2026高考数学一轮复习-10.5古典概型、概率的基本性质【课件】

第5节古典概型、概率的基本性质[课程标准要求]1.理解古典概型及其概率公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点个数及事件发生的概率.3.掌握概率的基本性质.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.古典概型具有以下两个特征的试验叫做古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:样本空间的样本点只有

;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性

.有限个相等2.古典概型的概率公式设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.3.概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=

.性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=

,P(A)=

.性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)(1)由性质5可得,对于任意事件A,因为⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.(2)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,注意只有当A∩B=,即A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0,即性质3是性质6的特殊情况.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本点是“发芽与不发芽”.(

)(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(

)(3)“口袋中有大小相同的2个红球、2个白球,每次从中任取一个球,观察颜色后放回,直到取出红球”是古典概型.(

)(4)P(A+B)=P(A)+P(B).(

)××××2.(必修第二册P247T13改编)某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中命中环数小于8环的概率为(

)A.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.4√解析:设“该射手在一次射击中命中环数小于8环”为事件A,则P(A)=1-P()=1-(0.2+0.3+0.1)=0.4.故选D.3.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(

)解析:依题意,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,总的基本事件有=6(个),其中这2名学生来自不同年级的基本事件有2×2=4(个),所以这2名学生来自不同年级的概率为故选D.√4.抛掷一枚骰子,记A为事件“出现点数是奇数”,B为事件“出现点数是3的倍数”,则P(A∪B)=

,P(A∩B)=

.解析:抛掷一枚骰子,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A∪B={1,3,5,6},包含4个样本点,故P(A∪B)=;A∩B={3},包含1个样本点,故P(A∩B)=.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一古典概型[例1](1)甲、乙、丙、丁、戊5人到A,B,C三个社区考察,每人只能选其中一个社区,则每个社区至少有一人,且甲不在A社区的概率为(

)√解析:(1)首先求所有可能情况,5个人去3个社区,共有35=243(种)情况,再计算5个人去3个社区,且每个社区至少有一人的可能情况,可知5人会被分为3组,分组方案为3,1,1或2,2,1,所以共有60+90=150(种)情况.至于甲不在A社区的情况数,可利用间接法,求出甲去A社区的情况数,最后用总数减去即可,(2)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(

)√古典概型的概率求解步骤(1)求出所有样本点的个数n(样本点个数的求解方法主要是利用排列组合知识,也可以利用列举法或列表法等).(2)求出事件A包含的所有样本点的个数k.(3)代入公式P(A)=

求解.[针对训练](1)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(

)√解析:(1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有=21种取法,取得的2个数互质的情况有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8),共14种,根据古典概型的概率公式,得这2个数互质的概率为

故选D.(2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(

)√解析:(2)甲有6种选择,乙也有6种选择,故总共有6×6=36(种)情况,若甲、乙抽到的主题不同,则共有=30种情况,则其概率为=

故选A.考点二概率的基本性质[例2]从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200km,遇到红灯个数的概率如表所示.红灯个数概率00.0210.12a30.3540.250.16个及6个以上0.03(1)求表中字母a的值;解:(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)求至少遇到4个红灯的概率;解:(2)设事件A为“遇到红灯的个数为4”,事件B为“遇到红灯的个数为5”,事件C为“遇到红灯的个数为6个及6个以上”,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)求至多遇到5个红灯的概率.复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,然后转化为所求问题.[针对训练](1)(多选题)(2024·河南南阳模拟)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的值可以是(

)解析:(1)由题意可知√√√√考点三概率与统计的综合问题[例3]某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男、女生中测试成绩优秀的人数各为多少?解:(1)由题可得,男生中测试成绩优秀的人数为100×(0.01+0.02)×10=30,女生中测试成绩优秀的人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)在(1)中所述的测试成绩优秀的学生中按性别分层,用分层随机抽样的方法抽取男、女生共5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.[针对训练](2024·四川雅安模拟)经调查某市三个地区存在严重的环境污染,严重影响本地区人员的生活.相关部门要求务必加强环境治理,通过三个地区所有人员的努力,在一年后,环境污染问题得到了明显改善.为了解市民对城市环保的满意程度,开展了一次问卷调查,并对三个地区进行分层随机抽样,共抽取40名市民进行询问打分,将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段,并得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值,以及此次问卷调查分数的中位数的估计值;解:(1)由题意可得5×(0.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020)=1,解得a=0.040,由0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35,0.35+0.06×5=0.65,可得此次问卷调查分数的中位数在[75,80)上,设为x,则0.35+0.06(x-75)=