2024人教版八年级数学上册《用公式法分解因式》每课时教学设计汇编（含三个教学设计）

17.2用公式法分解因式（第1课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学生学习了整式爽法公式的基础上，研究具有特殊形式的多项式分解因式的方法一一公式

法；学习运用平方差公式来分解因式。

2.内容分析

本节课是在学生已掌握整式乘法公式的基础上，逆向研究如何将符合序形式的多项式，转化为

份的整式乘枳形式，即运用平方差公式进行因式分解。它是因式分解方法的拓展，也为后续学习完

全平方公式等因式分解方法、分式化简等内容奠定基础，是代数运算体系中“逆向思维”应用的关键环节。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并运用平方差公式进行因式分解。

二、目标和目标解析

i.目标

（1）探索并运用平方差公式进行因式分解。

（2）体会逆向思维，转化思想和整体思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯。

2.目标解析

（1）学生需先回顾整式乘法中的平方差公式，理解其“从整式乘积到多项式”的正向运算逻辑，再逆

向推导“从多项式到整式乘积”的因式分解形式，明确与中a、b可代表单项式、多项式等

形式。通过实例练习，能准确识别多项式是否符合平方差公式的特征，并熟练运用公式将其分解为两个整

式的乘积，掌握公式法分解因式的基本操作流程。

（2）从乘法的平方差公式到因式分解的平方差公式，引导学生突破“正向运算惯性”，理解数学运算

的双向性，培养思维的灵活性。将陌生的因式分解问题，转化为已熟悉的平方差公式形式，把复杂问题简

单化，建立新旧知识的关联转化，提升问题转化与解决能力。用整体思想识别平方差结构，拓展对公式中

“字母”含义的理解。在探索公式应用、分析多项式特征、严谨推导分解过程中，锻炼代数推理能力；通

过规范书写分解步骤、细致检查符号等，培养运算素养和严谨的数学思维习惯。

三、教学问题诊断分析

1.对平方差公式的结构特征理解不深，忽略两项符号需相反、均为平方形式等条件。应对策略：通过对

比练习，分析是否满足“两项、异号、平方项”特征，结合整式乘法验证，加深对公式结构的精准识别。

2.当4、h为多项式时，难以用整体思想识别平方差结构，不知如何下手应对策略：先从简单的“整

体代换“例子入手，让学生理解整体思想的应用；再逐步过渡到直接分析多项式，引导学生观察式子是否具

备“两个整体的平方差”形式，多进行此类变式练习，强化整体思想的运用，突破思维障碍。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解。

四、教学过程设计

（一）复习引入

原题重现计算红色区域的面积:

左图：右图：(a+b)(a-b)

因为两个图中红色区域的面积相等，所以a2~b2=（a+b）（a-b）.

设计意图：借助几何图形面积计算，唤醒学生对整式乘法中图形面积计算的知识储备，鼠直观的方式

呈现因式分解的平方差公式/_/=（4+〃）3_/力将代数公式与几何意义关联，降低公式的理解难度。

（二）合作探究

2=（0+力）（〃一力）.

追问1这个等式的左边有什么特点?

答这个等式的左边是两个数的平方差的形式.

追问2这个等式的右边有什么特点？

答这个等式的右边是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.

追问3你能用文字语言描述这个规律吗？

答两个数（式子）的平方差，等于这两个数（式子）的和与这两个数（式子）的差的积.

归纳（因式分解的）平方差公式

符号语言a2-b2=(a+b)(a-b).

文字语言两个数（式子）的平方差，等于这两个数（式子）的和与这两个数（式子）的差的积.

设计意图：引导学生从式子左右两边的形式特点，逐步抽象出平方差公式的本质规律，并用文字语言

精准描述，帮助学生深度理解公式结构，为后续运用公式分解因式筑牢认知基础，同时培养学生观察、分

析、归纳的数学思维能力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(1)4^-9；(2)cr-25b2.

解⑴原式=(2x)2—32=(2x+3)(»3)；

⑵原式二4-(5。)2=(。+5。)("-5b).

例2分解因式：

(1)x2-/；(2)(x+p)2—(x+4.

解⑴原式才一^广^+产乂仁河.

(2)原式二[(x+p)+(x+g)(x+p)_(x+g)]=(2t+p+g)(p_q).

温馨提示1.看成整体的部分需要添括号；

2.大括号时要注意是否需要变号.

设计意图：通过例1让学生初步熟悉平方差公式的应用；例2则进阶到含多项式，需运用整体思想的

情况，拓宽公式的应用场景。强调添括号、去括号等细节，帮助学生规范解题步骤，逐步提升运用平方差

公式分解因式的熟练度与灵活度。

(四)巩固练习

1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？

(1)f+y2：不能.

⑵x2-/；能，原式二(x+)，)(x-y).

(3)-f+y2:能，原式下一小二任+或下).

(4)-A2-/.不能.

2.因式分解：a2-4(a+b)2=(D)

A.(3a+2b)(a-2b)B.(5a+4b)(-3a-4b)

C.~(5a+4b)(3a+4b)D.-(3a+2b)(a+2b)

3.已知〃?+〃=4,W2-/?2=-8»则〃卜〃的值为(B)

A.-4B.-2C.2D.4

4.分解因式：

⑶/一%.

(1)36-m2；(2)49/r-l；

(4)81«2-16Z?4；(5)4b2-(b।c)2；(6)(fn-2n)2-(m-2n)2.

解(1)原式=62-〃户=(6+"?)(6-〃?).

(2)原式=(7〃)2-12=(7〃+1)(7〃-1).

111

(3)原式="一(一份2=(〃+一＞)3—b).

555

(4)原式=(9。尸一(4/)2=(9。+4/)(9。-4序).

(5)原式=(2力2_(}+(.)242b+S+c)][2b_S+c)]=(30+c)S_@.

(6)原式=[Q〃+2〃)+(〃L2〃)]|。〃+2〃)一(〃7-2〃)]=2〃八4〃二8，〃〃.

5.计算下列各题：

(1)1012-992：(2)53.5*12X3454-46.52X4.

解(1)原式=(101+99)(101-99)=200x2=400；

⑵原式=4(53.52-46.52)=4(53.5+46.5)(53.5—465)=4x100x7=2800.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情近，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（五）归纳总结

因式分解一平方差公式法

符号语言a2-b2=(a-b)(a-b),

两个数（式子）的平方差，等于这两个数（式子）的电与这

文字语言

两个数（式于）的差的积.

1.看成整体的部分需要添括号；

注意事项

2.去括号时要注意是否需要空生.

（六）感受中考

1.（2023•浙江杭州）分解因式：4a2/=（A）

A.（2。-1）（2。+1）B.（a-2）Q+2）C.（a-4）（a+l）D.（4«-1）（«+1）

2.（2025•山西）因式分解：机L16=.

3.（2025,江苏扬州）分解因式：%4=（4+2）（a-2）.

4.（2025•江苏连云港）分解因式：本-9=（x-3Mx+3）.

5.（2023•河北）若k为任意整数，则（24+3六必2的值总能（B）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

解：（2什3六4必

=(2A+3+2A)(2A+3-2A)

=3(4左+3),

•••3(4什3)能被3整除，

・・・(2什3六4户的值总能被3整除，

6.(2025•四川内江)已知实数m匕满足a+b=2,则二从+《二4.

解：*.*a+b=2,

22

:.a-b+4b=(a+b')(a-b')+4b=2(a-b)+4b=2(<a+b')=4

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，

检脸学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。

(七)小结梳理

相反变形

整式的乘法因式分解

具体仔法

特殊影式

提公因式法

▼

平方差公式相反变力》平方差公式法

(a+b)(a-b)=a2-b2a2-h2=(a+h)(a-h)

设计意图：借助思维导图，清晰呈现整式乘法与因式分解的互逆关系，以及平方差公式在两者间的反

向变形联系。梳理提公因式法、平方差公式法等因式分解方法，帮助学生构建系统的知识框架，理解知识

间的逻辑关联，强化对网式分解与整式乘法体系的整体认知。

(八)布置作业

L必做题:习题17.2第1,4(2)®.

2.探究性作业：习题17.2第7题.

五、教学反思

17.2用公式法分解因式(第2课时)

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学生学习了因式分解的平方差公式的基础上，研究第二个公式一一完全平方公式，学习运

用完全平方公式来分解形式为完全平方式的多项式。

2.内容分析

本节课的核心是引导学生从整式乘法的完全平方公式逆向思考，将完全平方式分解为整式乘积的形式。

这既是对因式分解方法的补充与完善，也深化了“整式乘法与因式分解互逆”的逻辑关系，为后续更复杂

的代数式变形、分式运算等内容提供重要工具，是代数运算体系中逆向思维应用的延续与拓展。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并运用完全平方公式进行因式分解。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解。

（2）体会逆向思维与转化思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯。

2.目标解析

（1）学生需明确完全平方式的特征——由三项组成，其中两项为平方项（符号相同），第三项为这两

项底数乘积的2倍（符号可正可负）；同时理解完全平方公式因式分解的形式：排_L2c7"〃2=（aM）2,理解，，完

全平方式''与"完全平方公式''的联系与区别。通过实例练习，能准确识别多项式是否为完全平方式，熟练运

用完全平方公式将其分解为整式平方的形式。

（2）从整式乘法中“和（差）的平方展开为完全平方式”到因式分解中“完全平方式还原为和（差）

的平方”，进一步强化对数学运算双向性的理解，感受逆向思维和转化思想。在分析多项式是否为完全平

方式、推导分解的过程中，锻炼代数推理能力；通过规范书写步骤、检查符号与系数的准确性，提升运算

素养，培养严谨细致的数学思维习惯。

三、教学问题诊断分析

学生可能存在的问题：对完全平方式的结构特征把握不清，易忽略，'两项为平方项且符号相同”“第三项

为两底数乘积的2倍”等关键条件；分解时易混淆符号（如。2—4"+4从错解为3+2〃）2）。应对策略：通过对

比练习强化结构辨析，总结“找平方项―验中间项一定符号”的判断流程，结合整式乘法验证分解结果的正确

性，通过错题展示引导学生反思，总结解题技巧。

基「以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用完全平方公式对■多项式进行因式分解。

四、教学过程设计

（一）复习引入

原题重现用两种方法表示图中图形的面枳：

第一种算法：『+2"+瓜，第二种算法：3+加2,所以4+2加庐=3+4.

第一种算法：a2-2ab+b2,第二种算法：（〃-匕尸,所以a2-2ab+b2=(a-b)2.

设计意图：借助几何图形面积计算，唤醒学生对整式乘法6图形面积计算的知识储备，以直观的方式

呈现因式分解的完全平方公式。2±2曲+/=3±切2,将代数公式与几何意义关联，降低公式的理解难度。

（二）合作探究

a2±2ab+b2=(a±b)2.

追问1这个等式的左边有什么特点？

答等式的左边是两项的平方和（/+〃）加上（或减去）两项乘积的二倍（2岫）.

追问2这个等式的右边有什么特点？

答等式的右边是形如3土〃尸的多项式相乘.

追问3你能用文字语言描述这个规律吗？

答两个数（式子）的平方和加上（或减去）这两个数（式子）的积的2倍，等于这两个数（式子）的和（或差）的

平方.

归纳（因式分解的）完全平方公式

符号语言a2+2ab+b2=（a+b）2,a2~2ab+b2=（a-b）2.

文字语言两个数（式子）的平方和加上（或减去）这两个数（式子）的积的2倍,等于这两个数（式子）的和（或

差）的平方.

概念完全平方式

我们把。2+2帅+尻和。2_2出计/这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式

的多项式分解因式.

设计意图：引导学生从式子左右两边的形式特点，逐步抽象出完全平方公式的本质规律，并用文字语

言精准描述，帮助学生深度理解公式结构，为后续运用公式分解因式筑牢认知基础，同时培养学生观察、

分析、归纳的数学思维能力。

(三)典例分析

例3分解因式：

(I)f+4x+4；(2)16A2-24X+9.

解(1)原式=/+2土2+22=。+2)2；

(2)原式=(4八)2-24口3+32=(4—3)2.

例4分解因式：

(1)(a+b)2-12(A+Z>)+36；(2)-r+4jr>^-4y.

解⑴原式=(a+份2—2-(a+6)-6+62=(a+〃—6)2.

温馨提示公式中的。和〃可以是数字，也可以是单项式或多项式.

解(2)原式=一。2—4毛)，+4〉2户一[1一2立-2)，+(2)，)2]=一(厂2)，)2.

温馨提示添括号时要注意是否需要变号.

概念把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把

多项式分解因式的方法叫作公式法.

设计意图：通过例3让学生初步熟悉完全平方公式的应用；例4则进阶到含多项式，需运用整体思想

或提取负号的情况，拓宽公式的应用场景。强调添括号的细节，期助学生规范解题步骤，逐步提升运用完

全平方公式分解因式的熟练度与灵活度。

(四)巩固练习

1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？

(1)(r-4a+4；是，原式=3-2)2.

(2)1+4a2；不是，修改：1+4«+46?.

(3)4b2+4b-1；不是，修改:4/72+4/?+1.

(4)序+而+/不是，修改：a2+2ab+b2.

2.如果f-6x+N是一个完全平方式，那么可是(B)

A.11B.9C.-11D.-9

3.如果田+16是一个完全平方式，那么机的值为_±8.

4.分解因式：

(1)a2+2a+1；(2)f-12M+36；(3)4X2-4X+1:

(4)4p2+12pq+9q2；(5)(x+y)2-10a+)，)+25；(6)-2x)id-y2.

解（1）原式="2+2.4.1+12=(a+1)2.

(2)原式=『-2N6+62=(X-6)2.

(3)原式=(2%)2-2办,1+l2=(2r-1)2.

(4)原式=(2〃)2+2・(2〃)-3g+(3q)2=(2〃+3(7)2.

(5)原式=。+），）2-2・。+），）5+52=（工+厂5）2.

(6)原式=一俨+办尹V）=-（1+），）2.

5.利用完全平方公式计算:

(1)1002-2X100X99+992；(2)342+34X32+162.

解(1)原式=(100-99)2=1；

(2)原式=342+2x34/16+162=(34I16)2=2500.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（七）归纳总结

因式分解一完全平方公式法

符号

a2±2ah+b2=(a±h)2.

语言

文字两个数（式子）的平方和加上（或减去）这两个数（式子）的积的2倍,

语言等于这两个数（式子）的和（或差）的平方.

完全我们把m+2ab+b?和〃2-2，必+髭这样的式子叫作完全平方式,

平方式利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.

（A）感受中考

1.（2022•湖南永州）下列因式分解正确的是（B）

A.ax+ay=a(x+y)+1B.3。+3b=3(〃+〃)

C.〃2+44+4=(〃+4)2D.a2+b=a(a+b')

2.（2024•江苏常州）分解因式：x2-4.ry+4y2=_(x-2y)2_.

3.（2025・甘肃兰州）因式分解：2f+4x+2=—2(X+1)2_.

4.（2025•四川成都）多项式4『+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式

可以是_4x_（填一个即可）.

5.（2024•山东淄博）若多项式叙2力盯+9产能用完全平方公式因式分解，则，〃的值是一±12_.

6.（2024•山东威海）因式分解：（x+2）（x+4）+l=—（x+3）2—.

解：（x+2）（x+4）+1=V2+4X+ZV+8+1=X24-6X+9=（X+3）2.

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型,

检脸学习成果，提升应考能力，迂可以提升学生的学习兴趣和动力。

（七）小结梳理

整式的乘法囚式分解

具体方法

特闻形式1

提公因式法

一乘法公式一斗相反变形，;一公式法I

（a+b）（a-b）=a2f2a2-h2=（a+b）（a-h）

（"土〃）2=〃2±2ah+h1a1±2〃人+〃2=（〃±〃）2

设计意图：借助思维导图，清晰呈现整式乘法与因式分解的互逆关系，以及平方差公式和完全平方公

式在两者间的反向变形联系。梳理提公因式法、公式法等因式分解方法，帮助学生构建系统的知识框架，

理解知识间的逻辑关联，强化对因式分解与整式乘法体系的整体认知。

（八）布置作业

1.必做题：习题17.2第2,4（1）题.

2.探究性作业：习题17.2第8题.

五、教学反思

17.2用公式法分解因式（第3课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是因式分解的深入学习，主要涵盖多次分解（包括综合运用提公因式法与公式法、多次运用公

式法）、分组因式分解以及借助整式乘法化简后再进行的因式分解，旨在帮助学生掌握更复杂的因式分解

技巧，提升对不同多项式结构的处理能力。

2.内容分析

多次分解体现了因式分解方法的综合与递进，需根据多项式特点分步选择提公因式法或公式法，直至

每一个因式无法再分解：分组因式分解通过合理拆分组合多项式，将复杂整体转化为可分别分解的部分；

借助整式乘法化简后再分解则是通过先展开、合并同类项等操作，将非标准形式的多项式转化为便于运用

已有方法分解的形式，三类内容均是对基础因式分解方法的灵活延伸与深化。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项

式进行因式分解。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项式进行因式分解。

（2）在因式分解的过程中，体会转化思想和整体思想，提升数学运算素养和逻辑推理素养。

2.目标解析

（1）学生能回忆起提公因式法和公式法的基本操作，能在复杂多项式中判断何时综合运用提公因式法

与公式法、何时多次运用公式法，对分解方法的适用场景有清晰认知，确保分解过程规范、结果彻底，形

成对因式分解完整知识体系的掌握。

（2）学生在分解因式的过程中主动运用转化、整体等数学思想（如将多项式的某一部分视为整体代入

公式），同时:通过反复练习提升运算的准确性和逻辑性，培养从多项式结构中提炼分解思路的推理能力，

实现知识与素养的协同发展。

三、教学问题诊断分析

学生可能出现的问题：多次分解时步骤混乱或分解不彻底；分组因式分解时不知如何合理拆分组合多

项式；借助整式乘法化简时出现符号错误或漏项。应对策略：通过对比错误与正确的分解结果，强化“分解

到每•个因式不能再分解”的意识；引导学生观察多项式中可组成公式的部分，掌握分组拆分组合的技巧；

结合典型错误案例进行针对性练习，减少整式乘法化简的失误；通过归类练习，总结不同结构多项式对应

的优先分解方法，帮助学生形成清晰的解题思路。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：灵活运用提公因式法和公式法分解复杂多项式。

四、教学过程设计

（一）复习引入

问题我们学习了哪些分解因式的方法？

答1.提公因式法.

2.公式法：平方差公式和完全平方公式.

对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.

(二)合作探究

探究1分解因式：

(1)X4-/:(2)c^b-ab.

解⑴原式二(广门」(/丘译川皈乙丁尸译+尸乂什丫乂广),).

(连续使用两次平方差公式)

(2)原式=〃〃(，-1)=〃6。+l)(o-l).

(先提取公因式，再使用平方差公式)

温馨提示1.一般情况下，有公因式要先提取公因式.

2.分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

探究2分解因式：

(1)3加+6"＞叶3。)2；(2)-cur+lcrx-a^.

解(1)原式=3.(『十与七四=3«什)，)2.

(先提取公因式，再使川完全平方公式)

(2)原式=-aa2-2or+o2)=-a(x-a)2.

(先提取公因式，再使用完全平方公式)

设计意图：因式分解过程中，从观察多项式特征(是否有公因式、符合哪种公式形式)，到选择对应

方法(提公因式法、平方差公式法或完全平方公式法)，再到逐步分解脸证是否彻底，能锻炼学生的逻辑

推理和问题解决能力，帮助学生学会有序分析、分步处理数学问题。

(三)典例分析

例1分解困式：

(1)小y4)，；(2)/—2/+。；(3)加+2。%+〃3.

(4)~a4+16；(5)3。-6a\+3加；(6)-Ab^+Sbxy-Aby^.

解(1)原式=)，(.F-4)=y(x+2)(.r-2).

(2)原式=〃(/-2〃+1)=a(a-1)2.

(3)原式=a(x2+2or+a2)=a(x+a)2.

(4)JMit=42-(t/2)2=(4+fl2)(4-rr)=(4+d2)(2+«)(2-d).

(5)原式=3a(1-2%+x2)=3a(x-i)2.

⑹原式=-4"/-2。+9)=-4伙尸)，)2.

例2分解因式：

(1)(a-b)2+4ab；(2)(p-4)(p+l)+3p.

解(1)原A=(a2-2ab+b2)+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2.

(先借助乘法公式化简，再分解因式)

(2)原式=(/+〃-4〃-4)+3〃=〃2-4=(〃+2)(〃-2).

设计意图：题目涵盖多种分解类型，能让学生熟练掌握并综合运用各种因式分解的基础方法，让学生

学会灵活识别、处理不同形式的多项式，提升应对复杂问题时的分析、转化能力，让学生学会拆解难题，

逐步解决。

(四)巩固练习

1.把多项式分解因式的结果是(B)

A.4x)g)，)-FB.-x(x-2y)2

C.耳4;(厂4产小)D.r(_4xy+4)2+；t2)

2.因式分解：

(1)-3盾+24a2厂484；(2)(a2+4)2-l6『.

解⑴原式二7八/及广处)=-3/(厂4)2；

(2)原式=(4+4)2—(4〃)2=(fl2+4+4d)(tz2+4-46/)=(a+2)2(t/-2)2.

3.下列因式分解结果正确的是(D)

A.-4/«3+12W2=-W2(4/H-12)B..¥4-1=(^2+1)(^-1)

C.f+z什4=("2>D.(a2+b2f-4a2b2=(a+b)2(a-b)2

4.因式分解

(1)a2-b2-c2-2bc;⑵4/-女-炉-/

解：26c

=i72-(/?2+2Z>c+c2)

=〃2-(b+c)2

=(a+b+c)(a-b-c),

(2)4f-2x-炉-y

=(4x2-y2)-(2x+y)

=(2x-y)(2x+y)-(2x+y)

=(2x+y)(2v-y-l).

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情近，部助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

(九)归纳总结

因式分解

1.对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法,

有时还需受综合运用提公因式法和公式法.

多次分解

2.分解较复杂的多项式时可能需要先借助整式乘法化简或将

多项式的各项进行分组，再分解因式.

1.一般情况下，有公因式要先提取公因式.