2025-2026学年北师大版九年级上册 第一章《特殊平行四边形》单元测试卷（含答案）

第一章特殊平行四边形单元测试卷北师大版2025-2026学年九年级上册

总分：120分时间：90分钟

姓名：_______班级：____________成绩：__________

一.单干选择题（每小题4分，满分40分）

题号1~~34~5~~678~~~~9~~\0~

1.下列命题中，是真命题的是（）

A.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.一组邻边相等的四边形是菱形

D.一组邻边相等且对角线也相等的四边形是正方形

2.如图，在RlZ\A8C中，/84C=90。，AO是AC边上的中线，且八。=5,则8C的长是（）

A.2.5B.5C.7.5D.10

3.一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积S等于（）cm2.

A.48B.24C.12D.18

4.下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（）

A.邻边相等B.对角相等

C.对角线互相垂直D.对角线相等

5.如图，菱形A3C。的对角线AC,B。相交于点。，E是。。的中点，BEA.DC,连接若OE=2,则

BE=（）

A.4B.2石C.2GD.6

6.如图，矩形ABC。的对角线4C,30相交于点。，AC=S,/AOA=60。，则A3的长为（）

A.4GB.2GC.8D.4

DEC

第2题图第5题图第6题图

7.如图，正方形ABC。，AB=2,E为CO的中点，将沿BE折叠到△BFE,延长E尸交AD于点G.连

接BG,则下列结论错误的是（）

B.,.4EG的周长为|+2百

A.的周长为4

?D.的面积为g

c.△瓦心的面积为,

8.如图，矩形A8CO中，入8=3,A/）=l,点”在边C£＞匕若AM平分ZDWB,则0M的长是（）

A.>/2—1B.3-20D.V3-1

9.如图，在菱形48co中，对角线AC与80相交于点。，。是AC上任一点，PE上AB于E,废_L8C于

1

尸，若AC=8,80=6,贝IJPE+M的值为()

A,”

B.5D.10

5

第7题图第8题图

10.如图,RtZXABC中,ZACB=90°,AC=3,8c=4.点。是A8边上的动点，过点。作边AG8c的

垂线，垂足分别为EF、连接EF,则政的最小值为（)

A.3B.2.4C.4D.2.5

第11题图第12题图

第10题图

二.填空题（每小题5分,满分20分）

11.如图，在矩形ABCD纸片中，E为4。上一点，将一CDE沿CE翻折至△CFE,若点F恰好落在4B

上,/W=10,4c=6,则AE=.

12.如图，菱形ABC。的对角线4C、8。相交于点0,过点。作0Hl.A3于点“，连接O"，0/7=3,

若菱形A3c。的面积为24,则A8的长为.

13.如图，在VA8C中，48=8,点。、E分别是边A8、4c的中点，点尸是线段。石上的一点且收=2,

连接AABF,若ZAFB=90°,则线段8C的长为.

14.如图.在边长为6的正方形ABCO中，点E、尸分别在AD、CQ上，AE=DF=2,AF.8E相交于点P,

。是正方形48co的中心，连接OP,则OP的长度为.

第13题图第14题图

三.解答心\K”Q，胆4，总分60分，每题须有必要的文字讥口仲脐宣乩任）

15.如图，在平行四边形/WCO中，AEA.BC,AF1DC,垂足分别为E,F,且3E=DF.

⑴求证：平行四边形ABC。是菱形；

（2）若43=5,AC=6f求四边形A8CO的面积.

⑶连接炉，若NC£F=30。，AE=2g,则四边形A5CD的周长__________.

BEC

16.如图，VABC中，D是AC的中点，过点D作CE_L4C交区。于点£过点人作人尸〃“。交DE于点尸，

连接AE、CF.

⑴求证：四边形AE6是菱形.

⑵若CF=2,ZMC=30°,ZB=45°,求A5的长.

17.如图1,将长方形纸片ABC。的一边C。沿着C。向下折叠，使点。落在边A8上的点夕处.

⑴试判断线段。。与P。的关系，并说明理由；

(2)若AB=5,BC=3,求AQ的长；

(3)如图2,取C。的中点M,连接用O,PM,若/DMP=120。,求证：AP=BP.

18.如图，长方形纸片ABC。中，48=8,将纸片折叠，使顶点B落在边4。上的E点处，折痕的一端G

点在边8C上.

(1)如图(1),当折痕的另一端尸在A8边上且4石=4时，求AF的长.

(2)如图(2),当折痕的另一端尸在AD边上且8G=10时,

①求证：EF=EG.

②求"的长.

3

H

19.如图，在矩形八BC。中，四边形四历,四边形EC尸。分别是面积为6,2的正方形,点。在EF上.

⑴求四边形/Q。。(阴影部分)的面积；

⑵连接AE,EP,分别求AE,EP的长；

⑶在中，求边"上中线的长.

20.已知如图1,七是正方形48CO边AC上一点，连接AE,过点3作4b_L于点G,交CD于点F.

⑴试猜想AE与8F的数量关系并证明；

(2)如图2,若点E为BC的中点，其他条件不变，连接。G,请判断AO与。G的数量关系，并证明；

⑶如图3,将边长为6的正方形A8CD沿E/折叠，使得点A落在8c的中点4处，点。落在点以处，求折

痕E尸的长.

图1

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案BDBBCDBBCB

二、填空题

11【解】解：团在矩形A8C£＞纸片中，E为40上一点，将,COE沿CE翻折至△CFE,

田AD=BC=6,CD=CF=AB=10,DE=EF,NA=NB=90°,

QBFNCFJBC?=8,

4

^AF=AB-BF=2,

设AE=x,贝ijM=QE=6-x,

由勾股定理，得：EF2=AE2+AF~，BP：(6-x)2=x2+22,

Q

解得：工建；

J

0AE="

3;

Q

故答案为：j.

12.【解】解：伺四边形A4CO是菱形，

回AC_L8£),Q0=40,A0=0C,

^DHLAB.

0ZZ)™=9O0,

回。0=80,

^OH=OB=-BD=3,

2

SBE>=6,

13s变形诋。AC8。=24，

0-4Cx6=24,

2

040=8,

I3QA=4,

田ABMJO4+OB，=5,

故答案为：5.

13.【解】解：团乙4尸8=90。，点。是边/W的中点，

□DF=-AB=4

2Z

□DE=DF+EF=4+2=6,

13点。、E分别是边A4、AC的中点，

团。E是VA8C的中位线，

:.BC=2DE=12t

故答案为：12.

14.【解】解：团四边形A3C。是边长为6的正方形，

⑦AB=BC=CD=6,ZABC=ZBCD=ZBAD=90°；

如图所示，以点B为原点，8C,A8所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系,

0A(O,6),C(6,0),

国。是正方形A4CO的中心，

[3。是AC的中点，

00(3,3),

5

团AE=£＞尸=2,

0E（2,6）,CF=CD-DF=4,

"（6,4）；

设直线AF解析式为y=kx+b（k。0）,

6%+力=4

b=6

3,

b=6

（3直线AF解析式为y=~x+6,

同理可得直线此解析式为＞'=3x,

9

y=3xx=—

5

联立《I，解得

y=-—x+b27

＞，=T

J927）

回

田OP=

故答案为：述.

5

三、解答题

15.【解】（1）证明：回四边形A8CO是平行四边形,

.•"=ZD，

VAE1BC,AFJ.CD,

:.ZAEB=ZAFD=90°,

在和中，

ZAEB=NAFD

BE=DF

NB=N。

AEB^AFD[\S\）,

：.AB=ADf

团平行四边形A8C3是菱形；

（2）解：如图，连接8。交AC于点O,

国四边形A8CD是菱形，AC=6,

BEC

6

/.AC±BD,AO=OC=—AC=3,BO=DO,

2

・.・48=5,AO=3,

==V52-32=4-

/.80=230=8,

■-^«CD=^C.^=1x6x8=24；

（3）解：连接E厂,

由（1）可知，平行四边形ABC。是菱形，

.-.AB=I3C=CD=AD,NAC3=L/B8,

2

•:BE=DF,

：.BC-BE=CD-DF,

g|JCE=CF,

:./CFE=/CEF=30。,

/.NECF=180°-30°-30°=l20°,

/.ZACB=-ZECF=60°,

2

・•.A3C是等边三角形，

=AC=BC,

•・•AE1BC,

/.Z4EC=90°,BE=CE=-BC=-AC,

22

在RJACE中，由勾股定理得：人石=JAC?-CE?=J（2CE）2—CE?=&CE=26,

；.CE=2,

：.BC=AC=2CE=4f

回四边形A8CO的周长=48C=4x4=16,

故答案为：16.

16.【解】（1）证明:如图,在f.ABC中，点。是4c的中点,

:.AD=DC,

.AF\BC,

/.ZFAD=ZECD,ZAFD=ZCEDf

"五度CED（AAS）.

:.FD=ED,

团四边形AECE是平行四边形，

点。是AC的中点，即物垂直平分AC,

/.AF=FC,

・•・平行四边形4EC/是菱形.

（2）解：如图，过点A作4G_LBC于点G,

由（1）知四边形AEC尸是菱形，

,-.CF=AE=2fZMC=30°,

7

VAE=CF=2,FD=ED,

.•.ZME=2ZE4C=60°,

AF\BC,

:.Z.FAE=ZAEB=60G

在RkAGE中，ZG4E=30°,

:.GE=^AE=\tAG=6GE=后,

在Rtd.AGB中，ZB=45°,

.♦./G43=NA=45。，

BG=AG=0

：.AB=y/2BG=瓜.

17.【解】（1）解:CQVPD,理由如下：

如图，

由折叠的性质得，DQ=PQ,CD=CP,

回CQ是。〃的垂直平分线，

SC0XPZ）；

（2）解：团长方形纸片A8C。，

□ZA=ZB=Z/?CD=ZD=90°,CD=AB=5,AD=BC=3,

由折叠的性质得，CP=CD=5,DQ=PQ,

由在RtZXBCP中，BP7c产一BC，=5/52-32=4,

但AP=A8-8P=5-4=1,

设AQ=x,则PQ=DQ=3—x,

(3在R3AQP中，AQ2+AP2=PQ2,

3X:+12=(3-X)2,

4

解得：x=",

八4

0AQ=—；

J

(3)证明：由折叠的性质得，NCPQ=NCDQ=90。,

团C。的中点M,

0DM=CM=1cg,PM=CM=；CQ,

©ZMDC=/MCD,2Mpe?MCP,

(3ZDMQ=2ZDCM,ZPMQ=2ZPCM,

0ZDMP=4DMQ+4PMQ=2(ZDCM+NPCM)=2/DCP,

又®NOA〃=120。，

@ZDCP=60°,

0ZBCP=/BCD-NDCP=90°-60°=30°,

8

团在RtZXBCP中，BP=-CP,

2

又ECP=CD=AB,

2

田AP=BP.

18.【解】（1）解：（3纸片折叠后顶点B落在边A。上的E点处，

中BF=EF,

04£?=8,

□EF=8—AF,

222

在RtA所中，AE+AF=EFf

即4?+A尸2=（8一人尸））

解得：A尸二3；

（2）解：①回纸片折叠后顶点8落在边AO上的E点处，

0ZBGF=NEGF,

团长方形纸片48co的边AD//BC,

©ZBGF=々EFG,

但ZEGF=/EFG,

^EF=EG；

②削纸片折叠后顶点B落在边A。上的E点处，

@EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,

QEF=EG=IO,

在Rt△⑶T/中，FH=\IEF2-HE2=x/lO2-82=6•

^AF=FH=6.

19.【解】（1）解：团四边形他”，四边形£CFQ分别是面积为6,2的正方形,

®BE=EF=AF=AB=R,QE=QP=CP=CE=>/2,

00F=x/6-6,

13四边形ABC。是矩形；

回四边形尸。“。是矩形，

回四边形42。。(阴影部分)的面积为&?(#72)=273-2.

(2)解：国四边形A8所，四边形ECPQ分别是面积为6,2的正方形,

6BE=EF=AF=AB=m，QE=QP=CP=CE=yf2,4=NC=90。，

^AE=ylAB2+BE2=2>/3»PE=>JCE2+CP2=2-

（3）解：如图，取AP的中点K,连接EK,

团四边形ABE。四边形ECPQ是正方形，

回？AE845??PEC,

0?AEP180?45?45?90?,

9

0AE=2s/3,PE=2,

田AP=JAE、PE?=4,

^EK=-AP=2.

2

20.【解】（1）解:AE=BF.

证明：如图1,

「四边形