《智能控制技术》课件 1.3自动控制系统分析

1.3自动控制系统分析1.3.1自动控制系统的时域分析1.3.2自动控制系统的频域分析1.3.3自动控制系统的工程分析方法1.3自动控制系统分析在经典控制理论中，分析控制系统的性能的常用方法：时域分析法频域分析法根轨迹法……1.3.1自动控制系统的时域分析时域分析法：即根据描述系统的微分方程或传递函数，直接求解出在典型输入作用下系统输出随时间变化的表达式或其他相应的描述曲线来分析系统的稳定性、动态性能和稳态性能。1.3.1自动控制系统的时域分析相比于其他分析法，时域分析法是一种直接分析法，直观且准确，可提供系统时间响应的全部信息，尤其适用于一、二阶系统性能的分析与计算。对于二阶以上的高阶系统，需采用频率分析法和根轨迹法。1.3.1自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析是指通过对系统的时间响应进行分析，了解系统在时间上的动态行为和性能特性。时域分析主要关注系统的：稳态误差响应速度振荡特性稳定性……1.3.1自动控制系统的时域分析1、典型输入信号控制系统的输出响应是系统数学模型的解。系统的输出响应不仅取决于系统本身结构参数、初始状态，且与输入信号的形式有关。大多数情况下，控制系统的输入信号以无法预测的方式变化，因此，需要假定一些基本的输入函数形式，以便于设计与分析，同时便于对各种控制系统性能进行比较。1.3.1自动控制系统的时域分析假定基本的输入函数形式是根据系统常见的输入信号形式，并在数学描述上加以理想化，被称为典型输入信号。典型输入信号一般具备代表性与易获得的条件。通常，典型输入信号采用：脉冲信号阶跃信号斜坡信号抛物线信号正弦信号1.3.1自动控制系统的时域分析脉冲信号：是一种具有短暂持续时间的信号，通常具有高幅值和窄脉冲宽度，在雷达系统、传感器和数字通信中常用于数据传输和测量。1.3.1自动控制系统的时域分析阶跃信号：是一种常见的信号形式，在某个时刻突然从一个固定值跳变到另一个固定值，在信号处理、控制系统、电路设计等领域中有广泛的应用，可用来描述系统的启动过程、开关操作、事件触发等情况。1.3.1自动控制系统的时域分析斜坡信号：也被称为等速度函数，表示从零值开始且随时间线性增长的信号，相当于随动系统中加入一个按恒速变化的位置信号，通常用于描述系统的渐变过程或者连续变化的事件。1.3.1自动控制系统的时域分析抛物线信号：也被称为加速度信号，表示随时间以等加速度增长的信号，相当于系统中加入一个按加速度变化的位置信号，通常用于描述系统的稳定性和性能。1.3.1自动控制系统的时域分析正弦信号：是最常见的周期性信号之一，具有连续的周期性波形，在电力系统、通信系统和音频处理等领域中广泛应用。1.3.1自动控制系统的时域分析在实际应用中，具体采用何种典型输入信号取决于常见的工作状态，且往往选用最不利的信号。通常，典型输入信号作为实验信号时的选取方式如下：阶跃信号：控制系统的工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用。斜坡信号：控制系统的输入大多为随时间逐渐增加的信号。脉冲信号：控制系统的输入信号为一个瞬时冲击的函数。正弦信号：控制系统的输入信号具有周期性。1.3.1自动控制系统的时域分析同一系统中不同形式的输入信号所对应的输出响应是不一样的。但对于线性控制系统来说，其所表征的系统性能是一致的。通常以单位阶跃信号作为典型输入作用，可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。1.3.1自动控制系统的时域分析2、时域性能指标在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的事件响应皆是由动态过程和稳态过程两部分组成。其中，动态过程包含了暂态过程和瞬态过程。1.3.1自动控制系统的时域分析动态过程又被称为动态响应，即系统在典型输入信号的作用下，其输出量从初始状态到最终状态的响应过程。在动态过程中，系统或信号的特性随着时间的推移而改变，可能存在瞬时响应、过渡过程等。动态过程通常与系统或信号的初始条件、输入变化等因素有关。1.3.1自动控制系统的时域分析稳态过程又被称为稳态响应，即时间趋于无穷时，系统的输出状态。稳态过程通过稳态性能描述，通常与系统或信号的稳定性、平衡状态等因素有关。1.3.1自动控制系统的时域分析综上，系统相应由动态响应和稳态响应组成。其中，动态响应由动态性能描述，稳态响应由稳态性能描述。因此，系统的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标组成。1.3.1自动控制系统的时域分析

动态性能指标时域中评价系统动态性能通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。如果系统在阶跃信号输入下的暂态性能满足要求，则在其他形式的输入信号下，系统的动态性能一般也是较好的。此时，系统的动态响应曲线称为单位阶跃响应。1.3.1自动控制系统的时域分析实际应用中，控制系统大多数为阻尼振荡阶跃响应。1.3.1自动控制系统的时域分析控制系统的时域性能指标为了评价系统的动态性能，规定若干指标如下:延迟时间（DelayTime）上升时间（RiseTime）峰值时间（PeakTime）调节时间（SettingTime）最大超调量（MaximumOvershoot）振荡次数1.3.1自动控制系统的时域分析延迟时间（DelayTime）：用td表示，指响应曲线第一次达到稳定值的一半所需的时间。上升时间（RiseTime）：用tr表示，指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。此外，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0~100%的上升时间；对于过阻尼系统，通常采用10%~90%的上升时间。峰值时间（PeakTime）：用tp表示，指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值c(tp)所需的时间。1.3.1自动控制系统的时域分析调节时间（SettingTime）：ts指当输出量c(t)和稳态值c(∞)之间的偏差达到允许范围后，不再超过此值所需的最短时间。其中，稳态值c(∞)表示t→∞时的输出值；偏差的允许范围通常为5%或2%。最大超调量（MaximumOvershoot）：σ%指暂态过程中输出相应的最大值超过稳态的百分数。其公式如下：振荡次数：用N表示，指在调节时间ts内，输出c(t)偏离稳态c(∞)值的振荡次数。1.3.1自动控制系统的时域分析

稳态性能指标稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。当时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差记为ess，表示系统输出实际值与希望值之差。1.3.1自动控制系统的时域分析在上述指标中：tr、tp用来描述系统起始段的快慢；σ%和N用来反映动态过振荡的剧烈程度，标志动态过程的稳定性；ts用来表示系统过渡过程的持续时间，总体上反映系统的快速性；ess用来反应系统复现输入信号的最终精度。一般来说，系统响应的稳、快、准通过σ%、ts和ess评价。1.3.1自动控制系统的时域分析由于大多数控制系统属于时域系统，上述性能指标相当重要。也就是说，这些系统必须具备适当的时域响应特性。这意味着，控制系统必须不断修改，直到响应满足要求为止。需注意的是，这些性能指标并非在任何情况下都必须采用，如下图所示的单调上升控制系统中，峰值时间和最大超调量就可以不采用。1.3.1自动控制系统的时域分析1.3.1自动控制系统的时域分析单调上升控制系统3、一阶系统的时域分析一阶系统为由一阶微分方程描述的系统，如RC网络、发电机、液面控制系统等控制元部件或简单系统。1.3.1自动控制系统的时域分析一阶系统结构图一阶系统中仅存在一个参数，即时间常数T。因此，一阶系统也被称为惯性环节。对于不同系统，T具有不同的物理意义。1.3.1自动控制系统的时域分析在研究线性定常系统的时间响应时，无需对每种输入信号的形式都进行测定和计算，通常选取一种典型形式研究即可。单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位加速响应为四种最典型的输入信号，下一阶系统的时域特性分析时的输入信号通常从其中选取。1.3.1自动控制系统的时域分析1.3.1自动控制系统的时域分析一阶系统对典型输入信号的输出响应1.3.1自动控制系统的时域分析一阶系统响应图1.3.1自动控制系统的时域分析在一阶系统中：对于单位脉冲响应，若T越小则系统的响应速度越快；对于单位阶跃响应，若ess=0则一阶系统跟踪阶跃输入信号时无稳态误差；对于单位斜坡响应，若ess=T且T越小则响应精度越高；对于单位加速响应，若ess=∞则一阶系统无法跟踪单位加速度输入信号。1.3.1自动控制系统的时域分析在四种典型输入信号中，最常用的为单位阶跃信号，根据动态性能指标的定义，由系统的输出响应可得到其动态性能如下：调节时间：ts=3T（±5%的误差带）；ts=3T（±2%的误差带）。延迟时间：td=0.69T。上升时间：tr=0.20T。峰值时间：0。超调量：0。1.3.1自动控制系统的时域分析4、二阶系统的时域分析二阶系统为由二阶微分方程描述的系统。从物理的角度来看，二阶系统总是包含了两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势，这样的二阶系统也被称为二阶振荡环节。二阶系统广泛地应用在工程实践中，如RLC网络、质量-弹簧-阻尼系统等。对于高阶系统，在一定条件下可作为二阶系统来研究。1.3.1自动控制系统的时域分析二阶系统的结构图如图所示。其中，ζ为典型二阶系统的阻尼比，ω为无阻尼振荡频率或自然振荡角频率，二者均为系统参数。典型二阶系统结构图1.3.1自动控制系统的时域分析系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系统的特征方程式。标准二阶系统的特征方程式如下：

对应的两个特征根分别如下：1.3.1自动控制系统的时域分析ζ和ω是二阶系统的两个重要参数，系统响应特性完全由这两个参数描述。若系统阻尼比ζ取值范围不同，则系统特征根形式不同，系统的响应特性也不同。1.3.1自动控制系统的时域分析二阶系统关系表1.3.1自动控制系统的时域分析在不同阻尼比时，二阶系统的动态响应有很大区别。当ζ<0时，系统发散振荡；当ζ=0时，系统处于无阻尼状态，响应为等幅振荡，系统无法正常工作；当ζ≥1时，响应为单调上升过程，系统暂态响应过于缓慢；对于二阶系统，即当0<ζ<1时，欠阻尼情况最具实际意义。1.3.1自动控制系统的时域分析在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。二阶系统一般取ζ值为介于0.4与0.8之间。1.3.1自动控制系统的时域分析二阶系统一般取ζ值介于0.4与0.8之间，得到欠阻尼二阶系统动态性能指标：上升时间：

，其中，

，

。增大ωn或减小ζ均可加快系统的初始响应速度。峰值时间：

。增大ωn或减小ζ均可减小峰值时间，与上升时间随参数ζ和ω的变化规律相同。最大超调量：

。超调量由ζ决定，ζ越大，最大超调量σ%越小。调节时间：

。调节时间ts与参数ζ和ω成反比。1.3.1自动控制系统的时域分析在设计系统时，由最大超调量决定参数ζ，由无阻尼自然振荡频率ωn决定调节时间ts。因此，在不改变超调量的前提下，可通过改变ωn的值来改变ts。1.3.1自动控制系统的时域分析5、控制系统的稳定性分析稳定性是控制系统的重要性能，也是系统正常运行的首要条件。在控制系统的实际运行中，难免受到一些外界或内部因素的扰动，如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果控制系统不稳定，在任何微小的扰动作用下，系统将偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。1.3.1自动控制系统的时域分析

稳定性的基本概念稳定性指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态，扰动作用消失后，经过一段过渡时间能否恢复到原先平衡状态或能否足够准确地回到原先平衡状态的性能。扰动消失后，如果系统能恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。而线性系统的稳定性是其自身的属性，仅取决于系统自身结构和参数，与初始条件及外作用无关。1.3.1自动控制系统的时域分析

稳定的充分必要条件设控制系统的闭环传递函数如下：

可推得二阶系统的特征方程式如下：1.3.1自动控制系统的时域分析线性系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的所有根，即闭环传递函数的极点，全部为负实数或具有负实部的共轭复数，即所有的极点均位于复平面，即s平面虚轴的左侧。1.3.1自动控制系统的时域分析根据特征方程式的根来判断系统稳定与否。二阶系统特征方程式的根如下：

为使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此，二阶系统稳定的充分必要条件如下：

，

，1.3.1自动控制系统的时域分析

劳斯稳定判据1895年，劳斯提出了代数稳定性判据，能够判定一个多项式方程中是否存在位于s右半平面的正根，而不必求解方程。该方法也称为劳斯稳定判据，是判断高阶系统稳定性的间接方法之一。1.3.1自动控制系统的时域分析该判据的具体内容和步骤如下：列出系统特征方程式：，其中，，。根据特征方程式列出劳斯表：如下表所示，其中前两行由特征方程的系数直接构成，其他各行数值需逐行计算。1.3.1自动控制系统的时域分析劳斯表1.3.1自动控制系统的时域分析根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判断系统的稳定性：劳斯判据的内容如下。如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在s左半平面，则系统是稳定的；如果劳斯表中第一列系数的符号发生变化，则系统不稳定，且第一列元素正负号的改变次数等于特征方程式的根在s右半平面的个数。1.3.1自动控制系统的时域分析在劳斯数表的计算过程中，可能出现两种特殊情况如下：某行第一列项为0，其余各项不为0或不全为0：使用很小的正数ε代替0，再对新生成的特征方程应用劳斯判据。若劳斯表第一列ε上下各项的符号相同，则说明系统存在一对虚根，此时系统处于临界稳定状态；若ε上下各项的符号不同，则说明有符号变化，此时系统不稳定。某行元素全部为零：利用上一行元素构成辅助方程，对辅助方程求导得到新方程，用新方程的系数代替该行的0元素继续计算。1.3.1自动控制系统的时域分析6、控制系统的稳态性能分析控制系统的稳态误差是系统控制准确度，即控制精度，的一种度量。通常称为稳态性能。设计控制系统时，稳态误差是一项重要的技术指标。控制系统受到系统结构、输入作用类型、输入函数的形式等因素的影响，控制系统的稳态输出无法在任何时候都与输入量一致或相当，也无法在任何扰动作用下都可准确恢复到原平衡位置。此外，摩擦、间隙等非线性因素也会造成附加的稳态误差。因此，尽量减小系统的稳态误差是控制系统的设计任务之一。1.3.1自动控制系统的时域分析误差的定义方式有两种：由系统的输出端定义，系统输出量的希望值与实际值之差为误差；按系统的输入端定义，把偏差，即给定信号与反馈信号之差，定义为误差。对于单位负反馈系统来说，两种方法是一致的。在系统分析和设计中，一般按系统的输入端定义误差。1.3.1自动控制系统的时域分析假设控制系统的结构图如图所示。控制系统的结构图1.3.1自动控制系统的时域分析稳态误差是指误差信号的稳态值，记为ess。当时间t→∞时，误差e(t)的值。可推得系统的总稳态误差如下：1.3.1自动控制系统的时域分析因此，系统的开环传递函数G(s)、输入信号R(s)和扰动N(s)等决定了稳态误差的大小。也就是说，系统的结构和参数、输入信号的形式和大小、扰动信号的形式和大小的差异，都会引起系统稳态误差的变化。1.3.1自动控制系统的时域分析对于给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差取决于开环传递函数描述的系统结构。而开环传递函数中积分环节的个数，称为系统型别。当系统型别为0时，即开环传递函数不含积分环节时，称为0型系统；当系统型别为1时，称为Ⅰ型系统；当系统型别为2时，称为Ⅱ型系统；当系统型别大于2时，要使系统稳定是相当困难的，这种系统在控制工程中一般不会遇到。1.3.1自动控制系统的时域分析对于控制系统来说：0型系统和Ⅰ型系统的ess=∞；Ⅱ型系统存在稳态误差；若使essr=0，则系统需为Ⅱ型以上。1.3.1自动控制系统的时域分析误差系数与系统型别皆从系统本身的结构特性上体现了系统消除稳态误差的能力，从而反映了系统跟踪典型输入信号的精度。如下表所示为系统型别、静态误差系数和不同参考输入下的稳态误差之间的关系，其中K为开环增益。1.3.1自动控制系统的时域分析典型输入信号作用下的稳态误差1.3.1自动控制系统的时域分析因此，参考输入作用下系统稳态误差随系统结构、参数与输入形式的变化而变化。在输入一定时，增大开环增益可减小稳态误差，增加开环传递函数中的积分环节数可消除稳态误差。1.3.1自动控制系统的时域分析1.3.2自动控制系统的频域分析1.3.3自动控制系统的工程分析方法1.3自动控制系统分析1.3.2自动控制系统的频域分析频域特性是频域分析研究控制系统的数学模型。控制系统中的信号可分解为不同频率的正弦信号的组合，频率特性反映了系统在正弦信号作用下的响应性能。1.3.2自动控制系统的频域分析频域分析法的特点如下：频域分析法的各个性能指标物理意义明确。控制系统频率特性可用分析法和实验法获得。对于那些难以写出微分方程的系统，实验法有重要的应用价值。频域分析法一般计算量不大，通常采用作图法进行分析求解，简单且直观。频域分析法考虑了系统动态响应的要求，又兼顾了噪声抑制。1.3.2自动控制系统的频域分析1、频域特性的基本概念系统对正弦输入信号的稳态响应称为系统的频率响应。系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为系统频率特性。1.3.2自动控制系统的频域分析通过对RC电路网络的分析，可引出并建立频率特性的基本概念。RC电路网络1.3.2自动控制系统的频域分析通常，若RC电路网络的输入为正弦信号，输出稳态值的幅值用系统的幅频特性表示，记为A(ω)；输出稳态值的相位变化用相频特性表示，记为φ(ω)。其中，ω为正弦信号频率。1.3.2自动控制系统的频域分析输出信号和输入信号同频率，且稳态输出信号的振幅为输入信号振幅和|A(ω)|的乘积，相位和输入信号相比滞后了∠G(jω)。若相位角为负数，称为相位滞后；若相位角为正数称为相位超前。其中，G(jω)称为系统的频率特性。1.3.2自动控制系统的频域分析频率特性有两种表示方法：数学表示方式图形表示方式1.3.2自动控制系统的频域分析

数学表示方式频率特性G(jω)可表示为代数式、指数式或三角函数式。此处介绍实部与虚部相加的代数式，G(jω)表示如下：其中，R(ω)为实频特性，I(ω)为虚频特性。1.3.2自动控制系统的频域分析当ω为特定值时，G(jω)在复平面上可表示为一个向量，而向量的长度，即模，为A(ω)；向量与实轴正方向之间的夹角，即相位角，为φ(ω)，并规定逆时针方向为正、顺时针方向为负。G(jω)向量1.3.2自动控制系统的频域分析

图形表示方式实际的分析设计中，常选用图形表示法，把频率特性绘制成曲线进行研究。通过图形的表示方式，可以更直观地展现G(jω)幅值与相位的随ω变化的情况。1.3.2自动控制系统的频域分析常见的频率特性曲线有：幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相曲线1.3.2自动控制系统的频域分析幅相频率特性曲线：简称为幅相曲线，又称为极坐标图或奈奎斯特图。在直角坐标或极坐标平面上，把频率ω看做参变量，画出频率特性G(jω)的点的轨迹，并将幅频特性和相频特性同时在复数平面上表示出来。若将频率特性表示为复指数形式，G(jω)则为复平面上的向量。向量的长度（模）为频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角为频率特性的相位角。对于特定频率，必有相应的幅值和相位。当频率ω从0变化到∞时，相应向量的矢端将形成一条曲线，该曲线称为幅相曲线。幅相曲线仅需通过找到几个关键点绘制出简图即可。1.3.2自动控制系统的频域分析如图所示为RC电路及其所对应的幅相曲线。幅相曲线RC电路网络1.3.2自动控制系统的频域分析对数频率特性曲线：又称为伯德曲线或伯德图，由对数幅频和对数相频两条曲线组成。伯德图不仅容易绘制，从图上还可看出参数变换和环节对系统性能的影响，是频率响应法中使用广泛的一组曲线。对数频率特性曲线的横坐标由频率ω表示，并按对数分度，单位为rad/s。采用对数分度可实现横坐标的非线性压缩，在很宽的频域范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性纵坐标由20lg|G(j频率ω)|表示，单位为dB，采用线性分度。若系统由多个环节串联而成，则使用对数计算能够简化运算。对数相频特性的纵坐标由∠G(jω)表示，单位为度（°）或rad，采用线性分度。1.3.2自动控制系统的频域分析如图所示分别为RC电路所对应的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。RC电路网络的对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析2、典型环节的频率特性典型环节主要有：比例环节微分环节一阶微分环节振荡环节积分环节惯性环节延迟环节1.3.2自动控制系统的频域分析

比例环节比例环节的特性如下：传递函数：

频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析比例环节也称为放大环节，其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示。比例环节的幅相曲线和对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析

积分环节积分环节的特性如下：传递函数：

频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析积分环节的幅相曲线、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如图所示。积分环节的幅相曲线和对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析

微分环节微分环节的特性如下：传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析微分环节的幅相曲线、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如图所示。微分环节的幅相曲线和对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析

惯性环节惯性环节的特性如下：传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析惯性环节的幅相曲线如图所示。惯性环节的幅相曲线ωT为不同值时的误差即对数相频特性误差1.3.2自动控制系统的频域分析

一阶微分环节一阶微分环节的特性如下：传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析一阶微分环节的幅频特性和相频特性的数据如表所示。幅频特性和相频特性数据1.3.2自动控制系统的频域分析一阶微分环节的幅相曲线、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如图所示。一阶微分环节的幅相曲线和对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析

延迟环节延迟环节的特性如下：传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析延迟环节的幅相曲线、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如图所示。延迟环节的幅相曲线和对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析

振荡环节振荡环节的特性如下：传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

对数幅频特性：

对数相频特性：

1.3.2自动控制系统的频域分析振荡环节的幅相曲线、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如图所示。振荡环节的幅相曲线和对数频率特性曲线1.3.2自动控制系统的频域分析当ζ介于0.4到0.7之间时误差小于3dB，影响较小，工程上一般都可接受；其他ζ值误差较大，需修正。对于对数相频特性，需关注如下关键点：当ω→0时：φ(ω)→0。当ω=ωn时：φ(ω)=-π/2。当ω→∞时：φ(ω)→-π。1.3.2自动控制系统的频域分析3、控制系统的开环频率特性开环传递函数指一个开环系统的输出与输入之比与频率的函数关系，即系统的频率域特性。开环系统即指无反馈系统，与闭环系统（反馈系统）相对，如滤波器。开环系统的输入影响输出而不受输出影响。传递函数表达了系统的本身特性，与输入量无关。1.3.2自动控制系统的频域分析通常，系统的开环传递函数较容易改写成基本环节传递函数的乘积形式，如下：其中，G1(s)、G2(s)、……、Gn(s)为各串联基本环节的传递函数。1.3.2自动控制系统的频域分析以jω代替s，可得到系统的开环频率特性如下：1.3.2自动控制系统的频域分析开环传递函数常用幅频特性和相频特性表示，具体如下。幅频特性：相频特性：对数幅频特性：对数相频特性：1.3.2自动控制系统的频域分析因此，关于控制系统的开环频率特性可总结如下。开环幅频特性：各串联环节的幅频特性之积为系统的开环幅频特性。开环相频特性：各串联环节的相频特性之和为系统的开环相频特性。开环对数幅频特性：各串联环节的对数幅频特性之和为系统的开环对数幅频特性。开环对数相频特性：各串联环节的相频特性之和为系统的开环对数相频特性。1.3.2自动控制系统的频域分析4、控制系统稳定性的频域分析系统稳定性的频域分析指的是根据系统的开环频率特性对相应闭环系统的稳定性的判断。频域分析不仅使用方便、易于推广，还能在判断系统是否稳定的基础上指出系统的稳定程度，从而便于选取更为有效的方法对系统的稳定性进行改善。频域分析常用的判据：奈奎斯特稳定判据对数频率稳定判据1.3.2自动控制系统的频域分析

奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据简称为奈氏判据，可根据系统的开环传递函数是否有积分环节进行不同的表述。对于0型系统，即开环传递函数没有积分环节的系统，其奈奎斯特稳定判据表述如下。设s右半平面开环极点数为P，闭环极点数为Z，当ω从变化到时，系统的开环频率特性曲线G(jω)按逆时针方向包围(-1,j0)点N周，则可得到Z=P-N。而闭环控制系统稳定的充分必要条件是Z=0。1.3.2自动控制系统的频域分析因此，若开环系统稳定，即P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件如下：当ω从变化到时，开环频率特性曲线不包含(-1,j0)点。1.3.2自动控制系统的频域分析对于开环传递函数有积分环节的系统，其奈奎斯特稳定判据表述如下：若开环有积分环节，则开环极点在s平面的坐标原点处。当ω=0+或ω=0-时，0型系统的幅相曲线的点重合且都在实轴上。相比于0型系统，当ω=0+或ω=0-时，开环函数有积分环节的系统的该两点不重合，且位于无穷远处。若开环传递函数有γ个积分环节，当频率ω由0-向0+变化时，相应G(jω)的奈奎斯特图位于无穷远处，相位由

向

变化，顺时针转动

rad。因此，应用奈奎斯特判据时，需将ω=0+向ω=0-变化时的曲线补充完整再进行判定。1.3.2自动控制系统的频域分析

对数频率稳定判据相对于奈奎斯特图，开环系统的伯德图更易于绘制。因此，采用伯德图对闭环系统的稳定性进行判断则更为方便。而采用开环系统的伯德图，即使用开环对数频率特性来判别闭环系统的稳定性，也就是对数频率稳定判据。1.3.2自动控制系统的频域分析实际上，伯德图与奈奎斯特图之间存在着一定的对应关系。需主要关注的是在奈奎斯特图中，曲线在点(-1,j0)的左方正负穿越实轴的情况。1.3.2自动控制系统的频域分析在奈奎斯特图中，负实轴对应了伯德图中相频特性的φ(ω)=-180°线；正负穿越负实轴对应了伯德图中对数相频特性曲线正负穿越φ(ω)=-180°线，如图所示。奈奎斯特图中，|G(jω)|=1的单位圆对应了伯德图中对数幅频特性的0dB线；单位圆外部区域对应了对数幅频特性图中0dB以上的区域。对数相频特性曲线正负穿越1.3.2自动控制系统的频域分析因此，采用对数频率特性分析闭环系统稳定性的奈奎斯特判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件为：当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特性大于0，即L(ω)＞0的所有频段内，对数相频特性曲线φ(ω)对-π线的正穿越次数和负穿越次数只差为P/2，其中P表示s右半平面开环极点的数量。1.3.2自动控制系统的频域分析当系统含有积分环节时，对数频率特性曲线需进行相应的改动，增加ω由0变到0+时的曲线部分。设γ表示积分环节数，当ω由0变到0+时，对数相频特性曲线，即φ(ω)应于ω趋于0处由上而下补画

。此外，在计算正穿越次数和负穿越次数时，需包含补画的曲线部分。1.3.2自动控制系统的频域分析5、根据开环频率特性分析控制系统的动态性能根据开环频率特性分析控制系统的动态性能有助于了解控制系统的各方面的性能：稳定性响应速度抑制幅度……1.3.2自动控制系统的频域分析首先，需获取控制系统的开环传递函数，它描述了输入信号与输出信号之间的关系；其次，通过绘制控制系统的频率响应曲线分析其动态性能，频率响应曲线显示了系统对不同频率输入信号的响应情况。1.3.2自动控制系统的频域分析常见的频率响应曲线包括伯德图和奈奎斯特图。伯德图将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在两个坐标轴上，有利于评估系统的稳定性和频率响应特性；奈奎斯特图将系统的频率响应绘制在复平面上，有利于判断系统的稳定性和相位裕度。1.3.2自动控制系统的频域分析通过分析频率响应曲线，可以得到如下关于控制系统动态性能的结论。系统的增益裕度：增益裕度是指系统在闭环控制下，输出信号与输入信号之间的增益差异。增益裕度越大，系统对干扰和噪声的抑制能力越强。系统的相位裕度：相位裕度是指系统的相位角与临界相位角之间的差异。相位裕度越大，系统对频率变化的响应越快。系统的带宽：带宽是指系统能够传递的最高频率信号。带宽越高，系统的响应速度越快。系统的稳定性：通过分析频率响应曲线，可判断系统是否稳定。如果曲线没有穿过奈奎斯特图中的-1点，或相位角没有超过伯德图中的-180°，则系统是稳定的。1.3.2自动控制系统的频域分析其中，系统的稳定裕度也称为稳定程度，是一个相对稳定性的概念。它指的是一个系统或组织在面对外部冲击或变化时，能够保持稳定运行的能力。稳定裕度衡量了系统或组织的弹性和适应能力，以应对不确定性和风险。稳定裕度越高，系统或组织越能够适应变化并保持稳定。稳定裕度可以通过多种因素来衡量，包括资源储备、灵活性、适应性和创新能力等。1.3.2自动控制系统的频域分析通过对控制系统的动态性能进行分析，对系统的设计和参数选择进行优化，从而可达到更好的控制效果和稳定性。1.3.2自动控制系统的频域分析开环频域指标有：剪切频率（截止频率）ωc、相位裕度γ和幅值裕度Kg。常使用ωc、γ和Kg来作为开环频域指标分析系统的动态性能。由于使用时域指标最大超调量σ%和调节时间ts来描述动态性能具有直观、准确等优点。因此，使用开环频率特性评价系统的动态性能应先找到开环频域指标ωc、γ和Kg与σ%和ts的关系。1.3.2自动控制系统的频域分析对于二阶系统，其相位裕度如下：

通过时域分析可知最大超调量如下：1.3.2自动控制系统的频域分析因此，可得到关于相位裕度γ与超调量σ%之间关系的结论如下：σ%、γ和ζ具有一一对应的关系。ζ越小，则γ越小，而σ%越大；ζ越大，则γ越大，而σ%越小。1.3.2自动控制系统的频域分析二阶系统的时域分析中，取Δ=0.05，则调节时间，得到如下关系：1.3.2