2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末常考题之二项式定理

20252026学年上学期高二数学北师大版期末必刷常考题之二项

式定理

一.选择题（共6小题）

1.若（5-/）”的展开式中，所有二项式系数之和为32,则该展开式中的常数项为（）

A.-48B.48C.-80D.80

2.已知/（X）=（1+X）叫2（I+X）/2+…+太（1+x），依+…+,?（1+x）2n（nGN>且心4）,则/（知的

展开式中含/项的系数是（）

A.（〃+2）例1B.（〃+1）C用i

C.（〃+2）喏*D.（〃+I）GM1

3.已知乘积（”|+。2）（历+历+用）（C1+C2+C3+…+Cn）（〃WN）展开后共有60项,则〃的值为:）

A.5B.7C.10D.12

4.已知（l+2t）8展开式的二项式系数的最大值”，系数的最大值为江则2的值为（）

a

128256512128

A.—B.一D.一

57cV7

727

5.若(1—x)=a0+aAx+a2x+…+a7x,则42+«4+。6=<)

A.31B.32C.63D.64

6.今天是星期四，经过400天后是星期（)

A.三B.四C.五D.六

二.多选题（共3小题）

n2

(多选)7.已知(3+x)=劭+axx+a2x+…+斯产的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下

列说法正确的是（）

A.〃=8

B.展开式中偶数项的二项式系数的和为28

C.展开式中各项系数的和为49

D.展开式中奇数项的系数的和为兰亨

2

（多选）8.已知（X-I）9=〃o+aix+a2x+…+49.P,贝IJ（）

A.ao=l

B.ao+a1+ci2+,•,+a9=0

C.ao-671+02-43+…+48-49=~512

D.40+42+44+46+48=256

（多选）9.若（1一2x）S=a0+口/++。4炉+曲％5,则下列结论中正确的是（）

A.670=1

B.671+42+〃3+。4+。5=2

C.〃|+。3+。5=~122

D.W也+幺+%=1

2481632

三.填空题（共4小题）

10.若（1-3x）5=aG+aIX+«2X2+,•,^asx5,则“o=,。|+。3+〃5=.

11.二项式（2x-七）8的展开式中，常数项为（用数字作答）

12.（x-2）（x-1）3的展开式中x的系数为.

13.（x+l）i0=ao+〃i（x+2）+〃2（x+2）2+---+tno（x+2）,0,贝，120修=.

四,解答题（共2小题）

14.已知（2x-I）〃（〃WN“，〃N2）的展开式中第3项与第〃-1项的二项式系数之和为30.

（1）求〃的值；

（2）记（2-x）〃=ao+aix+a2A2+…+sM从“o,ai,。2,…，。〃中任取两个相乘，求积为负数的概率.

15.已知（1-2%）“=劭++%/+…+。M气鹿WN"）,其中。0,。2,…，a〃ER,且（1-2丫）

展开式中仅有第5项的二项式系数最大.

（1）求〃值及二项式系数最大项；

（2）求|〃o|+|m|+|a2|+…+|“〃|（用数值作答）；

（3）求40+。2+。4+46+。8的值（用数值作答）.

20252026学年上学期高二数学北师大版(2019)期末必刷常考题之二项

式定理

参考答案与试题解析

一,选择题(共6小题)

题号123456

答案CDCACC

二.多选题(共3小题)

题号789

答案ADBCAC

一.选择题(共6小题)

I.若(备-/尸的展开式中，所有二项式系数之和为32,则该展开式中的常数项为()

A.-48B.48C.-80D.80

【考点】二项式系数的性质.

【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】C

【分析】根据二项式定理相关知识可解.

【解答】解：若《一/产的展开式中，所有二项式系数之和为32,则2〃=32,则〃=5,

<5r-5

则二项式的通项公式为%+1=狠25”(-1)5丁，

令-----=0,则r=1,

2

则该展开式中的常数项为5X24x(-1)=-80.

故选：C.

【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

2.已知/(x)=(1+x)n+,+2(1+x),t+2+-+k(1+x)〃+&+…+，？(1+x)2"(〃CN,且〃24),则/(x)的

展开式中含亡项的系数是()

A.(〃+2)例1B.(〃+1)因i

C.(〃+2)D.(〃+l)c磊

【考点】二项式定理的应用.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】D

【分析】由二项式定理可得f(X)的展开式中含炉项的系数为第+1+2制+2+…+…+〃C纵，

由组合数公式可得g?+k=(〃+i)C翼3代入化简计算即可.

【解答】解:因为/(e=(1+x)叫2(l+x)n+2+-+k(1+x)/&+•••+〃(1+x)2〃(〃£N,且〃24),

所以/(x)的展开式中含/项的系数为鬣+i+2鬣+2+…+■+比+

因为kCj="(%?=J渭;!=(n+1)-(n+")t(fc-l)!=("+l)C/3

所以+2C*+…+kC3+…+，磁n=(〃+1)(C图+CH2+-+C常+…+。婷)

=(〃+1)(印肾+C翼2+…+*普+…+般】)

=(〃+1)(C雳+C；潴+…+C常+…+Ck)

=(〃+1)(C用2+C射1)

=(〃+1)C空著I.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了组合数的性质，属于中档题.

3.已知乘积(41+〃2)(力+力2+加)(C1+C2+C3+…+Cn)(〃EN)展开后共有60项，则〃的值为：)

A.5B.7C.10D.12

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解.

【答案】C

【分析】根据已知条件，推得2X3X〃=60,解出〃，即可求解.

【解答】解：乘积(ai+a2)(历+历+83)(C1+C2+C3+…+Cn)(/?GN)展开后共有60项,

贝|J2X3X〃=6O,解得〃=10.

故选：C.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

4.已知(l+2i)8展开式的二项式系数的最大值小系数的最大值为〃，则的值为()

a

128256512128

A.——B.一C.—D.一

5757

【考点】二项式系数的性质.

【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解.

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.

【解答】解：（1+2A-）8展开式的二项式系数的最大值小

则Q=或=70,

（l+Zv）8展开式的通项公式为7rH=喘2""

设第汁1项的系数最大，

rr?r>fr+l7r+l

则系rU"；1，解得5JW6,此时r=5或6,

则6=7X28,

,,b7X28128

故一=——=­•

a705

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

5.若（1-X）7=Qo+即工++…+则42+。4+。6=<）

A.31B.32C.63D.64

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专•题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】C

【分析】分别令戈=1,X=~\,得两式，运算可求得40+42+44+46=64,再令X=0,求得“0=1,即可

得

【解答】解：由题意可令X=0,得（1-0）7=如=1,

令x=l,得O=ao+m+a2+...+67①，

令x=・1,得2J=ao-ai+a2-。3+...+。6-。7②,

a7

①十②二2（a0+a2+。4+6）=2,

所以劭+。2+。4+。6=26=64,

所以42+44+46=64-1=63.

故选：C.

【点评】本题考查了二项式定理，重点考杳了赋值法，属基础题.

6.今天是星期四，经过8100天后是星期（）

A.三B.RC.五D.六

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想：转化法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1,然后利用周期性进行计算即可.

【解答】解：一个星期的周期是7,

,oo,oo2100100

则8=(l+7)=l+C/oO-7+比oo•7+-+C1SS-7=1+(储°。*7+C}00-7?+…+C挪•7),

即8^除以7余数是I,

即今天是星期四，经过8100天后是星期五，

故选：C.

【点评】本题主要考杳二项式定理的应用，求出除以7得到的余数是解决本题的关键，是中档题.

多选题(共3小题)

(多选)7.已知(3+%)"=%+%工+&/+…+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下

列说法正确的是()

A.〃=8

B.展开式中偶数项的二项式系数的和为2'

C.展开式中各项系数的和为49

48+28

D.展开式中奇数项的系数的和为一「

【考点】二项式系数与二项式系数的和.

【专题】整体思想：综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】AD

【分析】由题意可得〃+1=9,可求得〃，利用二项式展开式的性质，结合赋值法逐项判断即可.

【解答】解：由题意可得：二项式展开式共有9项，

又项数为〃+1=9,

所以〃=8,故A正确；

因为〃=8,所以展开式中所有项的二项式系数的和为28,

由二项式的性质可知所有偶数项与奇数项的二项式系数和相等，

所以展开式中偶数项的二项式系数的和为27，故3错误；

令x=l,可得(3+1)8=ao+ai+a2+-+as»

即。0++。2+…+=48,故C错误;

8

令x=-l,可得（3-I）8=ao-山+〃2-…+。8,即劭―Qi+a2-----1-tz8=2,

88

所以2（。0+。2+…+。8）=48+2®>所以。0+。2+…+。8=4,2,

48+28

所以展开式中奇数项的系数的和为工一，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查了二项式展开式的性质，重点考查了赋值法，属中档题.

（多选）8.已知（x-1）9=ao+ci1x+a2x1+,•,+tm9,贝U（）

A.40=1

B.。。+4|+。2+…+。9=0

C.ao-ai+〃2-a3+…+〃8-49=-512

D.00+42+44+46+48=256

【考点】二项式定理.

【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据二项式定理分别令x=0,1,-1,可逐一求解.

【解答】解：已知（x-1）9=ao+mx+a”2+…+。9入"，当x=0时，ao=-1,故A错误；

当X=1时,40+。|+。2+…+。9=0,故B正确;

当x=-l时，〃0-0+42+…-。9=-512,故C正确；

由（40+41+42+…+49）+（40-41+42+…-49）=2（40+。2+。4+〃6+。8）=-512,

则40+42+44+46+48=-256,故D错误.

故选：BC.

【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

（多选）9.若（1一2x）5=%+Qi%+a?/++。5必，则下列结论中正确的是（）

A.ao=1

B.a\+〃2+。3+。4+〃5=2

C.41+43+45=~122

n4.Q2a3a4a5

2481632

【考点】二项式系数的性质.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】AC

【分析】利用赋值法即可逐一求解.

【解答】解：若(1一2%)5=他+%%++。4炉+

令X=0,则。0=1，故A正确；

令X=1可得(1-2)5=40+0+。2+43+。4+。5，

故山+。2+。3+。4+。5=-2①，故8错误；

令x=-1可得(1+2)5=。0-ai+a2-。3+。4-。5=243②，

故联立①②,得〃|+。3+。5=-122,故C正确;

令“轲得，

ao+粤+号+...+华=0,

22225

故?+=+等+粤+黑=一]，故。错误.

2481632

故选：AC.

【点评】本题考查二项式系数的性质及通项公式的应用，为中档题.

三,填空题(共4小题)

10.若(1-3x)5=ao+aix+«2.v2+,,,+U5X5,则〃o=1,m+43+〃5=-528

【考点】二项式系数的性质.

【专题】转化思想：综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】1；-528.

【分析】利用赋值法求解即可.

【解答】解：因为(1-3x)5=ao+aIX+«2X2+,，,+6/5X5,

令x=0,得40=1,

令X=1,得劭+Q]+=(1-3)5=-32,①

令x=-\>得40-a\+a2—Q3+Q4—Q5=(1+3)s=4”②

5

①②得；2(at+a3+a5)=-32-4=-1056,

目『以〃|+。3+。5=-528.

故答案为：1;-528.

【点评】本题考查二项式定理和赋值法的应用，属于基础题.

II.二项式(2%-上)8的展开式中，常数项为112(用数字作答)

vX

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】计算题；转化思想；二项式定理；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二项展开式的通项处理即可

11

【解答】解:依题意，二项式(2〉一右8的展开式的第2+1项为:7>+1=瑞(2%)8T.(-1尸・(%飞尸=。

28f.%8-乳

4

由8—々攵=0解得，k=6,

•J

所以常数项为：(一1)6x22X瑶=112,

故答案为：112.

【点评】本题考查了二项式定理，主要考查了二项展开式的通项，属于基础题.

12.(A--2)(X-1)3的展开式中X的系数为-7.

【考点】二项式系数的性质.

【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】-7.

【分析】根据二项式定理相关知识可解.

【解答】解：二项式(X-1)3的展开式的通项公式为7；+](-1)「，

当r=2时，73=3X,当r=3时，74=-1,

贝ij(x-2)(x-1)3的展开式中x的系数为-1+(-2)X3=-7.

故答案为：-7.

【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

13.(x+l)i0=ao+m(x+2)+。2(x+2)，…+〃10(x+2)|0,贝！，£)a(=0.

【考点】二项式定理的应用.

【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】0.

【分析】利用赋值法求解即可.

【解答】解：令工=-1,可得0=加+〃|+。2+...+〃10,

则刀％5=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

四.解答题(共2小题)

14.已知（2x-1）〃（〃€N*,〃22）的展开式中第3项与第〃-1项的二项式系数之和为30.

（1）求〃的值；

（2）记（2-X）"=刖+初1+g2+…从40，41，42,…，4〃中任取两个相乘，求积为负数的概率.

【考点】二项式系数与二项式系数的和；古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；二项式定理；运算求解.

【答案】（1）6.

4

（2）

7

【分析】（1）结合二项式定理的应用求解即可；

（2）结合古典概型概率公式求解即可.

【解答】解：（1）已知（2t-1）〃（〃€N*,〃22）的展开式中第3项与第〃-1项的二项式系数之和为

30,

贝屿：+7-2=30,

即鬣=15,

即〃=6.

（2）由（1）可得：（2-x）6=ao+aix+t/2x2+,•,+abx6,

则〃o,〃2,44,为正数，a\,43,为负数，

则从。0，41,42，…，4〃中任取两个相乘，积为负数的概率为

C?7

【点评】本题考查了二项式定理的应用，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.

15.已知（1-2%）“=a。++劭/■1--F册/（九£N"）,其中ao,a\,al,tZ/jGR,且（I-2x）n

展开式中仅有第5项的二项式系数最大.

（1）求〃值及二项式系数最大项；

（2）求|ao|+|m|+|a2|+,+|如|（用数值作答）;

（3）求40+。2+。4+〃6+48的值（用数值作答）.

【考点】二项式系数的性质.

【专题】转化思想：综合法；二项式定理：运算求解.

【答案】⑴〃=8；1120J；

（2）6561；

（3）3281.

【分析】（1）根据题意结合二项式系数最大时求出〃的值，再计算75即可；

(2)利用赋值法，令l=-1,求出即可;

(3)利用赋值法，分别令工=1和%=-1,得出两式，相加即可得.

n2n

【解答】解：(1-2x)=aQ+arx+a2x+•••+anx(ne/V*),其中ao,a\,ai,…，4r£R,

(1)因为(1-2.r)〃展开式中仅有第5项的二项式系数最大，

当〃为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即弓+1=5,所以〃=8,

故为一或,(-2x)4_70x16x4-1120x4.

即〃=8,二项式系数最大项为第5项：112(16

(2)令X=-1,得-%+。2---+«8=33

所以|+|洲+…+|涮=6561.

(3)令X—1>得00+01+42+…+。8=1，

8

令x=-1,得a。-ar+a2---+。8=3.

两式相加可得。0+。2+。4+%+。8=/X(38+1)=3281.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

考点卡片

1.古典概型及其概率计算公式

【知识点的认识】

1.定义：如果一个试验具有下列特征：

（I）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；

（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的.

则称这种随机试验的概率模型为古典概型.

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就

可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.

2.古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率

都是一；

n

如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为PGO=用=

nW基本y事.件f总?数/”

【解题方法点拨】

1.注意要点：解决古典概型的向题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因比要注意清楚以下三个方面：

（I）本试验是否具有等可能性：

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件A是什么.

2.解题实现步骤：

（I）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件4

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件人中所包含的基本事件个数小；

（4）利用公式P（A）=与求出事件4的概率.

3.解题方法技巧：

（I）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

2.二项式定理

【知识点的认识】

二项式定理又称牛顿二项式定理.公式(〃+〃)”=£加44・乩通过这个定理可以把一个多项式的多

次方拆开.

例1：用二项式定理估算1.0严=1.105.(精确到0.001)

,olo982

解：1.01'°=(1+0.01)=l+^o-lXO.OH-Cfo-l*O.Ol^H-O.l+O.()O45^1.1O5.

故答案为：1.105.

这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型.

例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是.

解：由题意78=C%x(V3i)3x(-1)7=120X3V3z=360V3f.

故答案为：360V3Z.

通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的

时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了.

性质

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有

(a++…++…+eN*)

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(。+“)〃的二项展开式.其中各项的系数C；"=0J2…/)

叫做二项式系数.

注意:

(I)二项展开式有n+\项;

(2)二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

(3)每一项的次数是一样的，即为〃次，展开式依〃的降基排列，〃的升基排列展开；

(4)二项式定理通常有如下变形：

①(。_6尸=b+…+(_1),b，+・・,+(TYC»：

②(1+x)"=1++C；x，+…+C^xr+…+x”；

(5)要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题.

2、二项展开式的通项公式

二项展开式的第〃+1项6&=°，12・・・,〃)叫做二项展开式的通项公式.它体现了二项展

开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面

有着广泛的应用.

注意：

(I)通项公式表示二项展开式的第f।项，该项的二项式系数是«；

(2)字母〃的次数和组合数的上标相同；

(3)”与〃的次数之和为〃.

3、二项式系数的性质.

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

C=Q,G=C尸,盘=第-2,…，C2=C工

(2)增减性与最大值：当出V半时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知，它的后半部分是逐渐减小

的，且在中间取最大值.当〃为偶数时，则中间一项C?的二项式系数最大；当〃为奇数