2026高考数学一轮复习-2.7对数函数

第一章第7节对数函数[课程标准要求]1.通过实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.对数函数及其性质(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象性质定义域:

值域:

当x=1时,y=0,即过定点

当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是

在(0,+∞)上是

(0,+∞)

R(1,0)增函数减函数2.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数

(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线

对称,它们的定义域和值域正好互换.y=logaxy=x对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)函数y=log2(x+1)是对数函数.(

)(2)函数y=与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(

)(3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(

)(4)函数y=log2x与y=的图象重合.(

)×√×√A.b<a<c B.b<c<aC.a<b<c D.a<c<b√解析:由题意a=-log32,b=-log410,c=-log23,因为log410>log49=log23>1>log32,所以b<c<a.故选B.3.(2024·安徽安庆模拟)函数f(x)=log22x与g(x)=2-在同一直角坐标系下的图象大致是(

)√解析:因为f(x)=log22x=1+log2x为定义域上的单调递增函数,f(1)=1,故A不成立;因为g(x)=2-为定义域上的单调递增函数,g(0)=2-=1,故C和D不成立.故选B.4.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(

)A.(1,0) B.(1,-4)C.(2,0) D.(2,-4)解析:令2x-3=1得x=2,所以f(2)=loga1-4=-4,故f(x)恒过定点(2,-4).故选D.√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一对数函数的图象及应用[例1](1)函数y=ax2+bx与y=(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(

)√(2)若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为

.

(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[针对训练](1)(2024·四川绵阳模拟)函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)与函数g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是(

)√解析:(1)g(x)=(a-1)x2-ax的图象过原点,排除A,C;当0<a<1时,f(x)=logax单调递减,g(x)开口向下,排除D.故选B.(2)(2024·浙江杭州模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示,将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>log2x的解集是(

)A.(-∞,2)B.(2,+∞) C.(0,2)D.(0,1)√解析:(2)根据图中信息作出函数g(x),y=log2x的图象如图所示.因为f(0)=1,则g(2)=1,且log22=1,由图可知,不等式g(x)>log2x的解集为(0,2).故选C.(3)已知函数f(x)=若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围为

.

(e,e2)解析:(3)作出函数f(x)=的图象如图所示,设a<b<c,因为f(a)=f(b)=f(c),所以|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,则ab=1,又因为当x>e时,f(x)=2-lnx单调递减,且与x轴交于点(e2,0),所以c∈(e,e2),所以abc=c∈(e,e2).考点二对数函数的性质及应用角度一比较大小[例2](2024·四川成都模拟)设a=log23,b=log34,c=logab,则下列关系正确的是(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b√解析:因为a=log23>1,b=log34>1,所以a>b>1,所以c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选A.比较对数式大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较角度二解对数不等式[例3](1)(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x+1)<1的解集为

.

(0,7)解析:(1)当x+1≤1,即x≤0时,f(x+1)=e2-(x+1)=e1-x<1,所以1-x<0,解得x>1(舍去);当x+1>1,即x>0时,f(x+1)=lg(x+3)<1,所以0<x+3<10,解得-3<x<7,所以0<x<7.综上所述,不等式f(x+1)<1的解集为(0,7).(2)(2024·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x)<1的解集为

.

解析:(2)当x≤0时,f(x)=2x<1=20,解得x<0;当x>0时,f(x)=|lnx|<1,即-1<lnx<1,对数不等式的两种类型及求解方法类型求解方法logax>logab借助y=logax的单调性求解如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.注意:不要忽略函数的定义域logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解角度三对数函数性质的综合应用[例4](多选题)(2023·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(

)A.f(x)的定义域是(-6,4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)D.f(x)在[0,4]上单调递增√√即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),因为y=-x2-2x+24在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在[-1,4)上单调递减,所以D错误.故选AB.与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.[针对训练](1)(角度一)若a=log23,b=log32,c=,则下列结论正确的是(

)A.a<c<b B.c<b<aC.b<c<a D.c<a<b√解析:(1)由对数函数y=log2x在x∈(0,+∞)上单调递增可知,a=log23>log22=1,可得a∈(1,+∞);由对数函数y=log3x在x∈(0,+∞)上单调递增可知,0=log31<b=log32<log33=1,可得b∈(0,1);由对数函数y=log4x在x∈(0,+∞)上单调递增可知,c=<log41=0,可得c∈(-∞,0),所以可得c<b<a.故选B.(2)(角度三)(2023·湖北武汉模拟)函数y=loga(x2-ax+2)在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围是(

)A.(0,1) B.[2,+∞)C.[2,3) D.(1,3)√解析:(2)若0<a<1,因为函数y=loga(x2-ax+2)在区间(-∞,1]上是减函数,则t=x2-ax+2在区间(-∞,1]上为增函数,不可能,舍去;若a>1,因为函数y=loga(x2-ax+2)在区间(-∞,1]上是减函数,则t=x2-ax+