2025年龙岗二模数学真题及答案

2025年龙岗二模数学真题及答案

一、填空题（每题2分，共20分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，则实数a的值为______。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。3.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则公比q=______。4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=r^2，若圆C与直线y=x+1相切，则r=______。5.若复数z=1+i，则|z|=______。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，则b=______。7.某校高三年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行体检，已知样本中身高在170cm以上的有40人，则该校高三年级身高在170cm以上的人数估计为______人。8.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=______。9.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=1/x上运动，则点P到直线x+y=1的距离的最小值为______。10.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为______。二、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)是奇函数，则f(0)=0。（√）2.不等式|2x-1|>3的解集为{x|x>2或x<-1}。（√）3.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，d=2，则a_10=18。（×）4.若圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=4，则圆心C到原点的距离为√5。（√）5.若复数z=2+3i，则z的共轭复数为2-3i。（√）6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。（×）7.样本估计总体时，样本量越大，估计越准确。（√）8.函数f(x)=x^3在x=0处取得极值。（×）9.若向量a=(1,0)，b=(0,1)，则向量a与向量b垂直。（√）10.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=√(1-x^2)上运动，则点P到原点的距离为1。（√）三、选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在定义域上单调递增的是（C）。A.f(x)=x^2B.f(x)=1/xC.f(x)=e^xD.f(x)=log_x2.若集合A={x|x>0}，B={x|x≤1}，则A∩B=（A）。A.{x|0<x≤1}B.{x|x>1}C.{x|x≤1}D.∅3.在等比数列{a_n}中，若a_2=4，a_4=16，则a_6=（D）。A.32B.64C.128D.2564.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，则圆C的面积为（B）。A.9πB.36πC.81πD.144π5.若复数z=1+i，则z^2=（C）。A.2B.-2C.2iD.-2i6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，则b=（A）。A.2B.2√2C.2√3D.47.某校高三年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行体检，已知样本中身高在170cm以上的有40人，则该校高三年级身高在170cm以上的学生比例估计为（C）。A.20%B.30%C.40%D.50%8.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=（B）。A.1B.eC.e^2D.1/e9.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=1/x上运动，则点P到直线x+y=1的距离的最小值为（A）。A.1/√2B.1C.√2D.210.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（D）。A.-1/5B.1/5C.-3/5D.3/5四、简答题（每题5分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。故f(x)在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值。2.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圆C的圆心和半径。解：圆心为(1,2)，半径为2。3.已知复数z=1+i，求z的模和共轭复数。解：|z|=√(1^2+1^2)=√2，z的共轭复数为1-i。4.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值。解：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=0，得e-a=0，即a=e。五、讨论题（每题5分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，d=2，求a_10的值。解：a_n=a_1+(n-1)d，故a_10=3+(10-1)×2=23。2.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圆C与直线y=x+1的交点坐标。解：联立方程组：(x-1)^2+(y-2)^2=4y=x+1代入得(x-1)^2+(x+1-2)^2=4，即(x-1)^2+(x-1)^2=4，化简得2(x-1)^2=4，即(x-1)^2=2，解得x=1±√2，故交点坐标为(1+√2,2+√2)和(1-√2,2-√2)。3.已知复数z=2+3i，求z的模和辐角主值。解：|z|=√(2^2+3^2)=√13，辐角主值θ满足tanθ=3/2，θ∈(0,π)，故θ=arctan(3/2)。4.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=1/x上运动，求点P到直线x+y=1的距离的最小值。解：点P到直线x+y=1的距离d=|x+y-1|/√2，令f(x)=x+1/x，求f(x)的最小值，f'(x)=1-1/x^2，令f'(x)=0，得x=1，f''(x)=2/x^3，f''(1)>0，故x=1处取得极小值，故最小值为f(1)=2，故d的最小值为|2-1|/√2=1/√2。答案和解析一、填空题1.12.33.24.√25.√26.2√27.8008.e9.1/√210.-3/5二、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√三、选择题1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.C8.B9.A10.D四、简答题1.极值点为x=