2024北师大版八年级数学上册《认识实数》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

第二章实数

1认识实数（第1课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”的第一节第1

课时。从整体课程内容看，属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数

与代数”领域，课标内容要求为：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理

数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实

数的大小。会求实数的相反数和绝对值。能用有理数估计一个无理数的大致范围。

本节内容分2个课时，实数是继有理数之后，在中学阶段学习的数系的又一

次扩充。引入无理数后，有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立。

相关学习活动涉及类比学习及归纳推理，为后续高中阶段学习从实数向复数的数

系扩展再次积累活动经验。第1课时让学生感悟数系的扩充，辩证认识无理数的

存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理，会根据要求画线段；借助计算器

感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是不是有理数。第2课时主要是让

学生知道实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时

了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和

数轴上的点是一一对应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。

本节课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，

感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：数系随着现实生活及数学学习的需求不断扩充，这体现

了新数产生的必要性。代数运算的核心是研究数的性质、运算法则及运算律，学

生已经经历过一次数系扩充，即七年级在引入负数的学习中，将数的研究范围扩

充到有理数。利用数轴探究有理数的运算法则中体现的分类讨论、从特殊到一般、

数形结合等数学思想为实数的学习奠定了基础。在前一章“勾股定理”的学习中，

学生已经掌握勾股数的概念，但在探究过程中发现，并不是所有的直角三角形的

边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是。这为引入“新数”

奠定了必要性，同时，勾股定理的学习也为学生提供了数形结合的思考方法。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生己经经历了一些拼图操

作、网格画线段和借助计算器估算的活动，也具各与同学合作交流的经验。在负

数的引入、意义及有理数加法的学习中，充分结合生活实际，在理解意义的基础

上获取新知；在经历“观察、比较、分析、归纳”的合作交流过程中，积累了用

数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达和解次问题的

经验。尤其是第一章用等积法说明勾股定理，解决了一些简单的现实问题，感受

到了数系扩充的必要性和作用，获得了认识实数所必需的一些数学活动经验。

三、教学目标

1.在有理数认识的基础上，结合图形判断正方形的边长是不是有理数，感受

客观世界中无理数的存在；能用有理数估计一个无理数的大致范围。

2.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景，培养发现问题、提出问题的

能力。同时，借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并利用计算器估算，培

养估算能力，发展抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。

3.渗透数形结合、分类讨论、特殊与一般的思想，培养代数推理能力。

4.在拼图和网格纸中作出无理数表示线段长度的过程中，发展分析问题和解

决问题的能力，积累从图形的特征思考数学问题的思维经验。

教学重点：对数系扩充合理性的理解，意识到确实存在某些数，既不是整数

也不是分数，它们具有无限不循环的特征。

教学难点：认识到无理数既不是整数也不是分数，是无限不循环小数。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾置疑

1.活动内容

思考：(1)一个整数的平方一定是整数吗？

(2)一个分数的平方一定是分数吗？

2.活动目的

进行必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理。

【第二环节】课题引入

1.活动内容

图1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正

方形。设大正方形的边长为4,。满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求:

不允许有多余部分，所得的正方形不允许有空缺）

图I

尝试-思考

（1）如图2,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为46满足什么条件？它是我们学过的数吗？

2.活动目的

通过动手操作，初步感知客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数

不够用了”。

3.注意事项

无理数的学习标志着学生的知识结构从有理数范畴拓展到实数范畴，是一次

重要的数系扩充。由于学生对数的认识是从现实生活需求出发的，遵循“自然数

一整数一有理数一实数”的脉络不断拓展和丰富。学生对有理数的认识是具象可

感的，是可以“数出来”“量出来”的，但无理数是抽象的“想出来”的。以学

生现有经验的有限性去认识无理数概念的“无限性”，存在理解上的困难。因此，

对无理数的认识要从现实需求出发，让学生直观感知其客观存在性，让学生在实

验操作中引发思考，通过思考感知问题中的eb确实存在，但不是有理数。

【第三环节】新知释疑

1.活动内容

思考-交流

面积为2的正方形的边长。究竟是多少呢?

（1）如图3,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。

图3

（2）边长。的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借

助计算器进行探索。

（3）小明将他的探索过程整理如下：

边长a面积S

\<a<21<5<4

1.4<«<1.5L96Vs<2.25

1.41<^<1.421.988l<S<2.0164

1.414<a<1,4151.999396Vs<2.002225

1.4142<t/<1.41431.99996164<5<2.00024449

还可以继续算下去吗？〃可能是有限小数吗？

（4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？h可能是有限小数吗？与同

伴进行交流。

2.活动目的

上一环节的“尝试・思考”让学生感知mb确实存在，但不是有理数，本

环节的“思考一交流”则意在让学生感受b的大小。如何感知？这里借助了

计算器进行逼近和估计，在这一过程中，可以初步感受4,8的大小，同时也让

学生感受到这样的逼近过程可以一直重复下去，进而感知无理数是无限不循环小

数。

3.注意事项

(1)这里采用了“呈现小明的探究”方式进行问题研究，在实际授课中,

教师可以让学生进行类似的操作，然后呈现学生的解答。

(2)活动最后，教师需要明晰:事实上,61=1.41421356-^=2.23606797-,

它们都不是有理数，都是无限不循环小数。

【第四环节】知识巩固

1.活动内容

(1)在图4的正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形：

①面积为9,且正方形的顶点在格点上；

②面积为13,且正方形的顶点在格点上。

(2)在图5的正方形网格中分别画出以下四个三拊形

①三边长都是有理数;

②只有两边长是有理数;

③只有一边长是有理数;

I5JS

④三边长都不是有理数。A

(3)如图6,等边三角形48C的边长为2,高为人h

可能是有理数吗?

(4)同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整B

数吗？RAA

2.活动目的

前面2个方格纸画图问题，增添知识的趣味性、关联性和层次性，让学生初

步学会辨别有理数和无理数，进一步感受“新数”的存在，培养灵活运用知识的

能力。后面2个问题，是对本节课开始问题的变式，加深对“新知”的理解。

3.注意事项

(1)问题(2)的答案不唯一。

(2)在解决问题(1)(2)的过程中，需将本章内容与勾股定理的内容进

行联系。

【第五环节】课堂小结

1.活动内容

(1)通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？

(2)通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？

(3)通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？

(4)除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的数吗？

2.活动目的

通过课堂小结，理清本节课的知识脉络，培养学生的核心素养。引导学生用

数学眼光观察现实世界，主要表现为抽象能力和几何直观；帮助学生用数学思维

思考现实世界，主要表现为运算能力和推理能力；实现用数学的语言表达现实世

界，主要表现在应用意识。

3.注意事项

学生总结，教师补充，帮助学生逐步深化对无理数的认识和理解。

【第六环节】布置作业

1.活动内容

基础作业：习题2.1第5、第6题；

拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100,共有多少种

情况？(注：面积相同的不同画法均视为同一种情况)

实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数

学小论文“我对数系扩充的再认识”。

2.活动目的

设计不同难度、不同类别的作业，加强对本课时学习内容的理解，为不同层

次学生的发展提供有力支持。

五、教学反思

1.概念是学习新知识的基本内容，每个知识点都是从概念教学开始的。概念教学不是告

知学生结果去记忆就行，而是要让学生体验知识的产生、发展和应用的过程。从认知的过程

来讲，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，艮J由特殊到一般的总结和归纳；而巩

固概念则是加深理解和灵活运用的过程，即从一般到特殊的应用过程。因此概念教学与应用

是一个有机的整体、一个完美的闭环。

本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、计算器进行

探索、讨论等，引导学生用数学的眼光观察现实世界，体会数学学习的乐趣和无限逼近的数

学思想，从而得到无理数的概念；在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生，这i探索过程

所需时间较长，可能会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所

必需的，绝对不能淡化。

2.保持以研究的态度看待教学，以谦虚的态度研究教学，紧跟时代要求丰富教学手段。

基于数学课堂做研究，基于对数学、学生、教学的理解寻找切入点，在常态课中将信息技术

与数学适当融合，将抽象的知识形象化，帮助学生加深对知识的理解，丰富体验，促进学生

个性化发展。同时，引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养

学生的分类和归纳思想，为今后的数学学习打卜.坚实基础。

第二章实数

1认识实数（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学（八年级上册）第二章“实数”的第一节第2课时。本节课

主要学习实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范

围内的相反数、倒数和绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对

应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。

二、学生起点分析

学生知识技能基础:通过七年级数轴的学习，学生已系统学习了有理数的相反数、倒数、

绝对值等概念，会利用数轴上的点表示有理数。在前一章“勾股定理”的学习中，学生积累

了已知两直角边长度均为整数时求斜边平方的运算基础,在本章的第一课时学生也已经初步

感知了无理数（无限不循环小数），这为利用数轴上的点表示无理数奠定了基础。勾股定理

的学习也为学生运用数形结合的思想方法提供了思考路径。

学生活动经验基础：第1课时，构造直角三角形产生无理数是具体的经验，为如何在数

轴上标出无理数提供了一种办法；研究有理数时使用的分类、运算等学习经验，在实数这里

依然可以进行类比学习。

三、教学目标

1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根

据实数在数轴上的位置比较大小。了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数

范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

2.在认识“实数”这一新知识时，运用已有的“有理数”的相关概念及运算律类比解决

“实数”的相关概念及运算律，从而获取解决实数相关问题的基本方法，发展分析问题、解

决问题的能力。

3.在感受实数和数轴上的点一一对应的过程中，进一步体会数形结合思想。

4.感悟类比思想的经验，了解数系扩充对人类认识发展的必要性。

教学重点：实数的意义，实数和数釉上的点••对应。

教学难点：能将实数按要求进行分类。

四、教学过程设计

【第一环节】回顾引入

1.活动内容

（1）什么是有理数？

（2）如果把有理数写成小数，这时的小数有什么特征呢？

⑶把下列各数表示成小数：3,%.

讨论后明晰：无限不循环小数称为无理数。

2.活动目的

整数和分数统称为有理数。现在出现了新的数，它既不是整数也不是分数，上节课指出

这样的数是无限不循环小数。因此，本节课苜先探讨有理数和小数的关系。从研究手法上看，

直接问这样的问题太抽象，F是从特殊的、具体的对象进行研究，设计了将具体有理数转化

成小数的问题。

3.注意事项

这里通过具体的数字转化，让学生积累经验，通过自己的计算发现，有理数总可以用有

限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那些不

是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。揭示无理数后，

可以再举一些实例，进一步帮助学生理解和感知无理数。

【第二环节】探究新知

1.活动内容

例下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

3.14,—%0.57,0.1010001000001-（相邻两个I之间0的个数逐次加2）。

教师总结：有理数和无理数统称实数。

尝试-思考

无理数和有理数一样，也有正、负之分。

（1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。

（2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？

思考-交流

上节课讨论的两个正方形，边长分别是儿且满足『=2,川=5。

（1）如图，OA=OB,数轴上点力对应a,。中的哪个数？

（2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。

B

2.活动目的

在第一环节，教材明晰了无理数的概念，这一环节则是进一步加深学生对无理数的理解。

首先，例题让学生判断哪些是有理数，哪些是无理数，这是对无理数概念的进一步辨析。有

了数的概念以后，我们通常会讨论数的运算。其次，设计了“尝试•思考”，一方面类比有

理数，对实数进行分类：另•方面在讨论完分类后，进•步明晰在实数范围内，相反数、倒

数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、

除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；最后，“思考•交流”则

是对有理数与数轴上点的关系的补充，揭示实数和数轴上的点是一一对应的。

3.注意事项

（1）关于实数的分类，可以有不同的分类方法，但是每次只能按照同一标准，旦也要

注意不重不漏。

（2）通过与有理数类比的方式，得出实数意义下的相关概念、运算律，不用解释道理，

可以通过具体例子理解和感悟。

【第三环节】知识巩固

1.活动内容

（1）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

0.4583,3.7»—TC»一；,18。

（2）比较一3.14和一兀的大小。

（3）判断正误：

①所有无限小数都是无理数；（）

②所有无理数都是无限小数；（）

③有理数都是有限小数；（）

④不是有限小数的数不是有理数。（）

（4）回答问题：

①一3的相反数是什么？它的倒数是什么？它的绝对值是什么？

②n的相反数是什么？它的倒数是什么？它的绝对值是什么？

③。是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若。工0,则它的倒数如何表示？

2.活动目的

通过教科书的一些练习题，加深学生对相关概念的理解，检测学生对实数相关知识的

掌握情况。

【第四环节】课堂小结

1.活动内容

（1）通过本节课的学习，你收获了哪些数学知识和能力？

（2）通过本节课的学习，你提升了哪些数学思维能力？

（3）通过本节课的学习，你学会了哪些数学语言表达？

2.活动目的

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。通过课堂小结，理清本节的知识脉络，培养

学生的核心素养，引导学生用数学眼光观察现实世界，本节课的数学眼光主要表现为抽象能

力、儿何直观；帮助学生用数学思维思考现实世界，本节的数学思维主要表现为运算能力、

推理能力；实现用数学的语言表达现实世界，本节的数学语言主要表现为应用意识。

3.注意事项

学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。学生对问题解决过程的回顾和反思，实现

知识建构、方法融合、思想领悟和思维的自觉。

【第五环节】布置作业

I.活动内容

（1）基础作业：

（注：根据教材习题2.1第1题改编）

下列各数中，一段，3.97,-234.10101010…（相邻两个1之间有1个0）,

180

0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成）。

①写出所有有理数：

②写出所有无理数；

③分别写出这些数的相反数、绝对值；

④把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号连接。

（2）拓展作业：

把下列小数化成分数：①3.25：@0.5：③0.试。

（3）实践作业：课题学习“探索有理数转化成有限小数和无限循环小数的方法”。

课题探索有理数转化成有限小数或无限循环小数的方法

类型主题实践性作业

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，你知道它的原理吗？你

内容

能总结有理数转化成有限小数或无限循环小数的•般方法吗？

工具

运用所学知识解释理由，小组合作归纳总结模型，并能发散思