2025-2026学年北师大版八年级数学上册 探索勾股定理 同步训练

1.1探索勾股定理同步训练

一、单选题

1.在RS/1BC中，ZC=90°,AC=5,BC=3,贝的长为（）

A.V13B.4C.V29D.V34

2.《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏，现有一圆柱

形投壶内部底面直径是5cn,内壁高12cm,若箭长17cm,则箭在投壶外面部分的长度不可

能是（）

A.6cmB.5cmC.4.5cmD.4cm

3.一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：mm）,

可得出两圆孔中心A,B之间的距离为（）

A.110mmB.170mmC.200mmD.240mm

4.如图，在ACDE中，^CDE=90°,DE=12cm,CE=13cm,以CD为边作正方形

则正方形的面积是（）

A.5cm2B.25cm2C.144cm2D.169cm2

5.如图所示，小明想知道学校旗杆88的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了1m,

当他把绳子拉直，端点C刚好着地，下端C距离B点5m,则旗杆的高为（）

A.5mB.6mC.12mD.13m

6.如图，在RtAB/lC中，=90°,AC=3,AB=4,BC的垂直平分线分别交力B,BC于

点。，E.则AD的长为（）

7.意大利著名画家达・芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的,

如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为工，图2中空白部分的面积为S2,

则下列对工，S2所列等式不正确的是（）

222

A.Sj=a+/?+2abB.S2=c+ab

C.Si=a?+匕2+帅D.Si=S2

二、填空题

8.如图，△48C中，AB=AC=5,BC=6,贝U底边BC上的高40=

9.如图，两个较小正方形的面积分别为4,10,则字母A所代表的正方形的边长是,

10.文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索.如图，考古

学家在某地探明一文物位于4点正下方12m的点P处，由于A点地下有障碍物，无垂直下挖,

于是他们从距离A点5m处的点B处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖m.

11.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图''是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密

铺构成的大正方形.若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8,则直角三角形两直角边

12.如图，在△ABC中，AB=13,AD=12,AD1BC,AC=20.求△ABC的面积.

13.如图，在一而竖直的水泥墙CQ的4处有两名跑酷运动员（9C=S米），为争夺地面目标

点4一名运动员从4处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（力C=10米），另一名运动员

从8处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）.若两名运动

员所经过的路程长度相等，求水泥墙CO的高度.

14.如图，在等腰Rta/18C中，Z.ACB=90°,点。是48上一点，作等腰Rt△CCE,JLzDCF=

90°,连接力E.

(1)求证：AE=BDx

(2)求证：BD2+AD2=DE2.

15.如图，在△4BC中，LACB=45°,AE,8"分别是BC,4c边上的高，4E与BF相交于点

P，CP的延长线交48于点0.

(1)问与APCF全等吗?请说明理由;

(2)若4c=7,AF=3,求CO的长.

<1.1探索勾股定理同步训练2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案

1.D

【分析】根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，直接计算即可.

本题考查勾股定理的应用，涉及的知识点是直角三角形中勾股定理的内容.解题中用到的方

法是公式代入法，直接应用勾股定理公式计算斜边.解题关键是准确识别直角边与斜边，避

免边的位置混淆.易错点是记错勾股定理的公式，或混淆直角边与斜边的平方和关系.

【详解】•・•在中，4c=90°,

：,AB2=AC2+BC2,

'：AC=5,BC=3,

•MF=52+32=25+9=34,

=V34.

故选D.

2.A

【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判

断求解•，利用勾股定理求出筋在投壶外面部分的最小长度是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为17-12=5cm,

最小长度为17-V52+122=4cm,

•••箭在投壶外面部分的长度不可能是6cm.

故选：A.

3.B

【分析】本题考查了勾股定理，根据图中信息，先运算得出AC=80mm,8C=150mm,再

运用勾股定理列式计算，即可作答.

【详解】解：观察图中的数据，得出AC=120-40=80(mm),BC=200-50=150(mm),

在Rt△48c中，AB=y/AC2+BC2=V6400+22500=170(mm),

故选：B

4.B

【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那

么/+》2=，2根据勾股定理可求出进而求出正方形48CZ)的面积.

【详解】解：在RtaCDE中，LCDE=90°,

由勾股定理得：CD2=CE2-DE2=132-122=25,

AS正方形ABCD=CD?=25cm2.

故选：B.

5.C

【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得

48的长.

根据题意设旗杆的高A3为xm,则绳子的长为（％十l）m,再利用勾股定理即可求得A6的

长，即旗杆的高.

【详解】解：设旗杆的高为xm,则绳子AC的长为

在RS4BC中，AB2+BC2=AC2,

"+52=Q+1）2,

解得x=12,

=12,

・••旗杆的高12m.

故选C.

6.A

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解

答的关键.

连接CD,由线段垂直平分线的性质推山8。=CD,设力。=%,由勾股定理得到（4一为2=

x2+32,求出％=得到AD=

88

【详解】解：连接CD,

;。£垂直平分8。,

:.BD=CD,

设40=X,

：,CD=BD=AB-AD=4-x,

•・z=90°,

：.CD2=AC2+AD2,

/.(4-x)2=x2+32,

•.•x——7,

8

7

：.AD=-.

8

故选：A.

7.A

【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关

键是读懂图像信息.根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题.

22

【详解】解：由勾股定理可得层+b=c,

22222

由题意，可得Si=a+6+2x=a+b+ab=c+abt

22

S2=c+2x-ab=c+ab,

所以Si=S2

故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意.

故选：A.

8.4

【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结

合图形灵活应用是解题关谑.先根据等腰三角形的性质得到3,再根据勾股定理即可

求出力。即可.

【详解】解：・♦・4B=/1C=5,BC=6,AD1BC,

:.CD=-BC=3,

2

：.AD=yjAC2-CD2=4.

故答案为：4.

9.旧

【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正

方形的面积等于其它两个正方形的面积之和.进而可求出边长.

【详解】解：字母A所代表的正方形的面积=10+4=14.

则字母A所代表的正方形的边长是g.

故答案为：V14.

10.13

【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得4B=5m,

AP=12m,Z.BAP=900,利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意得4B=5m,AP=12m,484P=90。，

：,PB2=AB24-AP2=52+122=169,

:・PB=13,

即要挖到该文物至少要挖13m,

故答案为：13.

II.V15

［分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式.注意完全平方公式的展开：(a+b)2=a2+

b2+2ab,还要注意图形的面积和a,b之间的关系.根据大正方形的面积即可求得c2,利用

勾股定理可以得到Q2+/)2=C2,然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据

(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解.

【详解】解：设大正方形的边长为c,

•••大正方形的面积是8,

c2=8,

a2+b2=c2=S,

•.•直角三角形的面积是?=：,

44

...-1ab,=7

24

•••ab=

2

•••(a+b}2=a2+b24-2ab=c2+2ab=8+2x(=15.

••・a+b=g(舍去负值).

故答案为：V15.

12.126

【分析】本题考查了勾股定理.

根据勾股定理求出8D与OC的长，据此解答.

【详解】解：在与RtZi4C0中，由勾股定理得，

BD=>JAB2-AD2=V132-122=5,CD=>JAC2-AD2=V202-122=16,

；・BC=BD+CD=21,

/.△ABC的面积=坊CTO=2x21x12=126.

22

13.当米

【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是

指BD+A£)=BC+AC,设CD=x,根据勾股定理列方程求解.

【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则3。=。。一8。=(%-5)米，

由题意,知力C1C。，

所以44CD=90。，

因为两名运动员所经过的路程长度相等，

所以BO+力。=BC+4C,即x-5+/。=5+10,

所以40=(20-工)米，

在RSAC。中，由勾股定理得力C2+C/52=力。2,即1()2+%2=(20一%)2,

解得无即米，

答：水泥墙。。的高度为£米.

14.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质

是解题的关键.

(1)根据等腰直角三角形的性质得出"=C。，AC=BC,^ECD=^ACB=90°,再证明

△AECFDC(SAS),即可得出结论；

(2)根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论.

【详解】(1)证明：•••在等腰中，Z.ACB=90°,在等腰RtZkDCE中，Z-DCE=90°,

CE=CD,AC=BC,/ECD=^ACB=90°,

•••LECA=乙DCB,

.*.△AEC^△BDC(SAS).

•••AE=BD.

(2)由(1)知力E=BD,

•・•在等B要RtZk/BC中，^.ACB=90°,

乙B=LBAC=45°.

AEC=△BDC,

•••Z.EAC=Z.B=45°.

二Z.EAD=Z.EAC+Z.BAC=90°.

:./IE24-/ID2=DE2,

:.BD2+AD2=DE2.

15.（1248F与△PCF全等，理由见解析

⑵CD=