2024冀教版八年级数学上册《反证法》教案

17.5反证法

课时目标

1.通过实例体会反证法的含义.

2.掌握反证法证明命题的一般步骤，能用反证法进行简单的推理证明.

3.借助实例感受反证法的思想.

学习重点

从生活实例中体会反证法的方法步骤.

学习难点

能用反证法进行简单的推理证明.

课时活动设计

教学酒动工

导入新课

在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明

方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.

•设计意图：开门见山，直接引出本节课所学.

教学活动2

探究新知

在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样

证明它呢？

思考：该命题直接去证明，显然比较麻烦，所以，我们如何去证明呢？

学生初步说出解决问题的思路，假设有两个直角的时候，不满足三角形的内

角和定理，此时,教师可做出示范,引出本节课所学内容.

已知：如图，4ABC.

求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.

证明：假设在△ABC中，有两个（或三个）直角，不妨设NA=N3=90。.

・.•ZA+ZB=180°,

・•・NA+NB+NO180。.

这与“三角形的内角和等于180。”相矛盾.

因此，三角形有两个（或三个）直角的假设是不成立的.

所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.

＞设计意图：通过学生思考，教师规范过程，让学生初步感受反证法的一般

过程.

教学活动3

归纳总结

同学们，观察老师的写题思路，上面的证明过程，是先假设原命题结论不正

确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和

定理相矛盾的结果，因此，假设是错误的，原结论是正确的.

这种证明命题的方法叫做反证法.

现在你能总结反证法的一般思路吗？

学生思考，说出自己的想法，最后教师总结.

用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤：

第一步，假设命题的结论不成立.

第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概

念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.

第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

＞设计意图：学生独立思考，加深学生对反证法的理解.

教学活动4

典例精讲

例1用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截,

同位角相等.

已知：如图，直线48〃。。，直线E尸分别与直线A8,CD交于点G,H,

Z1和N2是同位角.

求证：Z1=Z2.

思考：应该假设什么？

证明：假设N1RN2.

过点G作直线使得NEG2N1.

•：/EGN=/\,.*MN〃C。（基本事实）.

又・・・AB〃CD（已知），

・・・过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行，

这与“经过已知直线外一点，有旦只有一条直线与已知直线平行”相矛盾.

Z1,N2的假设是不成立的.

因此，Z1=Z2.

例2用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

己知：如图，在aABC和△A'8'C'中，ZC=ZCZ=9O°,AB=AB,AC=A,C,.

求证：△ABC丝△A'B'C'.

证明：假设△ABC与△ABC不全等，BPBC^BC.

不妨设8C<BC.如图.在BC上截取C'D=CB,连接AT）.

在△ABC和△ARC中，

,,

：AC=A'CfZC=ZC,CB=C'D,

：.Xk'DC'(SAS).

・・・AB=/TQ（全等三角形的对应边相等）.

・・・AB=45'（已知）,

，A6=4'。（等量代换）.

NZT=NAD*（等边对等角）.

・•・NA'DB，＜9（）。（三角形的内角和定理），

即NC＜NADB（90。（三角形的外角大于和它不相邻的内角）.

这与NC，=90。相矛盾.

因此，。的假设不成立，即△ABC与△48。不全等的假设不成立.

所以，AABC出AA'B'C'.

＞设计意图：让学生利用反证法对以前的知识进行证明，加深学生对反证法

的理解.

教学活动5

巩固训练

1.用反证法证明：

（1）如果。•果0,那么小力中至少有一个等于那

（2）两条直线相交，有且只有一个交点.

证明：（1）假设H0且厚0,则。屏0,与ab=0相矛盾.

・•・假设不成立.，疥。或b=0.

（2）假设直线。与直线b相交没有交点或有两个及两个以上交点.

若直线。与直线人没有交点，则直线。与直线b平行，与两直线相交矛盾;

若直线。与直线人有两个及两个以上交点，根据两点确定一条直线，可知直

线。与直线重合，与两条直线相交矛盾，综上，假设不成立，所以直线。与直

线〃有且只有一个交点.

2.已知：直线直线c与b相交，且c与〃不垂直.用反证法证明：。与

c相交.

证明：假设直线。与C不相交，即4〃C

上b,allc、

这与已知直线。与匕不垂直相矛盾，

・,•假设。与C不相交不成立.

••a与c相交.

•设计意图：学生通过习题的练习，能够熟练利用反证法解决问题.

教学活动6

课堂小结

反证法证明的•般步骤：

第一步，假设命题的结论不成立.

第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概

念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.

第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

•设计意图：通过对本节课所学内容的归纳总结，加深学生对所学知识的理

解和掌握，培养学生归纳、总结能力.

教学活动7

随堂小测

1.%。”的反面应是（D）

A.a/hB.a>bC.a=bD.a=b或a>b

2.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角"，第一步应假设（B）

A.三角形中至少有一个直角或钝角

B.三角形中至少有两个直角或钝角

C.三角形中没有直角或钝角

D.三角形中三个角都是直角或钝角

3.用反证法证明"三角形中至少有一个内角不小于60。”，应先假设这个三角

形中（B）

A.有一个内外小于60°B.每一个内角都小于60。

C.有一个内角大于60。D.每一个内角都大于60。

4.用反证法证明”如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是

等腰三角形”的第一步是假设如果一个二角形没有两个相等的角，那么这个三

角形是等腰三角形.

5.完成下列证明.在△ABC中，如果NC是直角，那么N5一定是锐角.

证明：假设结论不成立，则是直角或钝角.

当NB是一直角时,则N4+N3+NO180。，这与三角形的内角和

等于180。矛盾;

当/B是钝角时,则NA+N8+NO180。，这与三角形的内角和

等于180。矛盾.

综上所述，假设不成立.

・♦・如果NC是直角，那么NB一定是锐知.

•设计意图：当堂训练，当堂检测，查漏补缺.

随堂练习

相关练习.

课后作业

I.教材习题.

2.相关练习.