2024-2025学年云南省昆明某中学八年级（上）期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年云南省昆明八中教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）

3.具备下列条件的△43。中，不是直角三角形的是（）

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A.ZA+ZB=ZCB./.A：ZB：Z.C=1：2：3

C.Z4-ZB=90°D.Z4=ZB=

4.现有两根长度分别为2（kv〃和30a〃的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架,则第三根

木条的长度可以是（）

A.[OcniB.25cmC.50cmD.55cm

5.下列运算一定正确的是（）

A.(一曲产=-x2y2B.算3口2=①4C.(^3)4=x1D./+①2

6.如图，力。和8。相交于。点，若04=。。，用"S4r证明

△4930△OOC,还需（）

A.AB=DC

B.OB=OC

C.乙C=/O

D./.AOB=ZDOC

7.三条公路将力、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区

域内修建•个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的

位置是△43。的（）

A.三条高线的交点

B.三边垂直平分线的交点

C.三条角平分线的交点

D.三条中线的交点

8.如图，在△A3。中，/。=90°,4C=3，BC=4,分别以力、8为圆

心，力。为半径画弧，两弧分别交于E、F,直线EF交BC于点、D,连接力Q,

则△47。的周长等于（）

A.7

B.8

C.9

D-.—17

2

9.一个多边形，其内角和是外角和的2倍，那么它是（）边形.

A.四B.六C.八D.九

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10.在△43。中，zc=90%ZB=G0%48=2,则3c=()

A.2B.1C.瓜D.无法确定

11.已知Q+b=5，ab=3，则/+/=()

A.25B.22C.19D.13

12.如图I所示，从边长为。的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形（Q>b）,再沿着线段力〃剪开,

把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（）

A.a2—62=(a4-b)(a—b)B.a2-lr=(a-b)2

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a—6)2=a2-2ab+b2

13.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么N1等于（）

A.45°

B.60°

C.105°

D.120°

14.如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有

10个三角形…，依此规律，第⑧个图案中有（）个三角形.

第I个图案笫2个图案第3个图案第4个困案

A.23B.24C.25D.26

15.如图，C为线段力£上一动点（不与力，E重合），在/1E同侧分别作等边

△A3。和等边△ECO,力。与8E交于点。，力。与8c交于点P,BE与CD

交于点。，连接P0,则有以下五个结论：®AD=BEt©PQ//AE；

③AP=BQ；④DE=DP；（§）NAOB=6（）。，其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

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二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。

16.要使代数式(5-£)°有意义,则x的取值范围是____.

17.分解因式：3ax2+Gaxy+3ay2=.

18.计算：(2m%—9rn2n2+3m3l4-3m2=.

19.如图，AB=6cm»4C=3D=4c7n.NC48=ND8A=60。，点。在线段CD

月6上以的速度由点力向点8运动，同时，点。在线段8。上由点4向点。/\

运动.它们运动的时间为t(s),贝J点。的运动速度为cm/s,使得力、C、P//

三点构成的三角形与B、P、。三点构成的三角形全等.A/^P'B

三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(木小题6分)

计算:

⑴Q3・Q，・Q+(tt2)4+(-2tz4)2；

(2)(x-y)(x2+xy+y2).

21.(本小题7分)

先化简，再求值：(2x4-3?/)2-(2T+y)(2x-y),其中/=；,y=—

22.(本小题6分)

如图，AB=CD,AF=CE,于点及OFL4C于点F.求证：RtA4Z?£?^RtACDF.

23.(本小题7分)

如图所示.

(1)请画出△43。关于y轴对称的图形△456,并写出点G的坐标;

⑵求出场G的面积；

(3)在歹轴上作出一点M,使A/5+A/C的值最小.

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24.（本小题8分）

己知：如图，△43。中，AD.力£分别是△A3。的高和角平分线，8户是N/区。的平分线，即与4E交于

O,若N4BC=40。，/C=6（）。，求N£ME、N30E的度数.

25.（本小题8分）

如图，己知点。、E为△43C的44C上两点.40=AE,BD=CE,为了判断N3与NC的大小关系,

请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据.

解：过点/作AH工BC，垂足为H.

•.•在△40E中，AD=4E（已知）AHJ_3C（所作），

（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）.

又；3O=CE（已知），

/.BD+______=CE+______（______）.

即：BH=______.

又TAkBC，垂足为H（所作），

AH为线段的垂直平分线.

/.AB=AC（）.

.」B=ZC（）.

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A

26.(本小题8分)

观察下列计算：

111111111111

1x22'2x323*3x434’4x545’

(1)第5个式子是______:

(2)第〃个式子是；

(3)请你推理证明(2)的结论的正确性.

27.(本小题12分)

如图所示，直线/必交x轴于点4(。,0),交y轴于点3(0出，且〃、/)满足〃TTT+(a—4产=0.

(1)如图I,若。的坐标为(-1,0),且4H1BC于点，，AH交OB于点、P,试求点P的坐标；

(2)如图2,连接。〃，求证：ZOHP=45°;

(3)如图3,若点。为48的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接过。作ON_L0A/交x轴于N

点，当〃点在y轴正半轴上运动的过程中，式子SZJWM-S△小DN的值是否发生改变？如发生改变，求出

该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：/、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

4、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意：

力、是轴对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

根据轴对称图形的概念求解.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】B

【解析】解：A、图形由两个长方形构成的大长方形，长方形不具有检定性，不符合题意；

8、图形是由两个三角形组成，三角形具有稳定性，符合题意；

。、图形由两个四边形构成的，四边形不具有稳定性，不符合题意；

。、图形由两个四边形构成的，匹边形不具有稳定性，不符合题意，

故选：B.

根据三角形的稳定性即可得.

本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：♦.•乙4+NB+NC=180°，

当N4+/3=NC时，则NC+NC=180°,

."=90。，

故选项4中的条件，能使△43。为直角三角形，不符合题意；

:/力：ZB：ZC=1：2：3

二.可设N4=Q，Z.B=2a»NC=3Q，

N4+NB+NC=180。，

/.。+2Q+3a=180c♦

解得：a=30°，

/.LC-3Q=90°，

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故选项8中的条件，能使△43。为直角三角形，不符合题意；

•「NA—NM=90°，

Lk=90°+N3>90。，

/.ZX/U?。为钝角三角形，

故选项C中的条件，不能使△4"。为直角三角形，符合题意：

+180°,

/.1zc+1zc+zc=180°,

NC=90。，

故选项。中的条件，能使△46。为直角三角形，不符合题意.

故选：C.

由/4+/3+/。=180。，N4+N3=NC可求出/。=9()。，由此可对选项力进行判断；根据/4：ZB：

Z.C=1：2：3,设/A=a，NB=2Q，ZC=3Q»再根据/A+NB+NC=180°得Q=30°,进而得

ZC=3a=90°，由此可对选项£进行判断；根据乙4一NB=90。得NA=90°+ZB>90°，此时△43。

为钝角三角形，由此可对选项C进行判断；根据N4=NZ?=：/C,乙4+/3+/。=180。得

|zC+JzC+ZC=180°,进而得NC=90°，由此可对选项。进行判断，综上所述即可得出答案.

此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键.

4.【答案】B

【解析】解:设第三根木条的长度为xcm,

根据三角形的三边关系定理得到：30-20<x<30+20,

.•.10</<50，

.•.只有选项8符合要求，

故选：B.

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设第三根木条的长度为龙。“，得到10<i<5(),即可

得到答案.

本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.

5.【答案】D

【解析】解：/、(-xy)2=x2y2,原选项计算错误，不符合题意；

B、£3./=/,原选项计算错误，不符合题意：

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。、（/）4=，2,原选项计算错误，不符合题意；

。、/+/=2«,原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

根据合并同类项法则，同底数'幕的乘法的性质，辕的乘方的性质，积的乘方的性质，对各选项分析判断后

利用排除法求解.

本题考查了合并网类项法则，同底数帚的乘法，塞的乘方与枳的乘方，理清指数的变化是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：△403和△OOC已经具备04=。。，AA0B=/.C0D,若添加AB=QC，是满足“两

边及其对角对应相等“，不能判定△NOBg△O。。，故彳不正确；

若添加03=0。，是“两边及其夹角对应相等"，故8正确；

若添加NC=NO,是满足“两角及其对边对应相等”，是“4HS”，故。不正确；

添加^A013=乙COD，是本身具备的对顶角相等，不能判定△AO/出故D不止确，

故选：B.

△A04g△OOC已经具备04=。。，ZAOB=NCOD，故应满足03=0C.

本题考查了全等三角形的判定条件中的边角的位置关系，解决问题的关键是理解全等的判定条件是在同一

个三角形中去观察.

7.【答案】B

【解析】解：•.■线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，

.•.这个公园应建的位置是△43。的三边垂直平分线的交点上.

故选：B.

根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可.

本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：由作图可知E/垂直平分线段48,

DA=DB，

△4C。的周长=AC+。。+4。=4C+C。+=AC+C8=3+4=7.

故选：A.

证明ZX4=BC，推出△4。。的周长=47+CB,可得结论.

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本题考查作图■基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

9.【答案】B

【解析】解：设这个多边形是〃边形，

则依题意得:(n-2)x180°=2x360°,

解得n=6»

故这个多边形是六边形.

故选：B.

设这个多边形是〃边形，根据题意列方程求解即可.

本题考查多边形的内角与外角，熟记任意多边形的外角和都为360。以及其内角和公式为(〃-2)x180°(其

中"为边数)是解答本题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：在△43。中，NC=90°，N3=60°，AB=2,

：.LA=90°-ZB=30%

/.BC==：x2=1,

故选：B.

先求出Z4=30。，再根据含有30。角的直角三角形性质可得8C的长.

此题主要考查了含30。角的直角三角形，熟练掌握含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

11.【答案】C

【解析】解：(a+匕产=Q2+2为+川,

G2+62=(Q+b)2-2ab=25-2x3=19，

故选：C.

根据完全平方式，将a+b与ab的值代入即可求出答案.

本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题涉及整体的思想.

12.【答案】A

【解析】解：图1的面积为/一产，图2的面积为:(2b+2a)x(a-h，

即为a2-62=(64-a)(a-b),

故选：A.

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分别用代数式表示各个图形的面积即可.

本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的前提.

13.【答案】C

人【解析】解：如图，NC=60°，/.CAB=90%ADAB=45°»

£DAC=NCAB-ZDAB=45°,

.•.Nl=ND4C+NC=105°，

故选：C.

根据三角板的特点易得NLMC=45°，利用三角形的外角的性质，得到N1=N£UC+NC,即可得出结论.

本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质.熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角和，是解题的关键.

14.【答案】C

【解析】解：由题知，第①个图案中有3+1=4个三角形，

第②个图案中有3x2+1=7个三角形，

第③个图案中有3x3+1=10个三角形，

•••

第〃个图案中有3几+1个三角形，

.•.第⑧个图案中有3x8+1=25个三角形，

故选：C.

根据图形的变化规律归纳出第〃个图形有3〃+1个三角形即可.

本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律归纳出第〃个图形有372+1个三角形是解题的关键.

15.【答案】C

【解析】解：•.•等边△43。和等边△COE,

AC=BC>CD=CE，AACB=ADCE=60°»

/.LACB+/BCD=ZDCE+乙BCD,即/ACD=/BCE,

AC=BC

在△ACT)与ABCE中，NACD=NBCE,

CD=CE

△力COg△3CE(S4S),

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:.AD=BE，

,•.①正确，

•「2ACDmABCE,

：.2CBE=N£MC，

又•.•/4CB=NDCE=60。，

."CO=60°，即乙4CP=N3CQ,

XvAC=BC，

^CQB^^CPA(ASA)t

：.CP=CQ,

又「NPCQ=60。可知△PCQ为等边三角形，

/.APQC=LDCE=60°,

,PQ//AE②正确,

•「NCQBq&JPA,

：.AP=BQ③正确，

•:AD=BE,AP=BQ,

AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

•••£DQE=Z.ECQ+4CEQ=60°+£CEQ,/CDE=60°，

：.£DQE"CDE,故④错误；

•「BC//DE,

：,£CBE=ZBED，

•「£CBE=NDAE,

ZAOB=Z.OAE+AAEO=60°，

同理可得出乙4OE=120°，

LAOB=60%故⑤正确：

故选：C.

①由于△43。和△COE是等边三角形，可知4C=BC，CD=CE，/ACT?=/OOE=60°,从而证

出△4C。g△3CE,可推知40=3E；

②由△ACOzZkBCE得NC，E=N£MC，加之N4C5=/DCE=60。，AC=BC^得到

^CQB^^CPA(ASA),再根据N?CQ=60°推出△PCQ为等边二角形，又由/PQC=/OCE,根掂

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内错角相等，两直线平行，可知②正确；

③根据②ACQ8g△CP4(AS4),可知③正确；

④根据NOQE=/ECQ+NCEQ=60°+NCEQ,ZCDE=60°，可知NOQErNCOE,可知④错误;

⑤由得到NC3E=/BE0，由/CBE=/£ME，得到NAOB=N。4E+/4E。=60°，

同理可得出乙4OE=120°，进而得出乙408=60°,故⑤正确.

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变最是解题的关键.

16.【答案】x/5

【解析】解：由题可知，

5一疗0,

解得疗5.

故答案为：£#5.

根楣底数不为零的条件讲行解题即可.

本感考查零指数累，熟练掌握零指数鼎有意义的条件是解题的关键.

17.【答案】3。(工+52

【解析】解:3ax2+Qaxy+3ay2

=3a(rr2+2xy+y2)

2

=3Q(N+y).

故答案为：3a(x+y)2.

先提取公因式3a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

2

2

18.【答案】-mn-3储+m

【解析】解：原式=2mln+3m2-9m2n24-3m2+3m34-3m2

2

=^m2n—3n2+m,

•5

2

故答案为：-m2n-3n2+m.

J

根据多项式除以单项式法则，让多项式中的每一项都与单项式相除，再把除得的商相加，进行计算即可.

本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和

同底数济相除法则.

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4

19.【答案】1或9

O

【脩析】解：设点0的运动速度是ZCm/6,

ACAB=/.DBA=60°»

」.A、C、尸三点构成的三角形与8、P、。三点构成的三角形全等，有两种情况：

①,4P=8P，AC=BQ,

则1x£=6-1x£,

解得：Z=3»

则4=3c，

4

解得：x=-I

②4P=5Q,AC=BP>

则1x1=析，6-1xf=4,

解得：t=2，£=1,

故答案为：1或，

设点。的运动速度是icm/s,有两种情况：①4P=3尸，AC=BQt②AP=BQ,AC=BP，列出

方程，求出方程的解即可.

本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键.

20.【答窠】解：⑴Q%%+储)4+(-2Q4『

=。8+Q8+4Q8

=6(/；

(2)(x-y)(x2+xy+y2)

QooooQ

=x+xy+xy-xy-xy-y

=x3-/

【解析】(1)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；

(2)利用多项式乘多项式进行计算，即可解答.

本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

21.【答案】解：(2c+3y)2-(2/+g)(2c-g)

=1：4/+I2xy+9泊—(4a:2—y2)

=4rr2+12xy+9/—4x2+y2

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=12xy+10/,

当①=Q，?/=-5时，原式=12xQx(-5)+10x(-5)2=,.

【解析】解答：见答案。

此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式的乘法法则，去括号法则，以及合并同类项法则，灵

活运用完全平方公式及平方差是解本题的关键.解此类化简求值题应先将原式化为最简后再代入求值.

将原式的笫•项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简,,得到最筒结

果，然后将X与y的值代入，计算后即可得到原式的值.

22.【答案】证明：=CE,

/.AF-EF=CE-EF,

即4E=CF,

在RtAABE与RtZXCOF中，

(AB=CD

\AE=CFf

：.RtA4BE^RtACDF(HL).

【律析】根据等式的性质得出HE=CF，进而利用/比证明区12\力/?£且比/\。。尸即可

此题考查全等三角形的判定，关键是利用证明解答.

23.【答案】解：(1)如图所示，Ci(l,-1)；

1113

(2)S/umq=3X5--X2X3X2--X1X5=--：

(3)如图，点必即为所求.

【解析】(1)分别作出各点关于p轴的对称点，再顺次连接，根

据Ci在坐标系中的位置写出坐标即可；

(2)根据割补法即可求得三角形的面积：

(3)连接用。交y轴于点M,则M点即为所求.

本题考查的是作图-釉对称变换，熟知关丁y轴对称的点的坐标特

点是解答此题的关键.

24.【答案】解：①在△工3。中，•.•/力3。=40°，ZC=G0%

LBAC=180°-ZB-ZC=80°.

是的角平分线，

LEAC=\/.BAC=40°.

—

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•.•40是△43。的高，

AADC=90°

.•.在AWC中,ADAC=180°-/.ADC-ZC=180°-90°-60°=30°

「"DAE=AEAC-ADAC=40°-30°=10°.

②是乙43。的平分线，ZXBC=40°，

ZFBC-^ABC-20%

又•・•ZC=60%

N4FO=80。，

LAOF=180°-80°-40°=60°，

ABOE=AAOF=60°.

【解析】先根据三角形的内角和定理得到NB4C的度数，再利用角平分线的性质可求出ND4C=；N/MC,

而NEAC=90°—NC,然后利用/。,4£：=/。4。一/七47进行计算即可.由三角形外角的性质求得

AAFO=80°»利用三角形内角和定理得到N4OF=50°，所以对顶角相等：ABOE=AAOF=50°.

考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°.也考查了三角形的高线与角平分线的性质.

25.【答案】DHEHDHEH等式的性质CHBC线段垂直平分线的性质等边对等角

【解析】解：过点力作4H_L5C，垂足为

•.•在中，4O=4E（已知），。（所作），

DH=EH,（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）.

又•「3O=CE（已知），

BD+DH=CE+E”（等式的性质）.

GP：BH=CH.

又TAH上BC，垂足为H（所作），

为线段〃。的垂直平分线.

/.AB=AC（线段垂直平分线的性质）.

.•.N3=/C（等边对等角）.

故答案为：DH；EH；DH；EH；等式的性质；CH；BC；线段垂直平分线的性质；等边对等角.

过点力作4H13。，根据等腰三角形“三线合一”的性质得OH=EH，进而根据等式性质得3H=CH，

由此得4/为线段AC的垂直平分线，则48=4。，再根据等边对等角即可得出N3=NC.

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此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练

掌握，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键.

111111

26.【答案］5^6=5-6n(n+1)~n~n+l

【解析】解：(1)由题知，

因为」

=1"?

1x2

1_11

2^3=2

1_1

3^4=34'

1_11

4x5=45,

111

所以第〃个等式可表示为:

n(n+1)nn4-1'

当n=5时,

111

第5个式子是:5x6=16

1_11

故答案为:5x6=5-6

⑵由⑴知，

第“个式子是：~7—"TV=--,,：

Il{Il-I-1)11九十1

111

故答案为：(=一一

n(n4-1)'nn4-1

n4-1n

(3)因为右边二标日一所”

n+1-n

n(n4-1)

1

n(n+1)

=左边，

所以此等式成立.

(1)根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题.

(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题.

(3)利用分式加减运算法则进行计算证明即可.

第17页，共19页

本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律，进而得出第〃个等式是解题的

关键.

27.【答案】解：(1)如图1,

,/Va+