2026高考数学一轮复习-4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式[课程标准要求]1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tanα(α≠+kπ,k∈Z).2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(-α,±α,π±α,2kπ+α(k∈Z)的正弦、余弦、正切).积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=

.1(2)商数关系:=tanα(α≠+kπ,k∈Z).2.诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosα

余弦cosα-cosαcosα

sinα-sinα正切tanαtanα-tanα

——口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限cosα-cosα-tanα诱导公式的记忆口诀可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”,这里的奇、偶指的是k·±α(k∈Z)中k是奇数还是偶数,“符号看象限”指的是把α看成锐角时,k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号,即原三角函数值的符号.2.任意负角的三角函数利用诱导公式三或一任意正角的三角函数利用诱导公式一0～2π的角的三角函数锐角三角函数也就是:“负化正,去周期,大化小,全化锐”.利用诱导公式二或四或五或六1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(

)(2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.(

)×(3)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cosθ=.(

)××(4)∀α∈R,tanα=.(

)×2.已知cosα=-,且α为第三象限角,则sinα等于(

)√解析:因为α为第三象限角,所以sinα=.故选C.3.若sinα+cosα=,则sinαcosα等于(

)解析:因为sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=,即1+2sinαcosα=,所以sinαcosα=-.故选B.√4.已知tanα=3,则=

.

解析:因为tanα=3,25.cos(-)=

.

02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一同角三角函数基本关系的应用角度一“知一求二”问题[例1](2024·广东惠州模拟)已知tanα=2,π<α<,则cosα-sinα等于(

)√故选A.已知sinα,cosα,tanα中的一个求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tanα=即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的符号.角度二sinα,cosα的齐次式问题[例2]已知tanα=,则=

,sin2α+sinαcosα+2=

.

(1)分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,往往转化为关于tanα的式子求解.(2)关于sinα,cosα的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α.角度三“sinα±cosα,sinαcosα”之间的关系√解析:由题意可得,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,整理得sinαcosα=>0,即sinα>0,cosα>0,可得sinα+cosα>0,因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,可得sinα+cosα=,故选D.对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.[针对训练](1)(角度一)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值为(

)√解析:(1)因为α为第四象限角,且sinα=-,(2)(角度三)(2024·山东青岛调研)若sinθ+cosθ=,则sin4θ+cos4θ等于(

)解析:(2)由sinθ+cosθ=,平方得1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×.故选B.√解析:(3)因为3sinα-cosα=>0,所以α∈(0,),又(3sinα-cosα)2=5,所以9sin2α-6sinαcosα+cos2α=5,2(3)(角度二)已知α∈,3sinα-cosα=,则tanα=

.

即2tan2α-3tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-(舍去).考点二诱导公式的应用[例4](1)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)的值为(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2√√(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正,化大为小,化到锐角为止.②角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.[针对训练]√6考点三同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用[例5](1)(2024·辽宁葫芦岛模拟)若,则tanθ等于(

)A. B.- C.-3 D.3√解得tanθ=-3.故选C.(2)已知cos167°=m,则tan193°等于(

)√解析:(2)tan193°=tan(360°-167°)=-tan167°=,因为cos167°=m,所以sin167°=,所以tan193°=-.故选C.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响.[针对训练]√(1)(2024·安徽黄山模拟)已知,则sinx等于(

)则cos2