2025-2026学年湖北省武汉市某中学高二年级上册10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年湖北省武汉市第一中学高二上学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知直线，的倾斜角为60。，方向向量五=(3,y).则y=()

A.3/3B./3C.1D.岁

2.已知直线/的方向向量为1=(1,1,2),平面a的法向量为五=(2,2,4),则/与a的关系是()

A.i1aB.l//aC」uaD.I〃a或2ua

3.已知四面体48co如图所示，点E为线段CO的中点，点;F为△48C的重心，则丽=()

X.\AB-yAC-\'ADB.^AB-^AC-IAD

36233z

C.-JB-\~AC-D.^AB-1AC-1AD

333364

4.已知直线，i：ax+(a+2)y+l=0,%：%+ay+2=0,则“a=-1”是“，J/%”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知直线ax—a+y=0,且与以点4(2,1),B(0,V3)为端点的线段有公共点，则直线，斜率k的取值范围

为()

A.(—00,—/3]B.[1,4-co)

C.D.(-8,-/1]U[l,+oo)

6.在棱长均为1的三棱柱A8C-中，=乙414c=今则异面直线力为与8Gl所成角的余弦值为

()

A./B.：C.当D.4

665o

7.曲线y=W^(—2WXW2)与直线y=上。一2)+3有两个交点，则实数々的取值范围是().

A.岛北)B.信用C(14]D.[”8)

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8.已知圆C:(%-3)2+(y-3)2=4,一条光线从点/(一1,2)处射到直线/:x+y=0上，经直线，反射后，反

射光线与圆C有公共点，则反射光线斜率的取值范围是()

A」-8,0]U*,+8)B」0,第

C.(-co,0]u[|i,+co)D.[0,|i]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法笛集的是().

A.“直线。2%一丫+1=0与直线人一。、-2二0互相垂直”是“。=一1”的充分不必要条件

B.直线xsina+y+2=0的倾斜角0的取值范围是[。月U片,。

C.若圆M:(x—4)2+(y—4>=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,O)的距离为1,则r的取值范围是(4,6)

D.过点尸(1,2)且在％轴，y轴上的截距互为相反数的直线方程是x-y+l=0

10.关干下列命题,正确的是().

A.若点(2,1)在圆/+y2+kx+2y+上2-15=0外，则k>2或k<-4

8.已知圆“：(％+8$。)2+3—5访。)2=1,直线上),=依，则直线/与圆M相交或相切

C.已知点P是直线2%+y+4=0上一动点，PA.P8是圆。:/+/-2丫=0的两条切线，力、8是切点，

则四边形P4CB的最小面积是2

D.设直线系M:xcos。+ysin。=2+2cos0,M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12，9

11.如图，矩形/BC。中，AD=>/2AB=10<2，边4。，的中点分别为E,F,直线9夕交/C于点G,直

线所交AC于点从现分别将△48E,-CDF^BE,DF折起，点4c在平面8尸。£同侧，则()

A.当平面4EB_L平面BE。臼忖，4GJ•平面8E。尸

B.当平面4EB//平面COFH寸，AEj/CD

C.当4c重合于点P时，二面角P—CF—B的大小等于60。

D.当4C重合于点P时，三棱锥P-BEF与三棱锥P-DE/外接球的公共圆的周长为10几

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知动直线匕:加工-y-m+l=0,圆C:/+y2=3,则直线匕与圆C相交的最短弦长为

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13.阿波罗尼斯(约公元前262—公元前190年)证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数

1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点48间的距离为2,动点P满

足需=，！，当P,48不共线时，APAB面积的最大值是.

14.如图，在直四棱柱中，底面48CZ)为正方形，AB=3,AAX=6,P是侧面BCG以内

的动点，且力PIB。1，记4P与平面BCG8所成的角为优则tan。的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知直线x—2y+3=0,l2t2%+3y-8=0.

(1)求经过点4(1,4)且与直线，2垂直的直线方程；

(2)求经过直线。与，2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程.

16.(本小题15分)

已知4(3,1),8(-1,2),41cB的平分线所在的直线的方程为y=x+1.

(1)求力8的中垂线的一般方程；

(2)求直线4C的一般方程.

17.(本小题15分)

已知定点4(1,一3),点B为圆Q+1/+(y+=4上的动点，C为AB的中点.

(1)求C的轨迹方程；

(2)若过定点的直线，与C的轨迹交于M,N两点，且|MN|=C，求直线［的方程.

18.(本小题17分)

如图①，在梯形/8C。中，AB//CD,Z.BAD=AB=2AD=2CD=4,。为48的中点，AC与DP交于

点0.将△"0沿4c折起至以AC。'的位置，得到三棱锥D'-ABC,使得二面角8-AC-D'为直二面角(如图

②)•

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①3

(1)求证：BC〃平面P0。'.

(2)求平面力8C与平面8。。'的夹角的大小.

(3)在线段PD'上是否存在点Q,使得平面OCQ_L平面力8。?若存在，求出券的值;若不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

已知Rt△4BC的两个顶点力(-2。，8(2,0),直角顶点。的轨迹记为曲线7,过点P(l,0)的直线2与曲线7相

交于M,N两点.

(1)求曲线T的方程；

(2)若点R(4,0),记AMNR的面积为S,求S的取值范围；

(3)是否存在％轴上的定点Q(a,0),使得|QM|・|QN|为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存

在，说明理由.

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参考答案

\.A

2.A

3.0

4.A

5.0

6.4

1.B

8.5

9.AD

10.BC

1IACD

12.2

13.2/2

14.75

15.解：⑴由直线，2：2x+3y-8=0=y=-9+1可得斜率为一:，

故可设所求直线方程为y=|x+/),

则依题意有4=|xl+b,解得b=?,

所以所求直线方程为+1整理得3x—2y+5=0；

x—2y+3=0解得｛；;r即直线人与12的交点为(1,2)，

2x+3y—8=O'

当直线的截距都不为0时，假设直线方程为:+卜1®,6*0),

(a=b

依题意,+2=1解得a=b=3,此时直线方程为升”1,即x+y—3=0,

当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y=kt,

代人(1,2)得k=2,此时y=2x；

综上所述：所求直线方程为y=2》或x+y-3=0.

16.【详解】⑴43的中点坐标为(三士甘力=

又2=一；，故43的中垂线斜率为4,

JLJ*

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(2)由对称性可知，8(-1,2)关于丫=x+1的对称点。(s,£)在直线4C上,

(三=T_

故计2*1/解得(1，。)，

=—+1

故直线AC的方程为即％—2y—1=0.

U—11—5

17.【详解】(1)设C点的坐标为(％y),则点8的坐标为(2%-l,2y+3),

・•,点8为圆(无+1)2+(y+I)2=4上的动点，

:.(2x-1+I)2+(2y+3+I)2=4,化简得产+(y+21=1,

故C的轨迹方程为炉+。+2同=1.

(2)圆/+(y+2)2=1的圆心坐标为(0,-2),半径r=1,

当直线值勺斜率不存在时，直线1的方程为％=今

此时圆心到直线”=；的距高是去所以|MN|=2o,满足条件:

当直线Z的斜率存在时，设直线蟀方程为y+1=/c(x-j),

化简得Ax-y--1=0,

因为|MN|=73,所以圆心到直纨的距离d=

由圆心到直线/的距离公式得d=

k2

所以;！=即21=/TTF,平方得41+卜k)1+kz,

卮22

整理得4k-3=0,解得故直线1的方程为y+l=沁一3，B[J6x-8y-ll=0.

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综上，直线/的方程为％=g或6x-8y-ll=0.

18.解：(1)证明：在梯形力8C。中，

AB//CD,48=20)=4,P为4B的中点，

所以CD〃4P,CD=AP,故四边形APCD为平行四边形，

因为4CnDP=。，所以。为47的中点，

所以在AABC中，0P//BC,

因为。Pu平面POO：BCC平面POD，,

所以8C//平面P。。'；

(2)在平行四边形4PC0中，AP=AD=2,

所以四边形4PCD是菱形，则/ClDP,垂足为。，

所以力CIO。'，AC1OP,

因为OD'u平面AC。，OPu平面4C8,

所以4D'OP是二面角8-AC-D'的平面角，

因为二面角8-AC-。为直二面多，

所以zjrop=*即。Pl。。，

如图所示，以。为坐标原点，分别以。力，0P,。。所在直线为%,y,z建立空间直角坐标系。-盯z,

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因为在图1菱形4PCD中，^BAD=

所以OP=OD=1,OA=OC=6，

所以8(—/1,2,0),C(-73,0,0),O'(OOl),P(0,l,0),A(y[3,0,0),

所以而=(73,-2,l),C§=(0,2,0),

设平面BCD'的法向量为五=(x,y,z),

则「•空j=2y=0,

(n•BD'=\/~3x-2y+z=0

令x=l,得y=0,z=-/3,

故¥面BCD'的一个法向量为记=(1,0,­/3).

平面48C的一个法向最为沅=(0,0,1),

所以Icos同初1=黯=冬

所以平面4BC与平面BCD'的夹角E勺大小为，；

(3)线段P。上存在点Q,使得平面OCQ1平面48。，

设两=2而\(0<A<1),

因为丽=(73,1,0),PD1=

所以&=CP+PQ=CP+入而=(/3,1-九/l),0C=(-/3,0,0),

设平面OCQ的法向量为？=

则f♦更=一门必二°

(?-CQ=y[3xt+(1-+Azj=0

令力=九得=0，Zi=4-1,

故平面OCQ的一个法向最为£=(O,A,A-1),

由而7=(73,-2,l),A&=(-2/3,2,0),

设平面。的法向量为？=

48(x2,y2,z2),

则F，EL=-20乂?+2月=0

Is-BD'=y/~3x2—2y2+z2=0

令上=1，得力=Z2=V-3,

故平面A8ZT的•个法向量为

要使平面。CQJ_平面48。，

则E-s=(O,A,A-1)(1,73,/3)=/3A+73A-/3=0,

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解得/I=2»

所以当Q为线段PD'的中点，此时券=；.

19.【详解】(1)法1：设以第y),由题意%c、岫c存在，

'kAc-kBc=(^2)-(^)=

二曲线T的方程为：x2+y2=4(y*0).

法2:由|4B|=4,得|OC|=2,.•.曲线T的方程为：x2+y2=4iy0).

法3：•••|力(?|2+|8(?|2=|力8|2=42,(%+2)2+y2+(%-2)2+y2=i6,

即由线了的方程为：x2+y2=4(3^0).

(2)法1：由题意可知：直线2一定与7相交于不同的两点，且直线［的斜率不为0,

不妨设±x=my+l,MQi，%),N(不,y2)，

由［"2吗t:,解得(m?+l)y2+2my-3=0.

由韦达定理得：％+丫2=一/7，

p/?13+32______________

S，MNR=2lliyi-yzi=2lyi-yzl=5V(yiy2)-w2

_31(2mY-3_314m2+12(14-m2)

一毛11+制"4l+m2-2j-(1+叫2—

3Q16nl2+123今V4/n2+3_v4m2+3

令《4m2+3=t(t>/3),则以MNR=3-=片，t>V-3.

又.•当・当工3门，•••SaMNR£(0,3C］.

£+f£+f

法2：当直线不存在斜率时，g|JZ:r=1,

则N(l,-JI),S.MNR=3\A3：

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当直线存在斜率时,不妨设=软%-1),”(修,必)，N(x2,y2),

由?;,(;一?,解得：(1+/)/一21工+/一4=0,

(产+yN=4'

由韦达定可得：Xi+%2=^2»*1%2=六芸，

则%+%=卜3+%2)-2k,yry2=k2alx2-(/+x2)+1),

则S，MNR=初到丫1-、21=靓1-%1=W(yi+及)2-4yly2=3

令"力

则S，MNR=3，一£2-21+3,te(O,l],则S，MNR€(。，3门),

(3)由(2)中方法1可知，%+丫2=一/，％、2=一瀛，

|QM|.|QN|=J(打一人产+贡•J(%2—，)2