2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷【湖北专用测试范围：人教版八年级上册第十三-十五章】（全解全析）

八年级数学上学期期中模拟卷（湖北专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题尸上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版八上第十三•十五章。

5.难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.5、5、11B.7、8、15C.12、20、13D.13、5、7

【答案】C

【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.根据三角形

三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

【详解】解：A.V5+5<11,/.5,5,11不能组成三角形，故A错误；

B.v7+8=15,.-.7,8,15不能组成三角形，故B错误；

C.V13+12>2O,-.12,20,13能组成三角形，故C正确：

D.•.•5+7<13,.73,5,7不能组成三角形，故D错误.

故选：C.

2.下列图标是轴对称图形的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：”将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重

合的图形是轴对称图形''是解题的关键.

根据轴对称图形的定义分析求解即可.

【详解】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；

B、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意：

C、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意：

D、符合轴对称图形定义，故此项符合题意；

故选:D.

3.根据下列条件，不能画出唯一确定的△力8c的是（）

A.AB=4,BC=5,AC=6B.Z.A=65°,AB=8,Z5=40°

C.AB=4,BC=3,ZA=45°D.ZC=90°,力8=8,BC=4

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的几种判定定理是解题关键，根据选项中所给

的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可.

【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理SSS,能画出唯一的△/8C,故该选项不符合题意；

B、符合全等三角形的判定定理4S4,能画出唯一的△48C,故该选项不符合题意；

C、不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△力8C,故该选项符合题意；

D、符合全等三角形的判定定理HL,能画出唯一的△48C,故该选项不符合题意；

故选：C.

4.如图，直线等边△/灰?的顶点C在直线力上，若/1=32。，则N2的度数为（）

A.92°B.128°C.98°D.142°

【答案】A

【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外先定理，准确识图，熟练掌握平

行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键.设直线“与月5交丁点。，与/1C

交于点E,先由对顶角的性质得NNOE=N1=32。，再由等边三角形的性质得/月=60。，然后由三角形的外

角定理可求出//b=92°,最后再根据直线。〃b可得/2的度数.

【详解】解：设直线。与48交于点O,与月C交于点£如图所示：

.•.4OE=N1=32°,

为等边三角形，

/.N力=60°,

£AEF为bADE的一个外角，

NAEF=NADE+ZJ=32。+60°=92°,

•・•直线a“b

N2=/AEF=92°.

故选：A.

5.如图，△ABgADEC,若/BCE=650,ZDCE=80°,则/力CE的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.根据全等三角形

的性质得到AB=ADCE=65。，再根据角的和差即可求出/ACE的度数.

【详解】解：

/.乙4cB=NDCE=80°,

•：/BCE=65。，

，^ACE=乙4cB-4BCE=80°-65°=15°.

故选：A.

6.如图，在△/BC中，NC=90。，以4为圆心，任意长为半径画弧，分别交/C,AB于点、M,N,再分

别以M,N为圆心，大于;MV长为半径画弧，两弧交于点0,作射线40,交BC于点、E.已知CE=2,

AB=6,则△/E8的面积为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线：根据角平分线的尺规作图可得4E平分NC49.作

ET1AB,再根据角平分线的性质可得ET=EC=2,再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：过点E作如图所示：

由题意可知：力£平分NC45,

vEC1AC,ETLAB,

.-.ET=EC=2,

••.S“M=；48E7=；X6X2=6,

故选：A.

7.如图，△RBC与△彳"。'关于直线/对称，连接力卬交对称轴/于点若乙1=50。，NC'=30。，则下列

说法不正确的是（）

CIc

A.△Z8C与的周长相等

B.AM=A'M]A.AAf1.1

C.Z5=100°

D.连接88',CC,则44,BBLCC'三条线段不仅平行而且相等

【答案】D

【分析】本题考查图形的对称，熟练掌握对称图形的性质是解题的关键.

由△48C与关于直线/对称，三角形48c与三角形H2TC'的周长相等，AM=A'MW.AA'Ll,再利

用三角形内角和定理可求得N8的度数，从而可判断并得到答案.

【详解】解：•.•18C与△48'。'关于直线/对称，

二.三角形力8c与三角形48'。'的周长相等，NC=/C'=30。，=且44'_L/,

故A、B正确；

•••4=50。，ZC=30°,

N8=180。-—NC=100°,

故C正确；

v，BC与4HC关于直线/对称，

:.AA〃BB，〃CC,但和'工仍'工。。'，

故D错误，

故选：D.

8.如图，点C在线段8。上，4BLBD于点B,EDJ.BD于点、。,/4CE=90。，且4c=7cm,

CE=8cm,点尸从点力开始以2cm/s速度沿力C向终点C运动，同时点。以3cm/s的速度从点£开始，在

线段包上往返运动（即沿EfCfE运动），当点尸到达终点时，P、。同时停止运动.过P、。分别作

的垂线，垂足分别为M、N.设运动的时间为，s,当以P、C、A/三点为顶点的三角形与△。四全等时，/

的值为（）s.

A

A.1B.1或3C.2或4D.1或4

【答案】B

【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键.分两种情况：①点P在"C上，

点。在CE上时；②点Q在4。上，点。第一次从点。返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即

可求解.

【详解】解：①当点尸在彳。上，点。在CE上时，

•.•以P,C,M为顶点的三角形与△OCN全等，

・•・7-2'=8-3",

②当点P在4c上，点。第一次从点。返回时，

•.•以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等，

:.PC=CQ,

7-2z=3/-8,

：.t=3,

综上所述：,的值为1或3.

故选B.

9.如图，在△ABC中，ZBJC=90°,AB=3,AC=4,8C=5,,4。是高，AE是中线，。厂是角平分线，CF

交/。于点G,交力。于点”，给出以下结论：①S△诋=S诏£；@^AFG=ZAGFi③NFAG=2/ACF；

©/ID=2.4,以上说法正确（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线、三角形的面积公式等知识点，根据三角形角平分线和

高的性质可确定角之间的数量关系是解题的关键.

根据三角形的中线的性质即可判断①；根据直角三角形的性质可得

/力产G+N/CG=90。,NQGC+NQCG=90。，再根据角平分线的定义可得4CG=/OCG,再运用等量代

换即可判断②；先说明=再结合角平分线的定义即可判断③；直接运用三角形的面积公式可

计算即可解答.

【详解】解：WE是A45C中线,

/.AE=EC,

•••△.48E的面积等于ABCE的面积，即①正确；

vABAC=90°,力。是△ZBC高，

ZAFG+ZACG=90°,ZDGC+ZDCG=90°,

••・C尸是。角平分线，

:.乙4CG-4DCG,

NAFG=NDGC,

又:.NDGC=NAGF,

：ZFG=/AGF,故②正确；

ZFAG+ADAC=NDAC+NACD=90°,

：.Z.FAG=ZACD,

AACD=N4C/'+4BCF=2NXC/,

;.AFAG=2NACF,故③正确；

vS4/.inocr——2AB-AC2=—BC,AD,

.•.；x3x4=/x54。，解得：力0=2.4.故④正确.

综上，正确的有4个.

故选:D.

10.如图，△力AC为等边三角形，△力。石为等腰三角形，其中NN£D=120。，AE=DE,且8,C,。在

同一直线上.连接和CE.则以下结论中正确的个数为（）

①/8Z£+NCQE=180。；②8七为/48C的平分线；③AE=CE；（4）ZECZ）=60°.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角立分线的判定,

线段垂直平分线的判定和性质.熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键.根据四边形内角和

等于360。可判断结论①正确；过£点作历/的延长线于尸点，作召G_L6£＞于G点，根据AAS证明

AEE4且EGQ,则可得E"=EG,根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可

得BE垂直平分力C,根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得乙4。8=60。，乙〃;£工60。可得

结论④不正确.

【详解】解：「△ABC为等边三角形,

.\ZJ5C=60°,

•ZE。=120。，

/月〃C+N/EO=180。，

•••四边形48OE中，AABC+ZAED+ZBAE+ACDE=360°,

ZBAE+ACDE=360°-180°=180。.

故结论①正确；

如图，过£点作的延长线于尸点，作EG_L8。于G点.

F

则Z.EFA=4EGD=90°,

•：ZBAE+Z.FAE=180°,NBAE+Z.CDE=180°,

/.ZFAE=ZCDE,

又,:EA=ED,

.•.△EFAgEGD(AAS),

EF=EG,

.•.8E为/月8。的平分线.

故结论②正确；

•••BA=BC,BE平分/4BC,

二4E垂直平分力C,

E4=EC.

故结论③正确；

•/ZACB+ZACE+ZECD=180°,

而2ACB=60°,NACE=60°,

ZECD*60°.

故结论④不正确；

综上，正确的结论有3个.

故选：C.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.如图，8c为四边形/也。。的对角线，ZJ=ZD,添加一个条件使△/ACg△04。，则你添加的条件

为______________.

【答案】NABC=NDBC（答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案.解题的关键是掌握全等

三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（此方法仅用于直角三角形全等的判定）.

【详解】解：若添加：NABC=NDBC,

在△48C和△08。中，

4=ND

•N4BC=Z.DBC,

BC=BC

.•.△N8gAQ8C(AAS)；

若添加：NACB=NDCB,

在△ABC和△。台。中，

Z=ND

乙4cB=ZDCB,

BC=BC

48g△力8c(AAS)：

，添加一个条件使，贝IJ添力口的条件可以为N/4C=N。8c或乙4CB=/。。.

故答案为：4BC=/DBC(答案不唯一).

12.如图，已知在△Z8C中，4=54。，N4?。的外角平分线和/4C8的外角平分线交于点。.则

ZP=.

【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

先由三角形的内角和算出/ABC+/ACB,再根据外角平分线即可求解.

【详解】解：/=54。，

.•.48。+/4。8=180。-54。=126。，

ZDBC+Z.BCE=(I80°-N48C)+(180°-N/C8)=360°-(NABC+乙4CB)=360°-126°=234°,

♦:PB平分ZDBC,PC平分ZBCE,

NPBC+NPCB=-NDBC+-NBCE=-x234°=117°,

222

AZP=180O-117O=63°

故答案为：63°.

13.如图，/ZO8内有一点P,点分别是点P关于的对称点，P£交。4于点M,交OB于点

N.若的周长是5cm,则的长为.

【分析】本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条直线对称，那么这两个图形的对应点的连线

被这条直线垂直平分是解题的关键.先根据轴对称的性质得出NP=NP：,再由APAW的周长是

5cm,即可求出［鸟的长.

【详解】解：•••点几E分别是点P关于。4。8的对称点，48交。4于点交。夕于点M

：.MP=MP\,NP=NP2,

•••4P/WV的周长是5cm,

MP+MN+NP-5cm,

二RP2=MR+MN+NP==MP+MN+NP=5cm,

故答案为：5cm.

14.如图，△/出C中，AC=BC,ZC=90°,8。为/川5c的平分线.若点4到直线8。的距离力。为逐，

贝uBE长为.

【答案】2石

【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质.

延长力0、BC交于点F,利用角平分线的定义和全等三角形证明△N8Z注2*7辽），得出力户的长度，再通过

角度关系证明△AC产从而得到4后=力少.

【详解】解：延长力。、BC交于点尸,

AD±BD,NACB=90°,

NABD=/FBD,Z.ADB=NFDB=90°,

BD=BD,

.,.△44。%/BQ(ASA),

/.AD—FD=y[5,AF=AD+FD=2\f5.

•••△月灰?是等腰直角三角形，4ACB=90。,

NBEC+NCBE=90。,

又,NF+NCBE=90°,

NF=/BEC,

又•.N/C8=N4C/7=90。，AC=BC,

.•.△^CF^A5CE（ASA）,

BE=AF=2>/5.

故答案为：2本.

15.如图，在△4BC中，乙4=30"将一块足够大的直角三角尺PUN（ZM=90°,NA/PN=30。）按如图

放置，顶点P在边力。上滑动，三角尺的直角边尸M始终经过点8,斜边PN交48于点力，当点P在滑动

中满足力。=力。时，且8c为等腰三角形，则/C的度数为.

【答案】30。或75。或52.5。

【分析】本题考查了等边对等角以及三角形内角和定理的应用，由题意推出/在。=180。-75。-30。=75。：

分类讨论当3P=8C时，当8C=PC时，当PC=P4时，即可求解；

【详解】解:・Z30。,AP=AD,

ZAPD=AADP=1x(180°-30°)=75°,

•••AMPN=30°,

Z.BPC=180°-75°-30°=75°,

当8P=8。时，

AZC=Z^PC=75°；

当BC=尸C时,

:.Z.CBP=Z.CPB=75°,

ZC=180°-75°-75°=30°；

当PC=P4时，

.-.ZC=ZCBP=1x(180°-75°)=52.5°,

综上所述：NC的度数为30。或75。或52.5。；

故答案为:30。或75。或52.5。.

三、解答题(第16、17、18题，每题6分；第19、20、21题，每题8分；第22题10分；第23题

11分；第24题12分；共9小题，共75分)

16.已知b,C是的三边长，a=4,b=6.

(1)求。的取值范围；

(2)若。是小于8的偶数，试判断△/3。的形状.

【答案】⑴2<cvl0

(2)AZ"C是等腰三角形

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出。的取值范围是解题关键.

(1)利用三角形三边关系进而得出。的取值范围，进而得出答案；

(2)利用等腰三角形的判定方法得出即可.

【详解】(1)解：因为。=4,6=6,

所以2<c<10.

故C的取值范围2<c<10.

(2)解.：因为c是小于8的偶数,

所以c=4或c=6.

当c=4时，a=c=4,△/小。是等腰三角形；

当c=6时，b=c=6,△川5。是等腰三角形；

综上,ZUBC是等腰二角形.

17.如图，△Z8C中，AD1BC,E/垂直平分力C,交4c于点尸,交BC于点、E,且BD=DE,连接

AE.

(I)求证：AB=EC；

(2)若△48C的周长为20cm,AC=9cm,求QC长.

【答案】(1)见解析

⑵5.5cm

【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

是解题的关键.

(1)根据线段垂直平分线的性质得到%E=EC,AB=AE,等量代换证明结论；

(2)根据三角形的周长公式得到j5+3C+/C=2(),根据=BD=DE计算,得到答案.

【详解】(1)证明：YEb垂直平分力C,

AE=EC,

vADA.BC,BD=DE,

.・“力垂直平分8E,

•••AB-AE,

AB=EC:

(2)解：，・“5C的周长为20cm,

/.AB+BC+AC=20,

vAC=9cm,

/.AB+BC=11cm，

-AB=EC,BD=DE,

DC=DE+EC=-BE+-EC+-EC

222

=-BC+-AB

22

=^(AB+BC)

=5.5cm.

(1)求证：4D平分NB4C；

(2)如图2,当油纸伞撑开时，伞的边缘8,C与点。在同一直线上，若140。，/4。=120。，求NFD4

的度数.

【答案】(1)见解析

(2)50°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

(1)证明"EO且U/TYSSS),则/小，即可证明；

(2)先由三角形的外角性质求出/“。七，再由全等三角形的对应角相等求解即可.

【详解】(1)证明：•・•力后二/产,。£1二。尸,力。=力。，

丝△力/Q(SSS),

：.乙日2=NFAD、

(2)解：•••/历10=140。，4D平分NB4C,

：.NEAD=L/BAC=7Q°,

2

•••4ED=/EAD+ZADE,/BED=120°,

/ADE=/BED-Z.EAD=1200-70c=50c,

v"ED注WD,

:.Z.FDA=NADE=50°.

19.在△川9c中，4。是角平分线.

（1）如图1,过点。作B4C于点立若N8=35。，ZC=75°,求N4）/的度数.

（2）如图2,在力。上取一点2（不与儿。两点重合），过点、E作EFJ.AC于点F,写出N4,ZC,NAEF

之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）55。；

（2"B+NC=2NAEF,理由见解析.

【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理.

（1）根据三角形内角和定理求出N8.4C=70。，根据角平分线的定义得到/。。=35。，根据三角形内角和定

理计算即可；

（2）根据垂直的定义和三角形内角和定理得到/。。=90。-根据角平分线的定义得到

ZBAC-i800-2Z.4EF,进而根据三角形内角和定理即可得到,NC,尸之间的数量关系.

【详解】（1）•••N8=35。，ZC=75°,

Z.BAC=180°-ZB-ZC=180°-35°-75°=70°,

•・•力。是角平分线，

Z.CAD=ABAD=-ABAC=-x7O°=35°,

22

•:DFJ.AC,

:.ZADF=180°-90°-35°=55°；

（2）NB+NC=2ZAEF,理由如下：

vEFlAC,

."C4D=900-N4EF,

•・•力。是角平分线，

ABAC=2/CAD=180°-2ZJEF,

VZ5/1C+Z^+ZC=I80O,

180。-2/4所+N4+NC=180。，

BPNB+NC=2N/1EF.

20.如图，点8在线段4c上，点E在线段8。上，08为“以的高，AB=DB,EB=CB.

⑴求证："BE当2BC；

（2）如图：BF1AE于F,86-1。。于6,探究而'与4G的关系，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析

（2）BF=BGRBhBG,证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质：

（I）利用SAS证明△力BEg即可：

（2）根据全等三角形的性质可得4E=C。，£痣=£收，再rflg炉可得8"=8G,

再证明RAH于4R△aG,可得NEBF=NCBG,即可解答.

【详解】（1）证明：为△4CZ）的高，

:./.ABE=ZCBD=90°,

在RtACBD和RtA£5J中，

vAB=DB,4ABE=/CBD=9N,EB=CB,

.•.△.48七三△D?C(SAS)；

(2)解：BF=BG且BF工BG,证明如下:

•:“BEmDBC,

=

：.AE=CD,SA4BES^DBC,

vBFA.AE,BGLCD,

.」于x左=-BGxCD、

22

:.BF=BG,

在RlABEF和Rt^BCG中,

VEB=CB,BF=BG,

.•网薪〜△办（H_）,

NEBF=ZCBG,

Z.EBF+ZSG=ZCBG+ZEBG-ZCED=90°,

即BFS.BG,

综上所述，8尸与8G的关系为8尸=8G且8/J.8G.

21.已知：OP平分NMON,点、A,8分别在边。W,ON上,且NO力0+NO8P=180。.

(1)如图1,当/040=90。时，求i正：OA=()B；

(2)如图2,当0。＜/。叱＜90。时，作尸C_LOM于点C.求证：

①PA=PB；

②请直接写出04OB,力。之间的数量关系为—.

【答案】(1)详见解析

(2)①详见解析；(2)OA-OB=2AC

【分析1本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差

等知识点，解题的关键是掌握以上性质.

(1)根据角的和差得出N01P=N04尸=90。，根据角平分线定义得出/尸。4=/尸。4,证明

公OPBgAOPA,即可得出结论；

(2)①过点尸作尸O_LON于点O,根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明△尸8。丝△R4C,即可得

出结论；

②艰据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系.

【详解】(1)证明：•••/Q4P+N。4P=180°,NQ4尸=90°,

NOAP=NOBP=90°,

•：OP平分4MoN,

"OB=APOA,

vOP=OP，

.•.△OPBaOPA(AAS),

:.OA=OB；

(2)解：①如图，过点P作尸。_LOV于点

N/

“CAM

图2

•••OP平分乙WON,且PC1OM,PD1ON,

PC=PD,

•••NOBP+NPBD=180°,NOAP+NOBP=180°,

Z.PBD=Z.PAC,

•：/PCA=NPDB=9M,

:oPBD知PAC(AAS),

:.PA=PB；

②•：4PBDaPAC,

'•AC-BD,

•••PC1OM,PDION,

:.ZPDO=4CO=骄,

由①得PC=PD,且。尸二O尸，

：.OC=OD,

.'.OB=OD-BD=OC-AC=OA-2AC,

：.OA-OB=2AC.

22.如图，点尸、。分别是边长为4c〃?的等边“8C边力&BC上的动点，点夕从顶点力沿力B向4点运动,

点。同时从顶点4沿BC向C点运动，它们的速度都为lc〃"s,当到达终点时停止运动，设它们的运动时间

为，秒，连接力。、CP交于点M；

A

(1)求证：“BQ知CAP；

(2)点P、。在运动的过程中，NCWQ变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；

(3)当/为何值时JBQ是直角三角形？

【答案】(1)见解析

(2)不变，NCMQ=60。

48

(3)当第4秒或第三秒时，APB。为直角三角形

JJ

【分析】(1)利用等边三角形的性质可知〃5=/IC,NB=NCAP=60。,结合“尸-3。即可得证；

(2)由△力PC四△8Q4知/8彳。=/力”，再利用三角形外角的性质可证得NCMQ=60。；

(3)可用，分别表示出8P和股，分々。8=90。和N8PQ=90。两种情况，分别利用直角三角形的性质可

得到关于/的方程，则可求得,的值.

【详解】(1)解：•••△48C是等边三角形

AB=AC,/8=NC4尸=60。，

又由条件得4P=8。，

在＞8。和AC/IP中

AB=CA

•ZB=/CAP,

BQ=AP

.•.△ABQ%CAP（SAS）.

（2）NCM。的大小不变，NCM0=6O。，

理由如下：

由（1）知△力4。且△。尸，

:.ABAQ=NACP,

Z.QMC是“MC的一个外角，

：,Z.CMQ=/ACP+NCAM=NBA。+NC4M=NBAC=60°,

.•./CM。=60。.

(3)由题意知彳P=80=，，PB=4-t

①当NP08=9O。时，

•••N8=60°,

4

:.PB=2BQ,得4T=2/,解得，=相

②当/〃尸。=9。"时，

•••4=60。，

:.BQ=2BP,得/=2(4-/),解得/=：；

・•・当第4鼻8秒或第三秒时，△尸8。为直角三角形.

【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性

质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识.

23.【教材呈现】

(I)如图1，连接△XBC的顶点力和它所对的边8。的中点。，所得线段力。叫做△力8C的边8c上的中线.写

出图1中的一个等量关系

【尝试感悟】

(2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在△4BC中，48=8,AC=6,。是8C的中点，求BC

上的中线力。的取值范围.于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长力。到

E,使DE=4D,请完成证明“△♦。。^△中勿的推理过程.

①求证：MDCdEDB.

②求力。的取值范围.

【问题解决】

(3)如图3,在△48。中，N8=90。，AB=2,是△AB。的中线，_L8C,CE=4,RZADE=90°,AE

图I图2图3

【答案】(】)8O=CQ

(2)①见解析；②1<AD<7

(3)6

【分析】本题主要考查了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定,

构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键.

(1)根据中线的定义求解即可.

(2)①利用已知条件证明△4。(*2\瓦加即可；②根据三角形三边关系可得"-"<就<"+4£,再

用全等三角形的性质可得的取值范围.

⑶延长力。交EC的延长线于区求证“8。包尸。(ASA),可得出。/=彳8=2,4。=。尸，再利用垂直

平分线的性质即可求得AE的长.

【详解】(1)解：;力。是△力3C的边〃。上的中线，

BD=CD,

故答案为：BD=CD；

(2)①由(1)可得BD=CD,

在、EDB和△彳。。中，

DE=AD

<4EDB=ZADC,

BD=CD

瓦加(SAS),

②；"DC/EDB,

BE=AC=6,

在中，48=8,BE=6,

根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，

niUB-BE<AE<AB+BE,

'/AE=2AD,

8—6<2AD<8+6,

/.1<AD<7；

(3)延长4。交的延长线于尸，如图所示:

E

'：ABLBC.EFLBC,

/..ZJ5D