2026高考数学一轮复习-1.4基本不等式【课件】

第一章第4节基本不等式[课程标准要求]1.掌握基本不等式(a>0,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:

.(2)等号成立的条件:当且仅当

.a>0,b>0a=b2.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:

.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.基本不等式与最值已知x,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大).(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值(简记:积定和最小).4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;(2)a>0,b>0,c>0,则≥.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)“x>0且y>0”是“”的充要条件.(

)(2)当a,b异号时,≤-2.(

)(4)对任意a,b∈R,a2+b2≥均成立.(

)×√×√2.若正实数a,b满足a+4b=ab,则ab的最小值为(

)A.16 B.8 C.4 D.2√解析:因为正实数a,b满足a+4b=ab,所以ab≥16,当且仅当a=4b,即a=8,b=2时,等号成立.故选A.3.(必修第一册P49习题2.2T5改编)(-6<a<3)的最大值为

.

4.某小学开展劳动教育,欲在围墙边用栅栏围成一个2m2的矩形植物种植园,矩形的一条边为围墙,如图.则至少需要

m栅栏.

解析:设矩形植物种植园的长、宽分别为a,b,所以S=ab=2,则a+2b≥

=4,当且仅当a=2b=2时,取等号.故至少需要4m栅栏.402提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一利用基本不等式求最值角度一配凑法[例1]已知x>1,则x+的最小值是

.

5配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.但前提是应保证“一正”“二定”“三相等”.[例2](2024·四川模拟)已知正数x,y满足x+y=5,则的最小值是

.

角度二常数代换法常数代换法主要解决以下最值问题角度三消元法[例3]已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为

.

6通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.[针对训练]√(2)(角度三)已知正数x,y满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4√(3)(角度二)(2024·山东济南模拟)已知正数x,y满足4x+2y=xy,则x+2y的最小值为

.

18考点二利用基本不等式解决恒成立问题[例4](2024·宁夏中卫模拟)已知点A(1,4)在直线=1(a>0,b>0)上,若关于t的不等式a+b≥t2+5t+3恒成立,则实数t的取值范围为(

)A.[-6,1]B.[-1,6]C.(-∞,-1]∪[6,+∞)D.(-∞,-6]∪[1,+∞)√所以9≥t2+5t+3,解得-6≤t≤1,所以t∈[-6,1].故选A.(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.[针对训练](2024·四川遂宁模拟)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(

)A.9 B.12 C.18 D.24√考点三基本不等式的实际应用[例5]甲、乙两地相距800km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100km/h,若货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成:可变成本是速度v(单位:km/h)的平方的,固定成本为a元.(1)将全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值.[针对训练]为了美化校园环境,园艺师在花园中规划出一个平行四边形,建成一个小花圃,如图,计划以相距6m的M,N两点为▱AMBN一组相对的顶点,当▱AMBN的周长恒为20m时,小花圃占地面积(单位:m2)最大为(

)A.6 B.12 C.18 D.24√微点提能1基本不等式链[典例](