2024北师大版八年级数学上册《认识证明》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

第七章证明

2认识证明（第1课时）

一、学习任务分析

通过本章第一节的学习，学生已经认识到探究得出的结论需要加以证明。因此，第二节

将系统介绍有关证明的基础知识，共安排2课时。其中，第I课时介绍定义、命题、命题的

结构、命题的真假以及判断假命题的常用方法；第2课时重点讲解真命题的证明、公理化思

想，以及证明的出发点，并通过具体实例让学生感受证明的过程与证明的格式。

本节课是第二节的第1课时，主要是引导学生结合具体实例认识定义与命题，对某些名

称和术语加以描述，并作出规定，为后续进行有理有据的证明奠定基础。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在以前的学习中已经接触了不少的几何知识、代数知识，对

数学中的名词、概念有了初步的认识。

学生的活动经验基础：通过前面的学习，学生已经了解了为什么要证明，感受到了证明

的必要性。学生能将合情推理或通过图形运动等方法探索得出的某些结论用于简单说理，积

累了一些简单说理的经验，

三、教学目标

1.通过具体实例了解定义、命题、真命题、假命题的含义。

2.能结合具体实例区分命题的条件和结论。

3.了解判断假命题的方法。

教学重点：区分命题的条件、结论与判断命题的真假。

教学难点：定义、命题、真命题、假命题的含义。

四、教学过程

【第一环节】情境引入

1.活动内容

谈话导入

教师：随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，一天小明与小华正在公交车上聊天。

小明说：“……”，小华说：“……二

小明说：“你知道吗？这个黑客终于被逮住了。”

坐在旁边的乘客一边听着他们的谈话，一边悄悄议论着，一人说“这黑客是个小偷吧？”

另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”

两位同学听后笑了，旁边两个人的概念不清楚，“黑客”其实是电脑中的专用术语。

通过上面的对话自然地引出课题：交流时必须对某些名称和术语有共同的语言认识才能

进行。

2.活动目的

通过分享生活中的人物或事物名称，让学生体会到人与人之间的交流必须建立在对某些

名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义，进而让学生体

会到在数学学习中下定义的重要性。

3.注意事项

引导学生从引入话题环节快速转接到第二环节，进入课堂正题。

【第二环节】活动探究

1.活动内容

解释“定义”

为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称

和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

例如：

“M有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”

的定义；

“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；

“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义；

“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。

你能列举出一此学过的定义吗？

尝试•思考

卜列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？

（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；

（2）对顶角相等；

（3）无论〃为怎样的自然数，式子/一〃+11的值都是质数；

（4）如果两条宜.线都和第三条更线平行，那么这两条直线也互相平行；

（5）你喜欢数学吗？

（6）作线段

归纳：判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面''尝试•思考”中的语句（1）（2）

（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。

如果-个句子没有对某•件事情作出任何判断，那么它就不是命。例如，上面“尝试•思

考”中的语句（5）（6）都不是命题。

思考-交流

观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结

构特征呢？与同伴进行交流。

（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；

（2）如果4=6,那么〃2=核；

（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。

一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由己知事项

推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部

分是条件，“那么”引出的部分是结论。

尝试-思考

指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果b#c,那么

（3）全等三角形的面积相等；

（4）三角形三个内角的和等于180。。

2.活动目的

（1）在活动1中，通过学生比较熟悉的名称术语，了解定义的含义。引导学生举出一

此定义的实例，让学生认识到定义在学习、生活中的广泛应用，深化对定义的了解。

（2）第一个“尝试•思考”环节，引导学生通过具体例了的辨析，归纳出命题的定义。

（3）“思考•交流”环节，通过观察、对比、分析等方式，总结出命题的结构特征。

（4）第二个“尝试•思考”环节再次复习命题的结构特征，通过实例让学生了解命题

有真假之分，并且让学生知道怎样去说明一个命题是假命题。

3.注意事项

（1）对活动I,先让学生I可顾数学中的概念，帮助学生下定义。在本环节要注意学生

所举的例子，避免出现没有给出明确定义的（如频数分布直方图）和无法给出严格定义（如

点、线、面等）的情况。

（2）在第一个“尝试•思考”环节，部分学生可能会出现只选择正确的判断句，而不

选错误的判断句的情况，教师要及时给予相应指导，让学生明确不管判断正确与否都是对事

情作出了判断。语句（5）是提问，没有给出判断；语句（6）是操作，也没有给出判断。如

果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它不是命题。

（3）在第二个“尝试•思考”环节，对于条件和结论不明显的命题，可以将这个命题

改写为“如果……，那么……”的形式，然后再写出条件和结论，为学生后面学习互逆命题

奠定基础。同时，对假命题的判断，•定要让学生充分表达自己的想法，在此基础上总结举

反例的方法，使学生对举反例的作用有较深入的了解。

【第三环节】巩固练习

1.活动内容

指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。

（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；

（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；

（3）如果匚^=土三，那么工=4：

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（4）两个锐角之和一定是钝角；

（5）如果『＞0,那么工＞0：

（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。

2.活动目的

本环节安排一道习题对本节课所学知识进行巩固练习，使学生进一步明白判断一个命题

是假命题，只要举一个“反例”就可以了。

3.注意事项

本环节要让学生自主阅读并作出判断。其中命题（6）的错误语言不好表达，可以引导

学生将文字语言转化为图形语言，利用图形直观说明两个三角形不全等。

【第四环节】课堂小结

1.活动内容

说说本节课你学到了什么？

（1）什么是定义？么是命题？

（2）如何寻找命题的条件和结论？

（3）如何判断一个命题是假命题？

2.活动目的

通过课堂小结，使学生对定义、命题等含义有更清楚的认识，并在头脑中对本节课所学

的知识进行系统的归纳和整理。

3.注意事项

教师要引导学生对本节课所学的知识进行回顾，并鼓励学生举例说明。

【第五环节】布置作业

1.活动内容

（1）基础性作业：习题7.2第2,6题。

（2）拓展性作'忆报小组搜集八年级数学教材中新学的部分定义、命撅。

五、教学反思

本节课学习的是推理论证的基础内容一一定义与命题，学生通过本节课的学习，为后续

证明的学习打下基础。本节课教学内容看似很简单，但要让学生真正理解命题的含义，理清

命题的结构并不容易。很多学生只是机械地将命题改写成“如果……，那么……”的形式,

但往往改写的语句不够通顺、完整。因此，在课堂教学及课后的作业中，进行适当的巩固练

习是很有必要的。在探讨命题的结构特征和改写命题形式时，有的学生可能会存在语言表达

不通顺、不准确的情况，教师应鼓励学生大胆发表自己的意见，关注学生思维过程的形成并

给予适当的引导，避免学生机械地模仿。

第七章证明

2认识证明（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”第三节第2课时，在第1

课时中，学生学习了定义、命题、命题的结构、命题的真假及判断假命题的常用方法，为本

课时学习证明奠定了基础。本课时将引导学生学习真命题的证明，感受公理化思想，明确证

明的出发点，并通过具体实例感受证明的过程及证明的书写格式。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生已经学习了几何的基础知识，形成了初步的空间观念和几何

直观；能够进行简单的几诃说理，有了初步的证明意识；了解了定义、命题等基本概念，并

能使用基本事实、定义、性质等解决一些简单的问题。

学生的活动经验基础：在前一节课中，学生了解了为什么要证明，感受到了证明的必要

性。在之前的学习中，也获得了简单几何说理和代数说理的经验，具备一定的几何推理能力。

同时，学生在长期的学习过程中，已初步具备了观察、分析、类比的学习能力，有了一定的

将文字语言转换为符号语言的能力，具备了一定的合作交流能力。

三、教学目标

1.初步感悟公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事实。

2.通过实例感受证明的过程与格式，能进行简单命题的推理。能将简单的文字语言转换

为符号语言和图形语言。

3.阅读有关欧几里得的《原本》和公理化资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类

文明进步的价值。

教学重点：感受公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事实，感受证明的过程与

格式。

教学难点：感受证明的过程与格式，能进行简单命题的推理。

四、教学过程

【第一环节】复习引入

1.活动内容

说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由。

（1）相等的角是对顶角；

（2）对顶角相等。

举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？

2.活动目的

通过学生比较熟悉的两个命题入手，回顾上节课所学的命题的概念，并引导学生分析两

个命题的条件和结论。在判断两个命题的真假后，请学生说明理由。此时，错误的命题可以

通过举反例来辨析，而正确的命题又该如何说明呢？通过几位同学的对话，引起学生的兴趣,

并感受数学的趣味性和严谨性。

3.注意事项

由于学生对这两个命题较为熟悉，因此能够准确地说出其条件和结论，并判断其真假。

对于假命题，学生可以比较容易地通过举一个反例来说明其不成立。然而，对于真命题，仅

靠举一个例子不足以证明其普遍成立。学生可能会通过观察、实验、验证等方法来证明。而

新的问题是，用来证明的依据，又该如何证明？从而引出下个环节的内容。

【第二环节】合作交流

1.活动内容

学生交流合作，讨论“对顶角相等”这个命题该如何证明。大部分学生会考虑到利用同

角的补角相等来证明。再次抛出问题“同角的补角相等"，又该如何证明？

在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明。

同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累

了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（约前330—前275）编写了一本

书，书名为《原本》。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑

选了•部分数学名词和•部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学

名词称为原名，公认的真命题称为公理.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理

的方法进行判断。

演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。每个定理都只能用公理、定义

和已经证明为真的命题来证明。

提问：在几何证明中，哪些内容可以作为证明的依据呢？

预设：定义、图形的性质、定理（已经证明的真命题）、数与式的运算律和运算法则、

反映大小关系的有关性质等都可以作为证明的依据。

本套教科书诜用九条基本事实作为讦明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：

（1）两点确定一条直线。

（2）两点之间线段最短。

（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：

同位角相等，两直线平行）

（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

（8）三边分别相等的两个三角形全等。

2.活动目的

引导学生经历“对顶角相等”的说理过程，体会如何由基本事实出发推导出其他定理。

通过这过程，学生能够感悟到引入基本事实的必要性，对公理化及数学的逻辑性有进步

的理解。此时再提出已学过的八条基本事实，加深学生的理解。

3.注意事项

教师可通过引导，使学生对“源头”产生好奇和兴趣，从而激发学生探究的积极性和学

习数学的兴趣。通过基本事实的呈现可以发现证明的依据较多，刚开始学生可能考虑得不完

整，需要教师进行引导或讲解。

【第二环节】新课讲授

1.活动内容

根据前面所认识的八条基本事实，我们可以证明下面的定理：

定理同角（或等角）的补角相等。

定理同角（或等角）的余角相等。

定理三角形的任意两边之和大于第三边。

例I证明：同角（或等角）的补角相等。

教师引导学生一起分析：该命题中的条件和结论分别是什么？已知的是什么？要求证的

是什么？如何利用已学知识证明该命题？

根据条件和结论，写出已知、求证及证明过程。

己知：ZA=ZB,ZC,分别是NA,N8的补角。

求证：ZC=ZDo

证明：VZC,ND分别是NA,的补角（已知）,

:.NA+NC=180°,ZB+ZD=180°（补角的定义）。

又•:NA=NB（已知），

・•・ZC=ZD（等量弋换）。

接下来，就可以用“同角（或等角）的补角相等“这个定理来证明“对顶角相等”。

例2证明：对顶角相等。

参考上述定理证明过程的格式和规范，请同学们讨论，该命题中的条件和结论是什么？

图形怎样画？我们该如何写出已知，求证呢？请参考上一例题并尝试证明。

己知：如图，宜线A8与直线C。相交于点O,NAOC与N8OQ是对顶角。

求证：ZAOC=ZBOD.

分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以判

定两个角相等？

证明：•・•直线A6与直线。。相交丁点O,

・•・N4O8和NC。。都是平角（平角的定义）。

:.NAOC和N3O。都是/AOQ的补角（补角的定义）。

・•・^AOC=ZBOD（同角的补角相等）。

小结：证明命题的一般步骤如下

（1）分析命题的条件和结论。

（2）画出图形，用符号语言写出已知、求证。

（3）利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。

2.活动目的

在讲解例题时，要注意如何将文字语言，即“同角（或等角）的补角相等”“对顶角相

等”转换为符号语言和图形语言，需要明确命题中的条件（已知）和结论（求证）。再引导

学生思考在基本事实和已证定理中哪些可以证明所需结论，最后带领学生完成命题的证明。

引导学生经历由基本事实证明“同角（或等角）的补角相等"，继而再证明“对顶角相

等”的过程。这样的递进式证明过程，可以让学生感受到公理化思想，体会数学的严谨性,

并认识证明的过程和格式。

3.注意事项

在之前的学习中，学生对证明已经有了•定的经验积累，所以推理的过程对于大部分学

生来说比较简单。难点在于如何将文字命题转换为图形语言和符号语言。因此，课堂教学应

着重引导学牛分析命题的条件和结论，并将其转换为符号语言。教师需要完整的板书示范，

使学生能够模仿并按要求写出证明的过程。例I建议由老师讲解，让学生对命题的证明过程

和格式有一个较为清晰的认识。例2建议教师带着学生一起讨论、研究，由师生共同完成。

两个例题完成之后，可以让学生用自己的语言总结证明（1勺一般步骤。

【第四环节】练习巩固

1.活动内容

请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.

己知：如图，△ABC的三条边分别为AB、AC.BC。/

求证：A8+AO8C；AB-\-BC>ACxAC^-BOAB.

证明：•・•BC是以点B、点C为端点的线段，/

・•・AB+AOBC（两点之间线段最短）。

同理，得AB+8OAC；AC+BOAB。

・•・三角形的任意两边之和大丁第三边。

2.活动目的

通过对命题的证明，进一步强化学生将文字语言转换为符号语言和图形语言的能力，学

生也可以参考例题进行模仿，以熟悉证明的过程和格式，进一步理解几何基本事实的意义，

感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，调动学生的积极性和学习兴趣，并培养学生的表

达能力。

3.注意事项

学生容易忽略用符号语言表达命题的条件和结论，建议在练习过程中，多让学生表达、

讨论，并上台板演或由学生自主讲题，学生之间可互相纠错、补充。教师在这个过程中应起

到引导和辅助的作用，同时需要注意学生的证明格式是否规范。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

（1）如何验证一个命题是真命题？

（2）在数学推理和证明中，可以作为推理依据的内容有哪些？

（3）八条基本事实有哪些？