2024冀教版八年级数学上册 第十六章《轴对称和中心对称》每节课教案汇编（含七个教案）

第十六章轴对称和中心对称

16.1轴对称

教学目标

1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形；

2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图；

3.理解线段垂直平分线的意义和线段的轴对称性并用其作图.

教学重难点

重点：掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质，轴对称的性质；

难点：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.

教学过程

旧知回顾

你以前学过哪些图形的变换？

平移、旋转.

情景创设

和谐、美丽的对称图形无处不在，从自然景观到建筑物，艺术作品，甚至日常生

活用品，我们都可以找到对称的例了•，下面让我们一起来认识这奇妙的数学现象

吧！

设置悬念：面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边!

这是一种怎样的美呢?请谈谈你的感想?

让学生通过观察，比较发现，这些图形都具有对祢美.通过设问和学生发现的结

果，揭示课题——本节课学习轴对称.教师板书课题.

探究新知

一、轴对称图形

1.观察这几幅图片，它们是不是轴对称的，可通过什么方法说明?

W小

学生回答：轴对称，每幅图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.

学生通过观察生活中常见的轴对称图形，从感官上认识轴对称图形。

2.轴对称图形的定义：一般地，如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部

分能够完全重合,那么这个图形就叫作轴对称图形.这条直线就是它的对称轴。

3.画出上面所给图形的对称轴

4.轴对称图形在我们身边随处可见,你能举出这样的例子吗？

学生讨论回答

二、轴对称

1.观察，每对图形有什么共同特点?

C'

学生观察回答：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.

2.轴对称的定义：如果两个图形沿着某条直线对折后，这两个图形能够完全重合,

那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.这条直线就是对称轴，关于对称轴

对称的点，对称的线段，对称的角分别叫作对应点，对应线段，对应角.

3.AABC和A，B，C关于直线/成轴对称，提问：你能找出对应点、对应线段、对

三、轴对称图形与轴对称的区别与联系

学生小组合作讨论交流，回顾总结：轴对•称图形和两个图形成轴对称的区别和联

系.

轴对称图形两个图形成轴对称

图形

区别一个图形具有的特殊形状两个全等图形的特殊的位置关系

1.都是沿着某条直线折叠后能重合.

联系

2.可以互相转化.

练习：下列说法正确的是（）

A.能够完全重合的两个图形成轴对称

B.全等的两个图形成轴对称

C.形状一样的两个图形成轴对称

D.沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称

答案：D

2.如图，观察这儿张图片，它们是不是轴对称图形?

(1)(2)(3)

答案：图(1)(2)足轴对称图形，图(3)不足轴对称图形.

判断方法：沿某直线走折看两旁是否重合.

四、轴对称的性质

1.如图，MBC与MB'C成轴对称，直线I是对称轴.

学生合作探究，回答以下问题

(l)AABC与△AB，C的关系是.

(2)对应线段的关系是.

(3)对应角的关系是

(4)对应点的连线AATBB',CC之间的位置关系是.

(5)AA',BB',CC分别与对称轴/的位置关系是.

答案：(1)全等；(2)相等;(3)相等；(4)平行；(5)被对称轴垂直平分

师生共同总结得出成轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形，对应点的

连线被对称轴垂直平分.

提问：轴对称图形具备这些性质吗？抽学牛回答.

2.引导学生得出线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线，叫作这条

线段的垂直平分线。

线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

线段垂直平分线的用法：

如图，直线/垂直平分48,垂足为O.

①用于性质

直线/垂直平分力3,

：・OA=OB,IA.AB.

②用于判定

OA=OB,I工AB,

・•・直线/垂直平分力比

例如图，已知线段力8和直线/,画出线段43关于直线/的对称线段.

教师指点，学生分析•：分别作出点力和点8关于直线/的对称点，连

接两个对称点即可.

解：（1）分别过点A和点B画直线/的垂线段A0和BCT,垂足分别为O和

0*.

（2）分别延长A0到点A，，BCT到点BI使A，0A0,

BO=BO1

（3）连接49.

线段49即为所求.

课堂练习

1.下列说法中，正确的是（）

A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称

B.两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线两旁

C.两个图形的对应点连线的垂线，就是它们的对称轴

D.两个关于某直线对称的三角形是全等三角形

2.如图1,正方形为BCD的边长为5cm,则图中阴影部分的面积为.

图1图2图3

3.如图2,在4x4的正方形网格中，己将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从

其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图

形，则符合条件的小正方形共有一个.

4.如图3,将长方形纸片折叠，使点。与点〃重合，点C落在。处，折

痕为EF,若48=1,8c=2,则△N3E与厂的周长之和为.

参考答案

1.D2.12.5cm23.34.6

课堂小结

1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，宜线两旁的部分能够完全重合,

那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.

2.两个图形成轴对称：如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全重

合，那么就说这两个图形成轴对称.

3.中垂线：如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形,

它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

垂直且平分一条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.

布置作业

完成教材习题A组、B组.

板书设计

16.1轴对称

一锻・・加果一个留影沿某条♦线附

■对称明影折后.亶线两旁的部分能第完全重合.

骞么这个身形就叫做岫附林围形.

一般地，如累两个图形沿某条直线对折后.这

定义两个图形能完全■台.邮么我们就说这两个图

形成仲曾根

轴对称成■对尊

如果两个由形关于K一条直线成■对际.J么.

I性雇这两个0B彩是全等彩，它们的对应线段相等，

对点角相算.时点点所述的城段，并且被

对林轴•直耳分.

纪成■对脉的两个留影,成一整体,它就是一|

M对牌与M时斡

个”#称图形.把一个“对称国鼎沿对称"分成

用影

两个网形.这M个图膨大于这条・对帐

第十六章轴对称和中心对称

16.2.1线段垂直平分线的性质定理

教学目标

1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明；

2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；

3.会作最短路径问题.

教学重难点

重点：理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；

难点：会作最短路径问题.

教学过程

旧知回顾

回忆轴对称图形：

如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形

就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

回忆线段的垂直平分线的定义：

垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

导入新课

师问：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

生答：是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线.

那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢？

这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.

教师板书课题.

探究新知

一、线段垂直平分线的性质定理

如图(1)所示，已知线段力8和它的中垂线/,。为垂足.

在直线/上任取一点P,连接必，PB,如图(2)所示，线段口和线段P8

有怎样的数量关系?提出你的猜想并说明理由.

AOBAOB

(1)(2)

事实上，因为线段48是轴对称图形，垂直平分线/是它的对称轴，所以，

线段力沿对称轴/对折后，点力和点。重合.线段以和线段?/?重合.从而

PA=PB.

教师指导学生画线段45,通过对折的方法，找到它的垂直平分线，然后在

对称轴上多确定几个点，让学生测量，有什么发现？

如图所示，直线/垂直平分线段48,Pi,2,尸3,…是

/上的点,分别量一量点P,尸2,八，…到点4与点8的距

离，你有什么发现?

由学生归纳命题，教师给予纠正，使之规范.

命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

这个命题，是我们通过观察、猜想得到的，你能进行证明吗？

已知：如图所示，线段48和它的垂直平分线/,垂足为0,点。为直线/上任意

一点，连接口，PB.

引导学生利用SAS证明三△PB。，从而得到R1=P8

证明：在△玄O和△尸BO中，

AO=B0,

乙P0A=^P0B=9。。,

P0=P0,

△以。三"BO(SAS),

・•・巴=尸8(全等三角形的对应边相等).

从而得到线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距

离相等.

几何语言：•・•/垂直平分/8,尸为/上一点,

PA=PB.

［知识拓展］(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共

同特征，即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.

(2)由性质定理的证明可知，要证明一个图形上每一个点都具有这种性质，

只需要在图形上任取一点作代表即可.

(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.

说明：今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等，同时这也可当作

等腰三角形的一种判定方法.

二、最短路径问题

•B

已知：如图所示，点48是直线/外的任意两点，在直线/上，］

A•

试确定一点P，使力P+8P最短.

解：如图所示，作点4关于直线/的对称点，,

连接力’8,交直线/于点P,则4P+8P最短.

引导学生分析、证明.

【提出问题】

(1)我们知道两点之间线段最短，那么怎样把孙和P8这两条线段转化到一

条线段上？

学生讨论、分析得到：要作其中某一点关于直线/的对称点，对称点与另一

点的连线与直线/的交点，即为点P

(2)在直线/上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以

证明.

学生小组内交流，教师指定一名学生板演.

解：•.•点力和点4关于直线/对称,

AP=A'P.

4。+8尸=4尸+8尸=/'B（等量代换）.

如图所示，在直线/上任取一个异于点尸的点尸，连接

AP',BP,AF,则/P+3P>48（两点之间线段最短）.

即AP'+BP1=A'P^BP^A=AP+BP.

••."+8P最短.

新知应用

例1已知：如图所示，D,E分别是48,4C的中点,CDL4B于点D,BELAC

于点E.

求iiE：AC=AB.

证明：连接3C,

因为点。，E分别是4B,4C的中点,

HCDLAB,BEL4C,

所以CQ,4E分别是力C的垂直平分线,

所以4C=〃C,4B=CB,A

所以4C=力8

例2如图，48是两个蓄水池，都在河流。的同侧,为了方便灌溉作物，要

在河边建一个抽水站，将河水送到45两地，问该站建在河边的什么地方，可

使所修的渠道最短？

作法：1.作点/关于直线。的对称点力.

2.连接48,交。于点P.

点P即为抽水站的位置.

课堂练习

1.如图1,已知线段48,BC的中垂线/„/2交于点历，则线段4VZ,CM的大小

关系是（）

N.AMACMB.AM=CMC.AM<CMD.无法确定

2.如图2,四边形458中，4C垂直平分B。，庭足为E,下列结论不一定成立

的是（)

A.AB=ADB.CA平分乙BCD

C.AB=BDD.ABECZADEC

图1

3.如图3,4DLBC于点D,。为8C的中点，连接乙48c的平分线交力。于

点。，连接。C,若乙4。。=120。，则々出C=

4.如图4,在△力6c中，AB=AC,。是力6的中点,，JBLDELAB,已知'的周

长为12,且4C-8C=2,求4C,8C的长.

参考答案

l.B2.C3.60°

4.解：:。是48的中点，DE1AB,

・••DE为AB的中垂线.・•,AE=BE.

4BCE的周长为12,・♦•BC+CE+BE=12.

­.AC+BC=\2.

AC-BC=2,:・AC=7,BC=5.

课堂小结

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

布置作业

完成教材习题.

板书设计

16.2线段的垂直平分线

第1课时线段垂直平分线的性质定理

一、线段垂直平分线的性质定理

二、最短路径问题

第十六章轴对称和中心对称

16.2.2线段垂直平分线的性质定理的逆定理

教学目标

1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；

2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题；

3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程，体验逻辑推理的

数学方法.

教学重难点

重点：理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；

难点：能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题.

教学过程

旧知回顾

回忆线段垂直平分线的性质定理以及主要注意的问题：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

注意：(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征，即

线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离相等.

(2)由性质定理的证明可知，要证明一个图形上每一个点都具有某种性质，

只需要在图形上任取一点作代表即可，应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思

想方法.

(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.

探究新知

一、线段垂直平分线性质定理的逆定理

1.线段垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？

回答：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

2.结合右图，写出这个逆命题的条件和结论；

8

回答：条件：如图，PA=PB：结论：点P在AB的垂直平分线上.

3.猜想这个逆命题的真假，并试着证明你的猜想.

猜想：这个逆命题为真命题

探究：如果PA=PB,那么点P在线段AB的垂直平分线上.

请同学们写出已知，求证.

已知：点P为线段AB外的一点，且PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

证明：设线段AB的中点C,连接PC并延长

在ZkPAC和APBC中，

vPA=PB（已知）

-PC=PC（公共边）

-AC=BA（中点的意义）

.-.△PAC=APBC（SSS）

••ZPCA=4PCB（全等三角形的对应角相等）

•.-ZPCA+ZPCB=18O°（平角的意义）

.-.2zPCA=180°,B|JzPCA=90°

•・・直线PC是线段AB的垂直平分线（垂直平分线的意义）

・・・点P在线段AB的垂直平分线上.

思考：还能做什么样的辅助线证明？

证法2：如图所示，作乙4P8的平分线PC,则4Ape=zBPC.

又・：AP=BP,PC=PC,

:.△JPC=A^FC（SAS）.

:,乙PCA=LPCB,AC=BC.

乂•.•乙尸C4+ZPCB=18O。，

:•乙PCA=cPCB=90。,

即PCL4B,

AP点在AB的垂直平分线上.

线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平

分线上.

几何语言：

•••PA=PB,

P在AB的垂直平分线上.

用途：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

练习：如右图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD,

AC与BD相交于点0,

求证：AOOC,B0=0D.

二、判断线段垂直平分线的方法

思考：（1）若以=尸8,过点。作直线/，则直线/足线段43的垂直平分线吗？

答：不一定是.理由：经过一点的直线有无数条.

（2）若弘=PB,同时胁l=则直线是线段的垂直平分线吗？

答：是.理由：两点确定一条直线.

用线段垂直平分线性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的步骤：L

'：AB=AC,MB=MC,B＜：\

:•点A,M均在线段SC的垂直平分线上（两点确定一条直线），\

・•・41/垂直平分6c.“

总结：判定线段垂直平分线的方法

1.用线段垂直平分线的定义.

2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理.，推出两个点都在线段的垂直平分线上，则

过这两个点的直线就是这条线段的垂直平分线.

练习：1.已知I,"N是线段48的垂直平分线，下列说法正确的是（）

A.与AB距离相等的点在MN上B.与点力和点B距离相等的点在MN上

C.与MN距离相等的点在AB上D.AB垂直平分MN

2.点。在ZU3C的边3C上，且5。=5。+。力，则点。在线段（）的垂直平分

线上.

A.ABB.ACC.BCD.不能确定

答案：LB2.B

新知应用A

例1已知：如图所示，在△力8c中，AB,4C的垂直平分线

DP与EP相交于点〃

求证：点尸在8c的垂直平分线上.R------------------

引导学生分析，要让点尸在BC的垂直平分线上，就是要证明8P=。

学生证明，写出证明过程，教师巡视指导后全班讲评.

证明：如图所示，连接必，PB,PC.\

,:DP,“分别是力8,4C的垂直平分线，/

・•.PA=PB=PC,

・••点。在8c的垂直平分线上.户2----------二

通过此题你发现了什么结论？

【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的

距离相等.

例2己知：如图所示，在四边形45CQ中，.

A

AB=BC=CD=AD,ACLBD,垂足为O.

求证：AO=OC,BO=OD.-----.....—

让学生独立思考后完成.

证明：因为CD=AD,C

所以点8,。均在线段/。的垂育平分线匕育线是线段的垂育平分线.

所以4。=。。，同理，BO=DO.

课堂练习

1.已知：点C,。为线段NB外两点，下列说法正确的是（）

A.若AC=BC,则经过点C的直线垂直于48

B.若4C=8C,AD=BD,则直线C。垂直于48

C.若4D=BD,则经过点。的直线垂直于

D.^CDLAB,WJAC=BC,AD=BD

2.如图1,4B,C表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个

文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）

A.AC,3C两边高线的交点处B.AC,8C两边中线的交点处

C.JC,8C两边垂直平分线的交点处D/4乙8两内角平分线的交点处

3.如图2,4。为△4BC的角平分线，DE14B于点E,DFUC于点、F,连接Eb

交力。于点。，求证：4。垂直平分EE

4.如图3,四边形为5CD是一个“风筝”骨架，其中为4=4。，CB=CD.

设对角线4c=〃，80=6,请用含〃，力的式子表示四边形48CQ的面积.

参考答案

LB2.C

3.证明：・.・力。为△4BC的角平分线,

•••乙EAD=^FAD.

又•••DEL4B,DF1AC,

:.Z.AED=Z-AFD=9O°.

又AD=AD,:.AAED三MFD(AAS),

/.AE=AF,DE=DF,：♦垂直平分EE

4.解：5四边形/geo=S/sow+SfBD=~ZBD犀E+—BDgAE=—BDgAC=—ub.

课堂小结

内容：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线的

性质定理的逆定理

作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上

布置作业

完成教材习题A组、B组.

板书设计

16.2线段的垂直平分线

第2课时线段垂直平分线的性质定理的逆定理

一、线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，在线段的垂

直平分线上.

二、判定线段垂直平分线的方法

第十六章轴对称和中心对称

16.2.3尺规作线段的垂直平分线

教学目标

1.掌握如何用尺规作一条线段的垂直平分线.

2.过一点作已知直线的垂线.

教学重难点

重点：会作已知线段的垂直平分线和已知直线的垂线；

难点：运用以上两种尺规作图解决实际问题.

教学过程

旧知回顾

回忆线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

导入新课

如图所示，点4B,C表示三个村庄，现要建一座深井A

水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相

同，水泵站应建在何处?请画示意图，并说明理由.rB

••

分析•：因为向三个村庄分别送水，三条输水管长度相同（到三角形三个顶点的距

离相等），所以水泵站应在力&5c的垂直平分线的交点处.

说明：那么如何用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线呢?今天我们就来学习.

教师板书课题.

探究新知

一、尺规作线段的垂直平分线

例3如图，已知线段43.

求作：线段力3的垂直平分线.

交流：1.在小组内交流个人作法.

2.小组归纳作已知线段的垂直平分线的步骤.

3.教师规范作法，并写出规范的作图语言.

分析：由线段垂直平分线性质定理的逆定理，只要作出到这条线段端点距离相等

的两点，连接这两个点，即得所求作的直线.

作法：⑴分别以点4B为圆心，以大干的长为

、,.._、

半径，在线段43的两侧回弧，分别相交于点C,D.*77-------------

（2）连接CD'4；；

直线CD即为所求.T

归纳：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法

确定线段的中点.

练习：如图所示的尺规作图是作（）

A.线段的垂直平分线（

B.一个半径为定值的圆个

C.角的平分线1'

D.一个角等于已知角支

答案：A

二、过直线外一点作直线的垂线

如图所示，已知直线AB及AB外一点P.

求作：经过点P,且垂直于48的直线.

A-----------------------B

处理方式：

I.学生先独立思考.

2.随机找一名学生说思路，教师给予适当的提示：

(1)已知条件提示用什么知识点？

(2)怎样才能得到结论？

在直线AB上作出一条线段CD,使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到

点G。距离相等的点。，作直线尸0,直线尸0即为所求.

3.两生板演，教师巡视指导.

作法：

(1)以点尸为圆心，适当长为半径画弧，交直线

于点C,D.、,

(2)分别以点G。为圆心，适当长为半径，在直线

48的另一侧画弧，两弧相交于点。.心

(3)作直线PQ.

直线00即为所求.

思考：如果点P在线段上，应该怎么做？

学生思考后会发现：和点。在直线外类似，只需把。挪到直线上即可.

归纳：

L根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，只要找到两个到线段两端距离相

等的点，那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.

2.过一点作已知直线的垂线，由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系:

①点在直线外；②点在直线上.

因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.

课堂练习

1.锐角三角形内有一点P,满足必=尸8=尸。，则点P是△430()

A.三条角平分线的交点

B.三条中线的交点

C.三条高的交点

D.三边垂直平分线的交点

2.下列说法：

①若点P,E是线段垂直平分线上的两点，则P4=PB；

②若必=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段45；

③若以=PB,则点。必是线段力〃的垂直平分线上的点；

④若以=EB,则经过点E的直线垂直平分线段48.

其中正确的有.（填序号）

3.如图1,在△4BC中，分别以点4和点8为圆心，大于!43的长为半径画弧，

两弧相交于点〃，N,作直线交BC于点、D,连接力。.若△4X?的周长为

10,4B=7,则△力5c的周长为（）

A.7B.14C.17D.20

4.如图，在某河道/的同侧有两个村庄4,8,想要在河道上建一个水泵站，这个

水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？

B

A・

--------------/

参考答案

1.D2.①②③3.C

4.解：如图3所示，点尸即为所求作.

一

4L\c

课堂小结

作且如线段的垂直平分线

尺规作线段的垂

直平分线

过一点作已知线段的垂城

布置作业

完成教材习题A组、B组.

板书设计

16.2.3尺规作线段的垂直平分线

1.作已知线段的垂直平分线；

2.过直线外一点作已知直线的垂线.

第十六章轴对称和中心对称

16.3角的平分线

教学目标

1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理.；

2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论.

3.能利用尺规作出一个已知角的平分线.

教学重难点

重点：角平分线的性质定理及逆定理，利用尺规作一个角的平分线.

难点：角平分线性质定理的逆定理的得出.

教学过程

旧知回顾

1.角平分线的定义

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个

角的平分线.

2.线段垂直平分线的性质定理和逆定理

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的

垂直平分线上.

导入新课

1.图中表示点P到直线I的距离的是点段尸C的长.

2.本章中，从哪些方面学习线段的垂直平分线？

①线段的垂直平分线的定义；

②线段的轴对称性；

③线段的垂直平分线的性质定理；

④线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；

⑤线段的垂直平分线的尺规作图.

类似地，今天我们将从这些角度学习角的平分线的相关知识.

教师板书课题

探究新知

探究点一角平分线的性质定理

1.角平分线的轴对称性71

问题：角是轴对称图形吗？如图所示，将乙408对折，你发现了/

什么？/---------

0B

学生自己动手操作.

归纳：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.

2.角平分线的性质定理

动手操作：如图所示，。。是的平分线，在角平分线。。上任意选一点P,

在边上取点。，边。8上取点£,怎样才能使夕。=尸E?同学们拿出课前准

备好的404,用折纸的方法确定。，七的位置.

师生活动:

学生的折纸方法有可能出现的情况很多，让小组同学展示，然后从班内选择以下

两种对本节课有帮助的情况，展开后的图形如图所示.

第一种情况：

由折叠过程可得，PD=PE.

第二种情况：

A

D

这样的折叠过程，实际上是给出了。。，。力，PE工0B,也能得到尸。=PE

下面来证明第二种情况结论的正确性.

已知：0C是乙4。8的平分线，尸是0C上任意一点，PDLOA,PELOB,垂足分

别为。，E.

求证：PD=PE.

你能用什么方法说明你的结论是正确的？教师指点，学生自行讨论，完成证明过

程.展示成果：

方法一：用刻度尺测量尸。，PE,得到两条线段的长度相等.

方法二：利用角的对称性，当沿。C所在的直线对折时，PD与PE重合,因此

PD=PE.

方法三：证明：♦.,POJLO4PE30B,。。平分乙亿啰，

，乙PD0=LPE0=9。。,乙40C-B0C.

ZPDO=ZPEO,

在"DO和ME。中，、ZAOC=NBOC,

OP=OP.

・••△尸。。三△PEO（AAS）,

・••PD=PE.

教师：请你用语言描述你所得到的结论.

学生：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

它常用于证明两条垂线段相等.

教师：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等，

但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边

的垂直关系时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形全等而走弯路.

练习：判断下列的写法是否正确？

（1）如图所示，力Z）平分284C,（已知）

8O=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

解：错误，理由：没有垂直，不能确定6,CO是点。到角两边的距离.

B

D

（2）・・・如图所示，DB1AB,DCLAC,（已知）

8O=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

解：错误；理由：无法确定点。在N84C的平分线上.

探究点二探究角平分线的性质定理的逆定理

思考：线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题，那么角平分线的性质

定理的逆命题呢？

师生活动：教师引导学生写出其逆命题，引导学生画出图形，判断其真假，讨论

如何验证其正确性.

学生：画出图形如图所示，有可能的验证方法：

1.想证明三角形全等但条件不足.

2.如图所示，连接。C,测量所给图形中的CE和W的长，得到CE=CR并测

量得到40C和。的大小也相等，从而得到C点在角的平分线上.

3.折叠所给图形，使CE与CR重合，此时角的两条边也重合，展开后折痕恰好

经过角的顶点和。点，所以0C是角的平分线，即点。在角的平分线上.

4.在角的内部任取一点，如果这点在角的平分线上，那么到角的两边的距离是相

等的，如果选取的点不在角的平分线上通过测量到角的两边的距离，它们不相等,

所以如果到角的两边距离相等的点，应该在角的平分线上.

教师总结：其逆命题是一个真命题，我们把它作为一个定理，它与角平分线的性

质定理是互逆的，称为逆定理.

角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上.

符号表示：如图所示，•••CEJ_04CF1.0B,CE=CF,

0C平分乙408

证明过程将在第17章中学习.

例已知：如图1所示，△月BC的角平分线CN相交于点P.

求证：点尸到三边力&BC,C4的距离相等.

教师点拨：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等

必须标出它们，所以要在证明中写出，同作辅助线一样处理.如果已知中写明点尸

到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写.

证明：如图2所示，过点P分别作尸DM3,PE1BC,PFL4C,垂足分别为Q,

E,F.

•••8”是△/佑C的角平分线，点尸在〃A/上，PD1AB,PE工BC,

:.PD=P£同理PE=PF.

PD=PE=PF.

即点P到三边43,BC,C4的距离相等.

思考：点尸在的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

点P在乙4的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交丁-一点，这点到三角形三边的距离相等.

如图所示，是一个角平分仪，其中48=/。，8C=QC.将点4放在角的顶点，AB

和力。沿着角的两边放下，沿4C画一条射线/£力后就是角平分线，你能说明

它的道理吗？

A

小组讨论后得出：根据三角形全等的“边边边”的判定方法，可以说明这个仪器的

工作原理.

想一想：能够运用这种方法作出任意角的平分线吗？

探究点三用尺规作已知角的平分线।

教师引导学生作图：作的平分线.(如图所示)/

学生讨论作法./

教师总结作法：(/R

如图所示.

⑴以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交。4,。8于点E.

(2)分别以点Q,E为圆心，适当长为半径，在乙4。8

的内部画弧，两弧相交于点C.'

(3)作射线0C.夕(二^

则射线。。为所要求作的41。8的平分线.

okJ-B

学生作图.

教师：你能证明。。为什么是2/08的平分线吗?

学生进行交流，写出证明过程.

证明：如图所示，连接CQ,CE.

由作图过程知，OD=OE,CD=CE,

又oc=oc,

：•xODCz&OEC,

・••"40C=cB0C.

即。。是的平分线.

试一试：在练习本上分别作锐角，钝角，平角的平分线.

课堂练习

1.如图1所示，在四边形/8CQ中，438=90。，BD平分乙4BC,48=6,BC

=9,8=4,则四边形49CZ）的面积是（）

A.24B.30C.36D.42

2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图2所示，则能说明

=△80。的依据是（）

A.SSSB.ASA

C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等

3.如图3所示，。是△幺3。内一点，且点O到三边48,BC,力。的距离

=OE,若乙B4c=70。,则28OC=.

4.如图4所示，己知△WBC的外角乙C&）和NBCE的平分线相交于点F.求证：点

厂在4D4E的平分线上.

参考答案

LB2.A3.125°

4.证明：如图所示，过点F作FGL4E于点G,FHL4D于点H,于点

M.

•••点/在N8CE的平分线上，FGiAE,FMtBC,

・•・FG=FM.

又•・•点尸在4c8。的平分线上，FIUAD,FM工BC,

:.FM=FH,AFG=FH.

・•.点/在乙。4E的平分线上.

课堂小结

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

作用：直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线，关键是图中是否有“垂

直

2.角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上.作用：证

明角相等.

3.区别与联系：性质定理说明了只要是角平分线上的点，那么它到此角两边的距

离一定相等；性质定理的逆定理说明了只要是到向两边距离相等的点，都一定在

角平分线上.在实际应月中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平

分线）.

布置作业

完成教材习题A组，B组.

板书设计

16.3角的平分线

性质定理|广角学分线上的点到角两边的距离相等

内容।到角两边距H相等的点在这个角的平分段上

角的平分线T黑的

U作用卜内♦一个或是否在角的早分线上

辅助线添加过角隼分线上一点前角的M边作■及段

第十六章轴对称和中心对称

16.4中心对称图形

教学目标

L了解中心对称图形的概念，会识别常见的中心对称图形.

2.了解中心对称的概念，掌握中心对称的性质.

3.理解并掌握中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.

教学重难点

重点：中心对称的概念和性质及中心对称图形的概念.

难点：中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.

教学过程

旧知回顾

1.轴对称图形

如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个

图形就叫做轴对称图形.

2.轴对称的性质

如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么这两个图形是全等形，它们的

对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

导入新课

欣赏图片引入“中心对称图形——美丽的图案.

观察下列图形，它们是前面学过的轴对称图形吗？如果不是，它们的共同特征是什么？

学生经过观察发现：它们都不是轴对称图形，经过旋转后可以与自身重合.

它们是什么图形呢？这就是今天要学习的内容——中心对称图形，

教师板书课题.

探究新知

探究点一中心对称图形

1.(1)如图，“中心点”旋转多少度后能与它们自身重合？

★X蛰+

<1><3)<O

学生回答：(1)72°或144°；(2)90°或180°；(3)180°；(4)180。

(2)如图，已知线段AB和它的中点O.当线段AB绕点O旋转多少度时，这条

线段能与它自身重合？

A0；B

k、/

、、//

、✓/

、"--J

学生回答：线段AB绕中点0旋转180°后，能与自身重合.

(3)你还能举山具有上述特征的例了吗？

学生回答：如图所示.

中心对称图形：像这样，如果一个图形绕某一点旋转180。后能与它自身重

合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫作它的对称中心.其中，关

于对称中心对称的点叫作对应点.

根据问题2我们知道：线段是图形，是线段的对称中心，两

个端点为.

答案：中心对称；线段的中点；一对对应点

教师总结：中心对称图形是指具有中心对称性的一个图形，两个图形之间有时也

具有这种对称关系.

2.做一做

(1)如图所示，△48C和△。£尸的顶点力，C,尸，。在

同一直线上，点O为线段CV的中点，AC=DF,BC=

EF,Z.ACB=Z.DFE.

将ZUAC绕点。旋转】80。后，它能与重合吗？

答：能与ZkDEF重合.

如果能重合，那么线段48,力。和分别与哪些线段重

合，点A,B,C分别与哪些点重合？

答：4BVDE重合,上重合，8c与跖重合，点A1点D重合，点B

与点E重合，点C与点F重合.

请你举例说出两个具有上述特征的图形.

成中心对称：像这样，如果一个图形绕某一点旋转180。后与另一个图形重

合，我们就称这两个图形成中心对称.这个点叫作对称中心，其中，成中心对称

的点、线段和角，分别叫作对应点、对应线段和对应角.

思考1：中心对称图形与成中心对称有什么关系？

如果把成中心对称的两个图形看作整体，则它就是中心对称图形；同样，中

心对称图形也可以看作两个图形成中心对称.

思考2：中心对称图形与成中心对称有什么区别和联系？

学生进行讨论

名称成中心对称中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°如果一个图形绕某一个点旋转

定义后与另一个图形重合，那么就把说这180。后能与它自身重合，那么这

两个图形叫做成中心对称.个图形叫做中心对称图形.

若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，

联系

若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则它就是中心对称图形.

练习：1.判断：下列窗花哪些是中心对称图形？

(1)

答案：（1）不是（2）是

2.如图（1）所示,等边三角形是中心对称图形吗?

答案：不是

3.如图（2）是一块平行匹边形草地，要在上面修建一条小路，使得草地被小路分成

面积相等的两部分，修路的方法有几种？

答案：过对称中心的任意一条直线都可以将中心对称图形分成面积相等的两部

分.

探究点二中心对称的性质

1.中心对称图形与图形的旋转之间有什么关系？

中心对称是旋转的特例，即旋转了180。，因此旋转的性质同样适用于中心对称.

图形的旋转布*以下基本性质：“一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点

到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等

2.根据旋转的性质，结合图形，说说中心对称有哪些性质？

(DAJ5C与夕C的关系是.

(2)对应线段的大小关系是,位置关系是.

(3)对应角的关系是.

(4)对应点的连线4T,BB',C。与对称中心的关系是.

学生自主探究

答案：(1)全等(2)相等，平行或在同一直线上(3)相等

(4)对应点的连线都经过对称中心，并旦被对称中心平分

结论：如果两个图形关于某一点成中心对称，那么，这两个图形是全等形，它们

的对应线段相等，且互相平行或在同一直线上，对应角相等；对应点的连线经过

对称中心，且被对称中心平分.

练习：1.如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那

么这两个图形一定关于这点成.

答案：中心对称

2.已知4B,。三点不共线，点44关于点。对称，点8,9关于。对称，那

么线段AB与4夕的关系是.

答案：相等且平行

探究点三作成中心对称的图形

例：已知线段49和。点，画出线段44关于点。的对称线段

如图(1)所示，已知线段AB和点0,画出线段力3关于点。的中心对称图形

学生分析：要画出线段N8关于点。的中心对称图形，就是根据中心对称的性质

找到4B两点关于点O的对称点.

解：⑴连接力。，B0,并延长力。到点C,延长3。到点。，使得OC=Q,OD

=OB.

(2)连接CD.

线段CD即为所求.如图(2)所示.

练习：如图所示，选择点0为对称中心，画出与关于点。对称A

的夕C.八

教师引导，学生自主完成(只需做出三个关键点4B,C的时称点，/\

顺次连接即可).IX

总结

应用这种方法，只要给出对称中心，我们可以画任意多边形的成中心对称的图形.

对称中心的常见位置有以下几种情况：

△

■.

吟

在图形外在国彩顶点在图彩边上在图形内

课堂练习

1.下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()

2.如图1所示,△4BC和△月方。成中心对称，点彳为对称中心.若4c=90。，乙B

=30°,JC=1,则88’的长为（）

A.4B.3C.2D.5

图1图2

3.如图2所示，在平面直角坐标系中，若:△44C与△4SG关于点E成中心对称,

则对称中心点E的坐标是()

A.(0,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(3,-1)

4.下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤梯形；

⑥圆.其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是.(填序号)

5.如图所示，点O是边长为2〃的正方形月3CQ的对称中心，过点。作

OM_LON交正方形的边于点“，N,则四边形。MCN的面积为.

参考答案

l.C2.A3.D4.①④⑥5.a2

课堂小结

1.中心对称图形的定义

如果一个图形绕某一个点旋转180。后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做

中心对称图形，这个点就叫做它的对称中心.

注意：常见的中心对称图形有线段、长方形、正方形、圆等.

2.成中心对称的定义及中心对称的性质

(1)成中心对称的定义：如果一个图形绕某一点旋转180。后与另一个图形重合，

我们就把这两个图形叫做成中心对称.

注意：成中心对称是相对于两个图形来说的.

(2)中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心,

并且被对称中心平分.

注意：该性质可以帮我们判别两线段是否相等或求线段的长，也可以帮助我们来

画成中心对称的图形.

布置作业

完成教材习题A组，选做B组

板书设计

中心对林如豪一个留形姚某一个京解发1仙,后豌与它自身■合,

留影税幻就把这个图影叫做中心对林图形.

如果圮一个图形统某一点旋，INO•后与另一个BB影

成中心对检

重合.我们就圮这两个图彩叫做成中心对珠

中心对称

图形(“在质中心对称的两个图形中.对应点的连线

应中心对尊图经过对秣中心.并且被时林中，评分.(即时称

彩的性・点与气移中心三&我线