_{-h}^{\eta}\left(\frac{\partial\varphi}{\partialz}\right)^2dz+\beta\int_{-h}^{\eta}\nabla\cdot(\vec{u}\frac{\partial\varphi}{\partialz})dz\\=&\int_{-h}^{\eta}\vec{u}\cdot\nabla(\vec{u}\cdot\nabla\varphi)dz+\int_{-h}^{\eta}\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}\cdot\nabla\varphidz+\int_{-h}^{\eta}\vec{f}\cdot\nabla\varphidz\end{align*}其中，\varphi为速度势函数，通过\vec{u}=\nabla\varphi与流体速度矢量\vec{u}相关联，描述了流体的运动状态；t表示时间，用于刻画波浪运动的时间演化；\eta是自由表面的升高，反映了波浪在表面的起伏变化；h为水深，它是影响波浪传播特性的重要参数，不同的水深条件会导致波浪传播速度、波高变化以及非线性效应的差异；g为重力加速度，决定了重力对波浪运动的作用强度；\alpha和\beta是能量交换因子，用于量化波浪与周围环境（如水流、海底等）之间的能量交换强度，其取值与具体的物理过程和环境条件密切相关；\vec{f}表示其他外力，如风力等，在实际的波浪传播中，这些外力可能会对波浪的运动产生重要影响。方程中的各项都具有明确的物理意义。\frac{\partial\varphi}{\partialt}表示速度势函数随时间的变化率，反映了波浪运动的时间变化特性；\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2是动能项，体现了波浪运动所具有的动能；g\eta为重力势能项，描述了重力对波浪势能的影响；\alpha\int_{-h}^{\eta}\left(\frac{\partial\varphi}{\partialz}\right)^2dz和\beta\int_{-h}^{\eta}\nabla\cdot(\vec{u}\frac{\partial\varphi}{\partialz})dz这两项与能量交换相关，考虑了波浪与周围介质之间的能量传递和转换。\int_{-h}^{\eta}\vec{u}\cdot\nabla(\vec{u}\cdot\nabla\varphi)dz表示非线性对流项，它描述了波浪传播过程中的非线性相互作用，如波-波相互作用等；\int_{-h}^{\eta}\frac{\partial\vec{u}}{\partialt}\cdot\nabla\varphidz是加速度项，反映了流体速度随时间的变化对波浪运动的影响；\int_{-h}^{\eta}\vec{f}\cdot\nabla\varphidz则包含了其他外力对波浪的作用。在实际应用中，需要根据具体的问题和边界条件对方程进行简化和求解。对于不同的波浪传播场景，如开阔海域、近岸区域、存在水流的情况等，方程中的各项参数和物理量会有所不同，需要进行相应的调整和计算。在近岸区域，由于地形变化复杂，水深h的变化会导致波浪的折射、绕射和非线性变形等现象，此时需要准确考虑地形对波浪传播的影响，通过合理确定方程中的参数来描述这些复杂的物理过程。边界条件是控制方程求解的重要组成部分，它描述了波浪在边界上的物理行为。常见的边界条件类型包括开边界条件、固壁边界条件和自由表面边界条件。开边界条件用于模拟波浪从计算域外部传入或传出的情况。在实际海洋或水利工程中，当研究的区域不是封闭的，存在与外部水域的连通时，就需要设置开边界条件。常见的开边界条件处理方法有特征线法、海绵层法和辐射条件法等。特征线法基于波动方程的特征理论，通过在开边界上设置与特征线相关的条件来模拟波浪的传播。在一个二维波浪传播问题中，对于沿x方向的开边界，利用特征线法可以根据波浪的传播方向和速度，在边界上设置合适的速度势函数或波浪高度条件，以确保波浪能够准确地传入或传出计算域。海绵层法是在开边界附近设置一个特殊的区域，该区域内的参数被调整以吸收传入的波浪能量，从而模拟波浪的传出。通过在海绵层内设置逐渐增大的阻尼系数，使得波浪在传播到海绵层时能量逐渐衰减，避免了波浪在边界上的反射。辐射条件法则是基于波动方程的辐射特性，在开边界上设置满足辐射条件的边界方程，以保证波浪的正确传播。在一个三维波浪传播模型中，对于远场开边界，可以根据辐射条件设置边界上的速度势函数的法向导数，使得波浪能够以正确的方式辐射出去。固壁边界条件主要用于描述波浪与固体边界（如防波堤、海岸等）的相互作用。在这种边界条件下，流体在固壁上的法向速度为零，即\vec{u}\cdot\vec{n}=0，其中\vec{n}是固壁边界的法向量。当波浪传播到防波堤时，根据固壁边界条件，在防波堤表面，垂直于防波堤的流体速度分量为零，这反映了波浪在固壁上的反射和绕射现象。对于复杂形状的固壁边界，如不规则的海岸地形，在数值计算中需要采用合适的网格划分和边界处理方法，以准确满足固壁边界条件。可以采用非结构化网格对海岸地形进行精细划分，在边界节点上严格施加法向速度为零的条件，从而准确模拟波浪与不规则海岸的相互作用。自由表面边界条件描述了波浪自由表面的运动和压力分布。自由表面的运动学条件可表示为\frac{\partial\eta}{\partialt}+\nabla\varphi\cdot\nabla\eta-\frac{\partial\varphi}{\partialz}=0，它反映了自由表面的高度随时间的变化与流体速度的关系。在波浪传播过程中，自由表面的起伏是由流体的运动引起的，该条件通过速度势函数和自由表面升高的关系，准确描述了自由表面的动态变化。自由表面的动力学条件为\frac{\partial\varphi}{\partialt}+\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2+g\eta=0，它考虑了自由表面上的压力平衡和能量守恒。在自由表面上，重力势能和动能之间存在相互转换，该条件通过速度势函数和自由表面升高，以及重力加速度，描述了这种能量转换和压力平衡的关系。在数值求解中，准确处理自由表面边界条件对于模拟波浪的传播和变形至关重要。可以采用边界拟合坐标变换或动网格技术，将自由表面的运动纳入数值计算中，确保自由表面边界条件的准确满足。在一个考虑波浪破碎的数值模拟中，利用动网格技术，随着波浪的传播和破碎，自由表面的形状不断变化，动网格能够实时调整网格以适应自由表面的运动，同时准确施加自由表面边界条件，从而实现对波浪破碎过程的精确模拟。3.2离散差分格式与迭代算法为了求解完全频散性非线性波传播的控制方程，需要将其转化为离散形式，以便进行数值计算。离散差分格式是实现这一转化的关键步骤，它通过在空间和时间上对控制方程进行离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。在空间离散方面，采用有限差分法对控制方程中的空间导数进行逼近。对于速度势函数\varphi关于空间坐标x的一阶导数\frac{\partial\varphi}{\partialx}，常用的差分格式有中心差分、迎风差分等。中心差分格式具有较高的精度，对于均匀网格，其对一阶导数的逼近公式为\frac{\partial\varphi}{\partialx}\approx\frac{\varphi_{i+1,j,k}-\varphi_{i-1,j,k}}{2\Deltax}，其中\varphi_{i,j,k}表示在空间坐标(x_i,y_j,z_k)处的速度势函数值，\Deltax为x方向的网格间距。在一个二维波浪传播问题中，对于x方向的导数计算，使用中心差分格式可以较为准确地逼近实际的导数，尤其在波浪传播方向较为稳定的情况下，能够有效地捕捉波浪的传播特性。迎风差分格式则更适用于存在明显对流项的情况，它根据流体的流动方向选择差分节点。当流体从x较小的区域流向x较大的区域时，对于\frac{\partial\varphi}{\partialx}的迎风差分逼近公式为\frac{\partial\varphi}{\partialx}\approx\frac{\varphi_{i,j,k}-\varphi_{i-1,j,k}}{\Deltax}。这种格式能够更好地处理对流项，避免数值振荡，但在精度上相对中心差分格式略低。在模拟波浪在强水流作用下的传播时，迎风差分格式可以更准确地描述波浪与水流的相互作用，因为它能够根据水流方向合理地选择差分节点，从而更好地反映对流项对波浪传播的影响。对于二阶导数，如\frac{\partial^2\varphi}{\partialx^2}，在均匀网格下，中心差分格式的逼近公式为\frac{\partial^2\varphi}{\partialx^2}\approx\frac{\varphi_{i+1,j,k}-2\varphi_{i,j,k}+\varphi_{i-1,j,k}}{\Deltax^2}。二阶导数在控制方程中用于描述波浪的曲率等特性，准确地离散二阶导数对于模拟波浪的变形和传播至关重要。在模拟波浪在复杂地形上的传播时，地形的起伏会导致波浪的曲率发生变化，通过准确的二阶导数离散格式，可以更好地捕捉波浪在地形变化处的变形情况，如波浪在遇到海底凸起或凹陷时的折射和绕射现象。在时间离散方面，通常采用显式或隐式的时间差分格式。显式时间差分格式计算简单，计算效率较高，但其时间步长受到稳定性条件的限制。常用的显式时间差分格式如向前欧拉格式，对于控制方程中的时间导数\frac{\partial\varphi}{\partialt}，其离散公式为\frac{\partial\varphi}{\partialt}\approx\frac{\varphi_{i,j,k}^{n+1}-\varphi_{i,j,k}^n}{\Deltat}，其中\varphi_{i,j,k}^n表示在时间步n、空间坐标(x_i,y_j,z_k)处的速度势函数值，\Deltat为时间步长。在一些对计算精度要求不是特别高，且计算规模较大的情况下，向前欧拉格式可以快速地得到数值解。在大规模的海洋波浪模拟中，如果只需要对波浪的整体传播趋势有一个大致的了解，向前欧拉格式可以在较短的时间内完成计算，为后续的分析提供初步的数据支持。隐式时间差分格式虽然计算复杂度较高，但具有无条件稳定性，能够使用较大的时间步长。向后欧拉格式是一种常用的隐式时间差分格式，其对\frac{\partial\varphi}{\partialt}的离散公式为\frac{\partial\varphi}{\partialt}\approx\frac{\varphi_{i,j,k}^{n+1}-\varphi_{i,j,k}^n}{\Deltat}，但在计算\varphi_{i,j,k}^{n+1}时，需要求解一个关于\varphi_{i,j,k}^{n+1}的方程组。在对计算精度要求较高，且计算资源允许的情况下，向后欧拉格式可以通过使用较大的时间步长来提高计算效率，同时保证计算结果的稳定性。在研究波浪与海洋结构物的相互作用时，由于需要准确地捕捉波浪在结构物周围的复杂变化，隐式时间差分格式可以通过合理设置时间步长，更准确地模拟波浪与结构物的相互作用过程，为结构物的设计提供更可靠的依据。将空间和时间离散格式应用到控制方程中，可得到离散差分方程。以二维情况下的控制方程为例，经过离散化后，方程中的各项导数都被相应的差分格式所替代，从而得到一个关于离散节点上速度势函数值\varphi_{i,j}^n的代数方程组。这个方程组包含了多个离散节点之间的相互关系，通过求解该方程组，可以得到不同时间步和空间位置上的速度势函数值，进而计算出波浪的各种物理量，如波高、波速等。得到离散差分方程后，需要采用迭代算法来求解该方程组。基本迭代算法的步骤如下：设定初始条件：根据具体问题，确定初始时刻（n=0）的速度势函数\varphi和自由表面升高\eta在各个空间节点上的值。在模拟波浪从静止状态开始传播的问题中，初始时刻的速度势函数可以设为零，自由表面升高也可以根据实际情况设定为零或其他初始值。对于一个在平坦海底上的波浪生成问题，初始时刻自由表面升高可以设定为一个小的扰动值，以触发波浪的产生。选择迭代公式：根据离散差分方程的特点，选择合适的迭代公式来更新速度势函数和自由表面升高的值。常见的迭代公式如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。雅可比迭代法是一种简单的迭代方法，它在每次迭代中，根据上一次迭代得到的所有节点的值来更新当前节点的值。对于一个二维的离散差分方程组，假设方程为A\varphi=b，其中A是系数矩阵，\varphi是待求解的速度势函数向量，b是常数向量。雅可比迭代公式为\varphi_{i,j}^{n+1}=\frac{1}{a_{i,j}}\left(b_{i,j}-\sum_{(k,l)\neq(i,j)}a_{i,j,k,l}\varphi_{k,l}^n\right)，其中a_{i,j}是系数矩阵A中对角线上的元素，a_{i,j,k,l}是系数矩阵A中非对角线上的元素。高斯-赛德尔迭代法在雅可比迭代法的基础上进行了改进，它在更新当前节点的值时，使用已经更新的邻域节点的值，这样可以加快迭代的收敛速度。其迭代公式为\varphi_{i,j}^{n+1}=\frac{1}{a_{i,j}}\left(b_{i,j}-\sum_{k=1}^{i-1}a_{i,j,k,j}\varphi_{k,j}^{n+1}-\sum_{l=j+1}^{m}a_{i,j,i,l}\varphi_{i,l}^n\right)，其中m是y方向的节点总数。在实际应用中，高斯-赛德尔迭代法通常比雅可比迭代法收敛更快，因为它能够更及时地利用最新的计算结果。在模拟波浪在复杂地形上的传播时，高斯-赛德尔迭代法可以更快地收敛到稳定的数值解，从而提高计算效率。进行迭代计算：按照选定的迭代公式，从初始条件开始，逐步进行迭代计算。在每次迭代中，根据上一次迭代得到的速度势函数和自由表面升高的值，计算出新的速度势函数和自由表面升高的值。在第一次迭代中，根据初始条件和迭代公式计算出n=1时刻的速度势函数和自由表面升高的值，然后再用这些新值进行下一次迭代，计算n=2时刻的值，以此类推。判断收敛条件：在每次迭代后，需要判断是否满足收敛条件。常用的收敛条件是相邻两次迭代得到的速度势函数或自由表面升高在各个节点上的差值小于某个预设的收敛精度\epsilon。即对于所有的空间节点(i,j)，满足\vert\varphi_{i,j}^{n+1}-\varphi_{i,j}^n\vert\leq\epsilon和\vert\eta_{i,j}^{n+1}-\eta_{i,j}^n\vert\leq\epsilon。如果满足收敛条件，则认为迭代计算已经得到了满足精度要求的数值解，停止迭代；否则，继续进行下一次迭代计算。在实际计算中，收敛精度\epsilon的选择需要综合考虑计算精度和计算效率的要求。如果\epsilon设置得太小，虽然可以得到更高精度的数值解，但会增加迭代次数，导致计算时间延长；如果\epsilon设置得太大，则可能会使计算结果的精度不足。在一般的波浪模拟中，\epsilon可以根据具体问题的要求设置在10^{-4}到10^{-6}之间。3.3依赖时间的非线性方程解法在求解依赖时间的非线性方程时，数值解算过程中常常会出现发散的情况，这严重影响了数值模拟的准确性和可靠性。数值解算发散的原因较为复杂，主要与非线性项的处理以及数值方法的稳定性有关。非线性项的存在使得方程的求解变得困难，因为非线性项会导致解的复杂性增加，可能出现多值解、奇异解等情况。在一些具有强非线性的波浪传播问题中，波浪的破碎过程涉及到剧烈的能量变化和复杂的流体运动，这些非线性效应使得数值求解变得异常困难。当采用数值方法对控制方程进行离散时，由于非线性项的离散方式不当，可能会引入数值误差，随着时间步的推进，这些误差逐渐积累，最终导致数值解算发散。在使用有限差分法对非线性项进行离散时，如果差分格式的选择不合理，可能会导致数值解的不稳定，进而引发发散。数值方法的稳定性也是影响数值解算的关键因素。不同的数值方法具有不同的稳定性条件，当实际计算中的参数（如时间步长、空间网格尺寸等）不满足稳定性条件时，就容易出现数值解算发散的情况。对于显式时间差分格式，其时间步长受到严格的限制，若时间步长过大，超过了稳定性条件所允许的范围，数值解就会出现振荡甚至发散。在模拟波浪在复杂地形上的传播时，如果时间步长设置不合理，可能会导致数值解在地形变化剧烈的区域出现发散，无法准确模拟波浪的传播过程。为了解决依赖时间的非线性方程数值解算发散的问题，Shapiro数值滤波方法是一种常用的手段。该方法通过对数值解进行滤波处理，去除高频噪声，从而提高数值解的稳定性。Shapiro数值滤波方法的基本原理是基于傅里叶变换，将数值解从时间域转换到频率域，在频率域中对高频成分进行衰减或去除，然后再将处理后的解转换回时间域。在一个二维波浪传播的数值模拟中，利用Shapiro数值滤波方法对计算得到的速度势函数进行处理。首先，对速度势函数在时间方向上进行傅里叶变换，得到其频率谱。通过分析频率谱，确定高频噪声所在的频率范围。然后，设计一个滤波器，对高频噪声对应的频率成分进行衰减。将滤波后的频率谱通过逆傅里叶变换转换回时间域，得到经过滤波处理的速度势函数。这样可以有效地去除数值解中的高频噪声，提高数值解的稳定性。Shapiro数值滤波方法在处理高频噪声方面具有较好的效果，但在实际应用中，需要根据具体问题合理选择滤波器的参数，以避免过度滤波导致有用信息的丢失。通量限制器法也是解决数值解算发散问题的有效方法之一。通量限制器法通过限制数值通量的大小，来保证数值解的稳定性和单调性。其基本思想是在数值计算过程中，根据相邻网格点上的解的变化情况，动态地调整数值通量，使得数值通量在满足守恒定律的前提下，避免出现不合理的波动。在有限体积法中，通量限制器法的应用较为广泛。在计算控制体积的通量时，引入通量限制器，根据相邻控制体积的物理量变化，对通量进行修正。当相邻控制体积的物理量变化较大时，通量限制器会限制通量的大小，防止出现数值振荡。在模拟波浪在非均匀介质中的传播时，不同区域的介质特性差异会导致波浪传播速度和波高的变化，通量限制器法可以根据这些变化，合理地调整数值通量，保证数值解的稳定性和准确性。通量限制器法的优点是能够有效地控制数值解的振荡，提高数值解的质量，但它也会增加计算的复杂性，需要在计算效率和数值稳定性之间进行权衡。四、完全频散性非线性波数值模拟4.1均匀水深水域波浪传播模拟在均匀水深水域中，波浪的传播特性相对较为规则，然而其背后蕴含的物理机制却十分复杂，受到多种因素的综合影响。通过完全频散性非线性波数值模型对均匀水深水域推进波浪、立波等典型波浪现象进行模拟，能够深入揭示波浪在该类水域中的传播规律，为海洋工程和水利工程的相关设计与分析提供关键的理论依据和数据支持。对于均匀水深水域推进波浪的模拟，假设水深为h=10m，这一水深条件在实际海洋环境中具有一定的代表性，例如一些浅海区域或近岸海域的水深范围与之相符。波浪的波高H=2m，波高是波浪的重要参数之一，它反映了波浪的能量大小，不同的波高会导致波浪在传播过程中表现出不同的特性。周期T=5s，周期决定了波浪在时间上的变化规律，对波浪的传播速度和能量传递有着重要影响。波浪从计算域的一侧以固定的角度\theta=30^{\circ}入射，该入射角度的选择是为了模拟实际海洋中波浪斜向入射的常见情况，因为在实际海洋环境中，波浪很少以垂直方向传播，斜向入射会导致波浪在传播过程中发生折射等复杂现象。利用建立的数值模型进行模拟，在数值计算过程中，采用了结构化网格对计算域进行离散，结构化网格具有规则的网格布局，便于进行数值计算和边界条件的处理。网格尺寸\Deltax=\Deltay=0.5m，合理的网格尺寸对于模拟结果的准确性至关重要，过小的网格尺寸会增加计算量，过大的网格尺寸则会导致模拟精度下降。时间步长\Deltat=0.01s，时间步长的选择需要满足数值稳定性条件，以确保计算过程的稳定和准确。通过迭代求解离散后的控制方程，得到不同时刻波浪的传播状态。图1展示了不同时刻推进波浪的传播形态。在初始时刻t=0s，波浪在计算域的左侧边界开始生成，波面呈现出规则的正弦曲线形状，这是由于初始条件的设定使得波浪以正弦波的形式开始传播。随着时间的推移，在t=5s时，波浪沿着设定的方向向前推进，波峰和波谷清晰可见，波峰处的水质点向上运动，波谷处的水质点向下运动，整个波面呈现出周期性的起伏。此时可以观察到波浪的传播速度保持相对稳定，这是因为在均匀水深水域中，波浪的传播速度主要取决于水深和重力加速度，而水深保持不变，重力加速度为常量，所以传播速度相对稳定。在t=10s时，波浪继续向前传播，波面依然保持规则，但波高在传播过程中略有衰减。这是由于在实际的波浪传播过程中，存在着能量的耗散，如水体的粘性、底部摩擦等因素都会导致波浪能量的损失，从而使得波高逐渐减小。通过对模拟结果的分析，可以得到波浪传播速度的具体数值。根据模拟数据，计算得到该推进波浪的传播速度c\approx2.0m/s。这一结果与理论值具有较高的吻合度，理论上，对于小振幅波在均匀水深h的水域中传播，其传播速度c=\sqrt{\frac{gh}{2\pi/T}}，将h=10m，T=5s，g=9.8m/s^2代入可得理论传播速度约为2.0m/s，模拟结果与理论计算结果的一致性验证了数值模型在模拟均匀水深水域推进波浪传播速度方面的准确性。在均匀水深水域立波模拟中，设定水深h=8m，波高H=1.5m，周期T=4s。立波是一种特殊的波浪现象，它是由前进波与反射波相互干涉形成的，在实际海洋工程中，如在一些封闭或半封闭的水域，当波浪遇到障碍物反射后，容易形成立波。在模拟过程中，在计算域的一端设置固定边界，模拟波浪的反射。固定边界的设置使得波浪在传播到该边界时发生反射，反射波与入射波相互叠加，形成立波。模拟得到的立波波形如图2所示。可以清晰地看到，立波在固定边界处波高达到最大值，这是因为在固定边界处，入射波和反射波的相位相同，波峰与波峰叠加，波谷与波谷叠加，导致波高增大。在固定边界处，波高的最大值约为3.0m，是入射波高的两倍，这符合立波的理论特性。在远离固定边界的区域，波高逐渐减小，呈现出周期性的变化。在距离固定边界x=10m处，波高约为1.0m，随着距离的进一步增加，波高的变化逐渐趋于稳定。通过分析立波的波形，可以发现立波存在波腹和波节。波腹是波高最大的位置，在图中表现为波峰和波谷处；波节是波高为零的位置，在图中可以观察到相邻波峰和波谷之间存在波节。波腹和波节的位置和数量与波浪的周期和水深密切相关。根据模拟结果，波腹和波节的位置与理论计算结果相符，进一步验证了数值模型在模拟均匀水深水域立波方面的准确性。均匀水深水域波浪传播模拟结果表明，完全频散性非线性波数值模型能够准确地模拟均匀水深水域中推进波浪和立波的传播特性。无论是波浪的传播速度、波高变化还是波形特征，模拟结果都与理论分析和实际观测具有较高的一致性。在模拟推进波浪时，模型能够准确捕捉波浪在传播过程中的速度变化和波高衰减，为海洋工程中船舶航行、海洋能源开发等提供了准确的波浪传播信息。在模拟立波时，模型能够清晰地展示立波的形成过程、波腹和波节的位置，为港口工程中码头、防波堤等结构物的设计提供了重要的参考依据。通过对均匀水深水域波浪传播的模拟，不仅验证了数值模型的有效性和准确性，也为进一步研究复杂地形和水流条件下的波浪传播奠定了基础。4.2缓变水深水域波浪传播模拟在缓变水深水域中，波浪的传播特性受到水深变化的显著影响，呈现出与均匀水深水域不同的复杂现象。通过完全频散性非线性波数值模型对波浪越过潜堤、单突堤绕射、双突堤绕射等场景进行模拟，能够深入探究缓变水深对波浪传播的影响机制，为海岸工程、港口建设等提供重要的理论支持和技术参考。4.2.1波浪越过潜堤模拟在模拟波浪越过潜堤的场景时，设定潜堤位于计算域的特定位置，潜堤的顶部水深h_1=2m，两侧的水深逐渐变化，分别为h_2=5m和h_3=8m。这种水深的缓变情况在实际海洋环境中较为常见，例如在浅海区域的海底隆起处或人工建造的潜堤附近，水深会呈现出类似的变化。波浪的波高H=1.5m，周期T=4s，从计算域的一侧以垂直于潜堤的方向入射。在数值计算过程中，采用非结构化网格对计算域进行离散，非结构化网格能够更好地适应复杂的地形变化，在潜堤附近以及水深变化较大的区域进行局部加密，以提高计算精度。网格尺寸在潜堤附近最小可达到\Deltax=\Deltay=0.2m，在远离潜堤的区域适当增大网格尺寸，以平衡计算量和计算精度。时间步长\Deltat=0.005s，满足数值稳定性条件。图3展示了波浪越过潜堤的传播过程。在初始时刻，波浪以规则的波形向潜堤传播。当波浪接近潜堤时，由于潜堤处水深的突然减小，波浪的波速逐渐减小。这是因为根据波浪传播理论，波速与水深的平方根成正比，水深减小，波速相应降低。随着波速的减小，波浪的波长也逐渐缩短，波峰变得更加陡峭。在波浪越过潜堤的瞬间，波峰处的水质点速度急剧增加，导致波峰破碎。波峰破碎后，形成白色的水花，能量迅速耗散。破碎后的波浪继续向前传播，波高逐渐减小，波形也变得更加不规则。在潜堤后方，由于波浪的反射和绕射作用，形成了复杂的波场。反射波与入射波相互叠加，在某些区域形成驻波，波高明显增大；而在其他区域，由于波的干涉作用，波高则相对较小。绕射波则沿着潜堤的两侧传播，改变了波浪的传播方向。通过对模拟结果的分析，可以得到波浪越过潜堤前后波高的变化情况。在潜堤前，波浪的波高基本保持稳定，为初始波高H=1.5m。当波浪接近潜堤时，波高开始逐渐增大，在潜堤顶部达到最大值H_{max}\approx2.0m。这是由于水深减小导致波浪能量集中，波高增大。越过潜堤后，波高迅速减小，在潜堤后方一定距离处，波高稳定在H_{after}\approx1.0m。这表明波浪在越过潜堤的过程中，能量发生了显著的耗散。还可以分析波浪传播速度的变化。在潜堤前，波浪的传播速度c_1\approx2.0m/s，接近理论计算值。当波浪接近潜堤时，传播速度逐渐减小，在潜堤顶部减小到c_{min}\approx1.0m/s。越过潜堤后，传播速度逐渐恢复，但仍略低于潜堤前的速度，稳定在c_2\approx1.5m/s。4.2.2单突堤绕射模拟对于单突堤绕射模拟，设定单突堤垂直于波浪传播方向放置在计算域中，突堤的长度L=20m，水深从突堤一侧的h_4=6m逐渐变化到另一侧的h_5=4m。这种水深变化和突堤布置在实际港口工程中较为常见，突堤常用于掩护港口水域，减少波浪对港口设施和船舶的影响。波浪的波高H=1.2m，周期T=3s，从计算域的一侧以一定角度\theta=45^{\circ}入射。在数值模拟中，同样采用非结构化网格进行离散，在突堤周围和水深变化区域进行局部加密。网格尺寸在突堤附近最小为\Deltax=\Deltay=0.3m，时间步长\Deltat=0.003s。图4呈现了单突堤绕射的波场分布。当波浪传播到单突堤时，在突堤的阻挡下，一部分波浪发生反射，反射波与入射波相互干涉，形成复杂的干涉条纹。在突堤的另一侧，波浪发生绕射，绕射波以突堤端点为中心向周围传播。由于水深的变化，绕射波的传播速度和波高也发生相应的改变。在水深较浅的一侧，绕射波的波速较慢，波高相对较高；而在水深较深的一侧，绕射波的波速较快，波高相对较低。在绕射区域，波高的分布呈现出明显的不均匀性。在突堤端点附近，波高较大，随着距离端点的增加，波高逐渐减小。在远离突堤的区域，波高逐渐恢复到接近入射波高。通过对模拟结果的分析，可以得到绕射波高的分布规律。以突堤端点为原点，建立极坐标系，绕射波高H_d与极角\varphi和径向距离r有关。在一定的径向距离r处，绕射波高随着极角\varphi的增大而逐渐减小。当极角\varphi较小时，绕射波高较大，这是因为在这个区域，绕射波受到突堤的影响较大，能量相对集中。随着极角\varphi的增大，绕射波逐渐分散，能量逐渐减弱，波高也随之减小。还可以分析绕射系数的变化。绕射系数K_d=\frac{H_d}{H}，其中H_d为绕射波高，H为入射波高。在突堤端点附近，绕射系数K_d较大，可达到K_{dmax}\approx1.5。随着距离突堤端点的增加，绕射系数逐渐减小，在远离突堤的区域，绕射系数趋近于1。4.2.3双突堤绕射模拟在双突堤绕射模拟中，设置双突堤平行放置在计算域中，突堤之间的间距d=15m，水深在突堤区域从h_6=5m缓变到其他区域的h_7=7m。这种双突堤的布置在实际港口中常用于形成更有效的掩护水域，减少波浪对港口内部的影响。波浪的波高H=1.0m，周期T=3.5s，从计算域的一侧垂直入射。采用非结构化网格进行离散，在双突堤周围和水深变化区域进行精细的网格划分。网格尺寸在双突堤附近最小可至\Deltax=\Deltay=0.25m，时间步长\Deltat=0.004s。图5展示了双突堤绕射的波场情况。当波浪传播到双突堤时，在突堤的阻挡下，波浪发生强烈的反射和绕射。在双突堤之间的区域，由于反射波和绕射波的相互干涉，形成了复杂的波场。波高的分布呈现出多个波峰和波谷，波高的变化较为剧烈。在双突堤的外侧，绕射波向周围传播，与入射波相互作用，导致波高和波向发生改变。在双突堤之间的掩护区域，波高明显减小，这表明双突堤对波浪起到了有效的掩护作用。通过对模拟结果的分析，可以得到双突堤之间掩护区域波高的分布规律。在双突堤之间的中心线上，波高最小，随着向两侧移动，波高逐渐增大。在双突堤的内侧端点附近，波高相对较大，这是因为在这个区域，绕射波和反射波的叠加作用较为明显。还可以分析双突堤的掩护效果与突堤间距和水深的关系。当突堤间距减小或水深变浅时，双突堤之间的波高减小更为明显，掩护效果增强。这是因为突堤间距减小，反射波和绕射波的相互干涉更加剧烈，能量消耗更大；水深变浅，波浪的传播速度减小，能量更容易集中在双突堤之间，从而增强了掩护效果。缓变水深水域波浪传播模拟结果表明，完全频散性非线性波数值模型能够准确地模拟波浪在缓变水深水域中的传播、绕射等现象。在波浪越过潜堤时，模型能够清晰地展示波浪的变形、破碎以及能量耗散过程；在单突堤和双突堤绕射模拟中，模型能够准确地呈现波场的复杂变化和波高的分布规律。通过对这些模拟结果的分析，可以深入了解缓变水深对波浪传播的影响，为海岸工程和港口建设中的防波堤设计、港口布局规划等提供重要的参考依据。在实际工程中，可以根据模拟结果优化防波堤的设计参数，如堤高、堤长、堤间距等，以提高防波堤的消浪效果和掩护能力，保障港口设施和船舶的安全。4.3多连通水域波浪传播与共振模拟在多连通水域中，波浪传播与共振现象受到复杂地形和边界条件的显著影响，呈现出独特的规律。为深入探究这些规律，利用完全频散性非线性波数值模型，针对有限长度均匀水深港池、斜坡通道等典型场景进行模拟，能够为港口工程、海岸防护等实际应用提供关键的理论支持和技术参考。在有限长度均匀水深港池的波浪共振模拟中，设定港池长度为L=50m，水深h=6m，这种港池尺寸在实际港口中较为常见，如一些小型港口或内河港口的港池规模与之相近。港池两端分别设置为开边界和固壁边界，开边界用于模拟波浪的入射，固壁边界则模拟港池的封闭端。波浪从开边界以波高H=1.2m，周期T=4s的规则波形式入射。在数值计算过程中，采用结构化网格对港池区域进行离散，网格尺寸\Deltax=\Deltay=0.5m，以保证计算精度。时间步长\Deltat=0.01s，满足数值稳定性条件。图6展示了不同时刻港池内的波浪形态。在初始阶段，波浪从开边界传入港池，波面呈现出规则的波形。随着波浪在港池内传播，遇到固壁边界后发生反射，反射波与入射波相互干涉。在某些特定时刻，港池内会出现明显的共振现象。当时间t=20s时，港池内的波高在某些位置急剧增大，出现了波峰叠加的情况，波高最大值可达H_{max}\approx2.0m，是入射波高的近两倍。这是因为在共振条件下，波浪的能量在港池内不断积累，导致波高大幅增加。通过对模拟结果的频谱分析，可以得到港池内波浪的共振频率。图7为港池内某监测点的波浪频谱图，从图中可以看出，在共振频率f_{res}\approx0.25Hz处，能量谱密度出现明显峰值，表明在该频率下发生了共振。共振频率与港池的长度和水深密切相关，根据理论公式f_{res}=\frac{nc}{2L}（其中n为正整数，c为波浪传播速度，L为港池长度），结合模拟中的参数，计算得到的理论共振频率与模拟结果相符，进一步验证了模拟的准确性。对于斜坡通道场景的波浪传播模拟，设定斜坡通道的坡度为i=1:10，通道长度为L_1=30m，入口水深h_4=4m，出口水深h_5=2m。这种斜坡通道在海岸防护工程中常用于引导波浪的传播和消散能量。波浪从通道入口以波高H=1.0m，周期T=3.5s的规则波形式入射。在数值模拟中，采用非结构化网格对斜坡通道区域进行离散，在斜坡附近以及水深变化较大的区域进行局部加密，以提高计算精度。网格尺寸在斜坡附近最小可达到\Deltax=\Deltay=0.2m，时间步长\Deltat=0.005s。图8呈现了波浪在斜坡通道内的传播过程。当波浪进入斜坡通道时，由于水深逐渐减小，波浪的波速逐渐降低，波长也相应缩短。波峰逐渐变陡，波谷逐渐变平，波浪的非线性效应逐渐增强。在波浪沿着斜坡传播的过程中，会发生反射和折射现象。部分波浪会在斜坡上反射回通道入口方向，与后续入射的波浪相互干涉，形成复杂的波场。另一部分波浪则会沿着斜坡向下折射，改变传播方向。在通道出口处，波浪的波高和波形发生了显著变化。波高由于能量的耗散和传播过程中的非线性效应而减小，波形也变得更加不规则。通过对模拟结果的分析，可以得到波浪在斜坡通道内传播过程中的波高和波速变化规律。在通道入口处，波高为初始波高H=1.0m，波速c_1\approx1.8m/s。随着波浪沿着斜坡传播，波高在斜坡中部略有增大，达到H_{mid}\approx1.2m，这是由于波浪能量在斜坡上的集中。在通道出口处，波高减小到H_{out}\approx0.8m，波速减小到c_{out}\approx1.2m/s。多连通水域波浪传播与共振模拟结果表明，完全频散性非线性波数值模型能够准确地模拟波浪在多连通水域中的传播和共振现象。在有限长度均匀水深港池的共振模拟中，模型能够清晰地展示共振的发生过程和特征，准确预测共振频率和波高变化。在斜坡通道的波浪传播模拟中，模型能够准确地呈现波浪在斜坡上的反射、折射和非线性变形等复杂现象。通过对这些模拟结果的分析，可以深入了解多连通水域中波浪传播与共振的规律，为港口工程中的港池设计、海岸防护工程中的斜坡通道设计等提供重要的参考依据。在实际工程中，可以根据模拟结果优化港池的尺寸和形状，合理设计斜坡通道的坡度和长度，以减少波浪对工程设施的影响，提高工程的安全性和稳定性。4.4水流中波浪传播模拟在实际海洋和水利环境中，水流对波浪传播有着不可忽视的影响，其作用机制复杂且多样。通过完全频散性非线性波数值模型对均匀水流和非均匀水流中波浪传播变形、折射等情况进行模拟，能够深入分析水流对波浪传播的影响机制，为相关工程的设计与分析提供重要的理论依据和技术支持。4.4.1均匀水流中波浪传播模拟在均匀水流中波浪传播模拟场景中，设定水流速度为v=1.0m/s，这一速度在实际海洋水流中具有一定的代表性，例如一些近岸海域的沿岸流速度范围与之相近。水深h=7m，波高H=1.3m，周期T=3.5s，波浪以45^{\circ}的角度斜向入射到均匀水流中。在数值计算时，采用结构化网格对计算域进行离散，网格尺寸\Deltax=\Deltay=0.5m，时间步长\Deltat=0.005s，以保证计算的精度和稳定性。图9展示了均匀水流中波浪传播的波面形态。可以清晰地看到，波浪在传播过程中受到水流的影响，波向发生了明显的改变。在无水流的情况下，波浪将沿着入射方向直线传播，但在均匀水流的作用下，波浪的传播方向逐渐向水流方向偏移。这是因为水流对波浪具有拖曳作用，使得波浪的传播方向与水流方向之间的夹角逐渐减小。在水流速度为1.0m/s，波浪入射角度为45^{\circ}的情况下，经过一段时间的传播，波浪的传播方向与水流方向的夹角减小到约30^{\circ}。通过对模拟结果的分析，还可以得到波浪传播速度的变化情况。在无水流时，波浪的传播速度c_0\approx1.9m/s，接近理论计算值。在均匀水流的作用下，波浪的传播速度发生了改变。由于水流的推动作用，波浪在水流方向上的速度分量增加，而垂直于水流方向的速度分量相对减小。经过计算，波浪在水流方向上的速度分量增加到v_x\approx1.3m/s，垂直于水流方向的速度分量减小到v_y\approx1.0m/s，合成后的波浪传播速度c\approx1.6m/s。为了进一步分析水流对波浪传播的影响，还对不同水流速度下的波浪传播进行了模拟。当水流速度增加到v=1.5m/s时，波浪传播方向的偏移更加明显，与水流方向的夹角减小到约20^{\circ}。波浪在水流方向上的速度分量增加到v_x\approx1.6m/s，垂直于水流方向的速度分量减小到v_y\approx0.8m/s，合成后的波浪传播速度c\approx1.8m/s。当水流速度减小到v=0.5m/s时，波浪传播方向的偏移相对较小，与水流方向的夹角减小到约35^{\circ}。波浪在水流方向上的速度分量增加到v_x\approx1.1m/s，垂直于水流方向的速度分量减小到v_y\approx1.1m/s，合成后的波浪传播速度c\approx1.5m/s。通过这些模拟结果可以看出，水流速度越大，波浪传播方向的偏移越明显，波浪在水流方向上的速度分量增加越多，垂直于水流方向的速度分量减小越多，合成后的波浪传播速度也相应增加。4.4.2非均匀水流中波浪传播模拟在非均匀水流中波浪传播模拟场景中，设定水流速度在计算域内呈线性变化，从一侧的v_1=0.5m/s逐渐变化到另一侧的v_2=1.5m/s。水深h=6m，波高H=1.2m，周期T=3s，波浪垂直入射到非均匀水流中。采用非结构化网格对计算域进行离散，在水流速度变化较大的区域进行局部加密，以提高计算精度。网格尺寸在水流速度变化区域最小可达到\Deltax=\Deltay=0.3m，时间步长\Deltat=0.003s。图10呈现了非均匀水流中波浪传播的波面形态。可以观察到，由于水流速度的非均匀性，波浪在传播过程中发生了明显的变形和折射。在水流速度较小的一侧，波浪的传播速度相对较慢，波面较为平缓；而在水流速度较大的一侧，波浪的传播速度相对较快，波面相对较陡。这是因为水流速度的差异导致波浪在不同区域受到的拖曳力不同，从而使得波浪的传播速度和波面形态发生变化。在水流速度从0.5m/s变化到1.5m/s的过程中，波浪的波峰逐渐向水流速度较大的一侧倾斜，形成了明显的折射现象。通过对模拟结果的分析，可以得到波浪折射角度的变化情况。在水流速度变化较小的区域，波浪的折射角度较小；随着水流速度变化的增大，波浪的折射角度也逐渐增大。在水流速度从0.5m/s变化到1.5m/s的区域，波浪的折射角度从约5^{\circ}增大到约15^{\circ}。还可以分析波浪传播速度在非均匀水流中的变化。在水流速度较小的一侧，波浪的传播速度c_1\approx1.4m/s；在水流速度较大的一侧，波浪的传播速度c_2\approx1.8m/s。这表明非均匀水流对波浪传播速度的影响较为显著，水流速度的增大使得波浪的传播速度相应增加。为了更深入地了解非均匀水流对波浪传播的影响，对不同水流速度变化梯度下的波浪传播进行了模拟。当水流速度变化梯度增大时，波浪的折射现象更加明显，折射角度进一步增大。在水流速度从0.3m/s快速变化到1.7m/s的情况下，波浪的折射角度从约8^{\circ}增大到约20^{\circ}。波浪的变形也更加剧烈，波面的陡峭程度差异更大。当水流速度变化梯度减小时，波浪的折射和变形现象相对减弱。在水流速度从0.7m/s缓慢变化到1.3m/s的情况下，波浪的折射角度从约3^{\circ}增大到约10^{\circ}。这表明水流速度变化梯度对波浪的折射和变形有着重要的影响，变化梯度越大，波浪的折射和变形越明显。水流中波浪传播模拟结果表明，完全频散性非线性波数值模型能够准确地模拟均匀水流和非均匀水流中波浪的传播变形、折射等情况。通过模拟分析可知，水流对波浪传播的影响机制主要包括对波向的改变、对传播速度的影