2026高考数学一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算【课件】

第五章平面向量、复数第1节平面向量的概念及线性运算[课程标准要求]1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有

的量叫做向量,向量的大小叫做向量的

.(2)零向量:长度为

的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于

长度的向量.方向长度(或模)01个单位(4)平行向量:方向相同或

的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向

的向量.(6)相反向量:长度相等且方向

的向量.相反相同相反2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律:a+b=

;结合律:(a+b)+c=

减法a-b=

b+aa+(b+c)a+(-b)数乘(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

;当λ=0时,λa=0,λ∈Rλ(μa)=

;(λ+μ)a=

;λ(a+b)=

,λ,μ∈R相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.虽然a≠0,b=λa,但不能写为λ=.√1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(

)(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(

)××(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(

)√2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),则等于(

)√b-a-a-b5.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则实数λ=

.

解析:由已知2a-b≠0,依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a与b均不为零向量,所以02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一平面向量的基本概念[例1](1)下列命题正确的是(

)A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>bD.两个相等向量的模相等√解析:(1)若两个向量相等,它们的起点和终点不一定分别重合,A错误;模相等的两个平行向量可能是相等向量也可能是相反向量,B错误;因为向量是既有大小,又有方向的量,所以任何两个向量都不能比较大小,C错误;两个相等向量的模一定相等,D正确.故选D.(2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使

成立的充分条件是(

)A.a=-b B.a∥bC.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|√有关平面向量概念辨析问题的解题需要明确性质、定理成立的前提,求解时要善于通过举反例来验证结论的错误,另外还要注意以下几点:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,所以两向量相等,与起点(终点)无关.(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量的模长均为实数,所以模长可以比较大小.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.[针对训练]给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,且,则四边形ABCD为平行四边形;②a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b;③已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;④a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向.其中真命题是

(填序号).

①④解析:①正确,因为,且AB∥DC,又A,B,C,D四点不共线,所以四边形ABCD是平行四边形.②错误,当a∥b,且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|,且a∥b是a=b的必要不充分条件.③错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.④正确,b与-b反向,a与b同向,故a与-b反向.考点二平面向量的线性运算[例2](1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列结论正确的是(

)A.a∥b B.a⊥bC.|a|=|b| D.a+b=a-b√(2)(多选题)在△ABC中,E,F分别是边BC和AC上的中点,P是AE与BF的交点,则有(

)√√(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.(3)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.√[针对训练](1)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于(

)√考点三向量共线定理及其应用[例3]设两个非零向量a与b不共线,(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(2)解:因为ka+b和a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是两个不共线的非零向量,所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0,所以k=±1.(1)向量共