2024人教版七年级数学上册 实际问题与一元一次方程（第4课时 分段计费和方案选择）教学设计

5.3实际问题与一元一次方程（第4课时分段计费和方案

选择）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第五章一元一次方程5.3实际问

题与一元一次方程，第4课时，内容包括：分段计费和方案选择.

2.内容解析

这•节是人教版七年级数学上册第五章第3节《实际问题与•元・次方程》第4课时的

内容，本节知识是数学与实际生活的紧密联系，是理论联系实际的一节课，列方程解应用题

体现了现实世界中事物的相互联系，学生从这些联系中看问题的同时也为今后学习二元一次

方程组实际的应用，一元一次不等式的实际应用和函数奠定了基础。本节知识重点培养学生

逻辑思维能力、计算能力，分析问题和解决问题的能力.本节课要求学生掌握解方程的基本

思想和培养学生列方程解应用题的意识，一元一次方程的实际应用问题是本章的重点难点，

蕴含了一种十分重要的数学思想…建模思想，也体现了一种关键的数学技能一翻译，通过列

一元一次方程来解决实际问题中的数量关系。

基于以上分析，本节课的教学重点是：经历分段i-费问题的解决过程，合作探究分段

计费问题的数量关系，能运用分段计算的方法正确解答这类实际问题，进一步提升解决问题

的能力.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）经历分段计费问题的解决过程，合作探究分段计费问题的数量关系，能运用分段计算

的方法正确解答这类实际问题，进一步提升解决问题的能力：

（2）通过小组合作，寻找和设计最优方案解决实际问题，发展学生分析问题、解决问题的

能力；

（3）通过寻找具体问题中的等量关系，建立方程解决问题；进一步经历运用方程解决实际

问题的过程，体会数学的应用价值，发展学生的数学建模思维。

2.目标解析

（1）教材由具体实际问题引入，并引导学生通过观察、比较、归纳等方法，发展学生的数

学建模能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方

法和乐趣，增强学习兴趣.

(2)培养学生对实际问题的理解和方程的运用能力，体会利用方程思想解决问题.

(3)鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习

的兴趣，培养学生认真、皿谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.

三、教学问题诊断分析

本节课是在学生初步认识方程，掌握方程解法的基础上，学习一元一次方程的应用，让

学生根据应用题的实际意义，寻找等量关系，列一元一次方程来解决实际问题，体验到了用

一元一次方程来解决问题的简洁性。七年级学生刚刚跨入少年期,理性思维的发展还很有限,

形象直观思维已比较成熟，但抽象思维能力还比较薄弱。本节课对于分段问题当不清楚所求

问题所处阶段，需要分类讨论，学生此时易忽略.

基于以上分析，本节课的教学难点为：通过小组合作，寻找和设计最优方案解决实际

问撅，发展学牛分析问撅、解决问撅的能力.

四、教学过程设计

(一)情景导入

“众手浇开生态花，节约用水靠大家”为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用

价格调控手段达到节水目的.该市自来水收费价格见价目表.

।节内用水.

A*我做起

IX东整・M康拿・覆木套人COKITV

2元/m，

4元/加

8元/

【设计意图】通过由实际问题引入，激发学生学习,让学生明白数学来自于生活，服务

于生活，倡导学有用的数学.

(二)新知探究

(1)①若该户居民2月份用水5〃，，则应交水费」()_元，

②若该户居民2月份用水8〃?3,则应交水费20元,

③若该户居民2月份用水12.5W3,则应交水费多少元？

(2)若该户居民3月份交水费40元；则该户居民3月份用水多少立方米？

⑶若该户居民4、5月份共用15〃?3(其中5月份用水量超过4月份)，共交水费44元，则

该户居民4、5月份各用水多少立方米？

解(1)2x6+4x(10-6)+8x(12.5-l0)=48(元)

答：应交水费48元；

(2)40-2x6-4x(10-6)=12(元);

12+8=1.5(/)；

10+1.5=11.5(〃力；

答：该户居民3月份用水11.5立方米；

(3)•・•5月份用水量超过4月份，J4月份用水量少于7.5n?

设4月份用水xnP,则5月份用水

①当0<x<6,6<15-烂10时

2x+2x6+4(15-x-6)=44.

解得x=2,此时舍去

②当(Krv6,15・x>10时

2r+2x6+4x4+8(15-x-10)=44,

解得尸4,此时符合题意

③当6<xvlO,6vl5・xvlO时

2x6+4(x-6)+12+4(15*6)=44,方程无解

答：4月份用水4立方米，5月份用水II立方米

方法：解决阶段计费问题，需要先确定所给条件属于哪一段，再根据各段费用之和等于总

费用，最后建立方程求值.

【设计意图】从具体实例出发，让学生通过观察，引导学生分析问题，厘清题中的数量关

系，从中获得成功的体脸，激发学习激情.培养学生的建模能力.

(三)典例讲解

例1.每年的“618购物节”，各网络电商都会在这一天搞促销活动.今年，某网上购物商城

促销活动规则如下：

①购物不超过200元不给优惠

②购物超过200元但不足500元的部分打九折

③购物超过500元的部分打七五折

(1)购物200元实际付款20a元,购物40()元实际付款_380一元,购物600元实际

付款545元

(2)若玄际付款620元，求所购物品的原价是多少元？

解(2)设所购物品的原价是x元，由实际付款620元，贝Jx>600,

200+0.9x(500-200)+0.75(1-500)=620,

解得尸700,

答：所购物品的原价是700元.

方法：这种问题应该先由实际付款确定所在的阶梯，再进行计算

例2.某市自1月1口起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的

收费价格如表所示：

每月用气量单价(元/加)

不超出75"'的部分

超出75加的部分|

⑴若甲用户3月份的用气125〃汽缴费325元,求a的值;

(2)在(1)的条件下，若乙用户2、3月份共用气150〃?3(3月份用气量低于2月份用气量)，共

缴费381.25元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

解(1)由题意，得75a+(12+75)3+0.25)=325,

解得a=2.5,

(2)设乙用户2月份用气xnP，则3月份用气(150-x)m3,

V3月份用气量低于2月份用气量，

解得：x>75,

/.150-x<75,

75x2.5+(2.5+O.25)x(x-75)+2.5(l50-x)=381.25,

整理得：0.25x=25,

解得：x=IOO,

，乙用户2、3月份的用气量各是lOOnP,50m3.

分段问题：常见的分段计费问题有水电气费、通讯网费、个人所得税、保险报销费等，解

决这类问题注意正确分段，找准各段的计算公式，避免重复计费，有时需分段讨论.

【设计意图】培养学生的数学建模素养，通过实际问题引入方程，让学生体会数学与现

实生活的联系，增强数学应用的意识.学会利用方程表示实际问题中的等量关系，提高学生

的数学运算能力，增强数学运算的准确性和效率.

(四)新知再探

购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台，如表

是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW・h),请你分析他购买、使用哪款空调

综合费用较低.

两款空调的部分基本信息

匹数能效等级售价/元平均每年耗电量加怦h

1.51级3000640

1.53级2600800

问1.你知道不同颜色的箭头代表什么吗？

代表耗能的大小，耗能越大，越费电.

问2.你会怎么选择呢？你的选择依据是什么？

选择总费用较低的

问3.总费用与什么有关？

总费用与售价以及使用时间有关，使用时间越长电费越高

问4.总费用怎么计算？

总费用=售价+电费

问5.设空调使用时间为，年,请用式子表示两种空调使用总费用

一级效能空调

总费用为：3000+0.5X640X/=320，+3000

二级效能空调

总费用为：2600+0.5x800x片400什2600

问6.t取何值时，哪款空调综合费用较低？

解：列方程,得300()+320t=260()+400t,

解得1=5.

1取5时，两款空调的综合费用相等.

05时，1级能效空调的综合费用较低

1<5时，3级能效空调的综合费用较低

【设计意图】通过对方案优劣的判断，引导学生做事多思考、多动脑，寻找最佳方案解

决问题，引导学生在今后的学习生活中更好、更快地解决问题。

(五)变式训练

1.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.A计时制：0.05兀/分钟；B包

月制：60元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费0.02元/

分钟.

(1)某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用：

(2)你认为采用哪种方式比较合算？

解：⑴采用计时制：(0.05+0.02)x60x=4.2x,

采用包月制：604-0.02x60.r=60+1.2x；

(2)由42x=604-1.2x,

解得x=20.

又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算.

・••当0今<20时，采用计时制合算；

当x=20时，采用两种方式费用相同；

当x>20时，采用包月制合算.

2.某班打算买一些斤乓球和乒乓球拍，现了解情况如下；甲、乙两家商店出售同样品牌的

乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价3()元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一

副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小

于5盒).问：

⑴当购买乒乓球10盒时，去哪家店购买比较优惠？

(2)当购买乒乓球多少盒时，两家店的付款一样多？

(3)如果你去办这件事，你选择哪家商店购买，更省钱？

解(1)甲:30X5+5X(10・5)=175(兀)

ZL:(30x5+5x10)x0.9=1801元)

因为175Vl80,

所以当购买乒乓球10盒时，去甲商店购买比较优惠.

(2)设购买x盒乒乓球时，两家店的付款一样多，

根据题意得：30X5+5(X-5)=(3()X5+5X)X().9,

解得：x=20,

答：当购买乒乓球20盒时，两家店的付款一样多.

(3)该班购买乒乓球盒数等于20盒时，两家付款一样；

该班购买乒乓球盒数少了20盒时，甲商店更省钱；

该班购买乒乓球盒数超过20盒时，乙商店更省钱.

【设计意图】巩固学生利用一元一次方程解决方案选择问题和经历根据具体问题列方程

的过程，理解方程思想，体会方程是现实问题中含有未知数的相等关系的数学表达，发展抽

象能力。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性.

(六)拓展探究

1.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在中商

场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费，在乙商场累计购物超过100元

后，超过10()元的部分按90%收费.设顾客累计购物金额为x元

(I)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费；

(2)顾客到哪家商场购物花费少？

解(1)：当040200时，甲商场购物的花费为x元，

当x>200时，甲商场购物的花费为200+80%(*200)=(0.8x+40)元；

当030()0时，乙商场购物的花费为x元，

当x>100时，乙商场购物的花费为100+90%Cv-l00)=(0.9A-+10)元；

⑵当OSrWOO时，两个商场都没有优惠，故此时到两个商场购物花费•样；

当100〈烂200时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠，故此时到乙商场购物花费少：

当x>200时，若0.8X+40=0.9K+10时,解得尸300,

故当尸300时，此时到两个商场购物花费一样；

'：0.9x+10-0.8.v-40=0.lx-30=0.1(x-300),

・••若x〈300时，()9计1()-0.8六40<0,即2004〈300时，到乙商场购物花费少；

・•・若x>300时，0.9x+10-0.8x-40>0,此时到甲商场购物花费少；

综上所述，当0S烂100或尸300时，到两个商场购物花费一祥：当100〃<300乙商场购物花

费少；当x>30()时，到甲商场购物花费少.

【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的能力.

(七)当堂巩固

1.某校七(3)班开展户外研学活动，此次活动由班长负责购买车票，票价每张20元.有如

图两种优惠方案.班长思考•会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是•样的，则七(3)

班共有(D)

团购优惠方案

①全体人员均打8折；

②若打9折，有7人可以免票.

A.60人B.61人C.62人D.63人

2.某人向北京打电话，通话3分钟以内话费为2元，超出3分钟部分按每分钟1.2元收费

(不足1分钟按1分钟计)，若某人付了8元话费，则此次通话平均每分钟花费(A)

A.1元B.1.1元

C.1.2元D.1.3元

3.一家游泳馆每年6-8月出售夏季会员证，每张会员证80元,只限本人使用，凭证购入场券每

张10元,不凭证购入场券每张15元.试讨论并回答:什么情况下,购会员证与不购会员证付一

样钱？

解:设消费x次时，

由题意可得：80+10.r=15x

解得x=16

当消费16次时,购会员证与不购证付的钱一样多.

4.每年的“双11购物节”，各网络电商都会在这一天搞促销活动.今年，某网上购物商城

促销活动规则如下：①购物不超过200元不给优惠；②购物超过200元但不足500元的

部分打九折；③购物超过500元的部分打七五折.小明第1次购得商品的总价（标价

和）为200元，第2次购物花费452元，若小明将这两次购得的商品合为一次购买，则

能节省多少元.

解:若购物500元，则需要花费200+0.9（500-200）=470（元），

设第2次购物标价为x元，

V452<470,••・2OOVxV5OO,

.\200+0.9（x-200）=452,Ax=480,

・••两次购物的商品总标价为200+480=680,

若合为一次购买，则实际应付200+0.9x300+0.75x180=605（元），

A200+452-605-47（元）,・••育自节省47元,

5.某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工

后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元.现收获这种蔬菜

140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对