2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末考试卷（含答案解析）

2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末考试卷（含答案解析）

学校:班级：姓名：考号：

一.选择题（共io小题）

1.用6个同样的小正方体拼成•个立体图形，从上面和正面看到的图形都是,从右面看到的图形

是,这个“•体图形的形状是下面的图（

放叵，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“8敖丙”的概率为（）

A哪吒B敖丙C太乙真人D无母仙翁

3.若利是一元二次方程1=0的一个实数根，则2〃P-10〃什2025的值是（）

A.2023B.2026C.2027D.2028

4.如图，在平行四边形4BCO中，£为CO上一点，连接AE,BD,且AE,8。相交于点尸，SgEF：&/"=4：

25,则DE：DC=（）

A.3：2B.2：3C.3：5D.2：5

5.如图，正方形ABC。的边长为8,对角线AC,8。相交于点O,点、E,r分别在8C,CQ的延长线上，且CE=

4,DF=2,G为的中点，连接。£,交CO于点儿连接G从则G”的长为（）

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AD

G

BCE

A.5B.y/13C.2V5D.4

6.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压〃（kPa）和气体的体积¥（〃/）存在一定

的工数关系.下表是几组气体的气压〃与气体的体积V的对应值，则当气体的体积V为0.8〃?3时，气体的气压〃

最接近（）

气体的体积V（〃尸）3210.5

气体的气压〃（kPa）324896192

A.120B.100C.96D.90

7.如图，矩形纸片ABC。的长宽AB=b,E,尸分别为AD,8C两边的中点.若将这张纸片沿着直线EF

对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则a：b等于（）

A.42：1B.V3；1C.2：V3D.2：I

8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1,以直角三角形的各边

为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角

边分别为6和8,则图中阴影部分的面积为（）

9.如图，在平面直角坐标系中，交），轴于点人，BCLOC,/人O8=N8OC=3（）°,AB=\,反比例函数

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y=士也手0）恰好经过点C,则％的值为（）

C.V3

10.如图，分别经过原点。和点A（4,0）的动直线。，8夹角NO8A=30°,点M是08中点，连接4M,则sin

二.填空题（共5小题）

II.如羽，AC是正方形48CD的对角线，E,F,O,G分别是4DBE,AC,C/的中点.若OG=遍，则A8的

长为_______

12.如第，点A,B,。为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与x轴的交

点分别为点。，E,F,图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为Si,S2,其中。。：DE：EF=\：2：3,

若Sz=6,则Si=.

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13.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程".例如』=4和（x

-2）（x+3）=0有且仅有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“同伴方程若方程61+7x-5=（）和（x

-1）（A+/77）=0为“同伴方程”，则加的值为

14.在△ABC中，BC=4=tanZACB=3,。为A8边上一动点，PO_L8C交于点。，PELAC交于点E,

连接。£,求。£的最小值

C,A分别为x轴、），轴正半轴上的点，以。4,OC为边，在第一象限内作矩形

OABC,AS矩形OABC=FK，将矩形。人翻折，使点B与原点。重合，折痕为MM点C的对应点C'落在第

Zz

四象限，过M点的反比例函数y=7（kH0）的图象与线段MN交于点Q,并且MN=2QN,则点C的坐标

16.下面是嘉嘉同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成下列问题.

解：2(x+3)2=x(x+3)

方程两边同时除以Q十3），得：2（人十3）=人第一步

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去括号，得：lv+6=x.第二步

移项、合并同类项，得：x=-6.第三步

（1）以上解方程的过程，从第步开始出现错误；

（2）请你写出正确的解答过程.

17.如图，4c是菱形A8C。的一条对角线，点B在射线AE上.

（1）请用尺规把这个菱形补充完整.（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若4c=675,NC4B=30°,求菱形ABC。的面积.

18.如图，团A8CO中，点E是A。的中点，连结CE并延长交84的延长线于点F.

(1)求证：AF=AB,

（2）点G是线段Ab上一点，满足NFCG=NH?。，CG交AD于点、H,若AG=2,FG=6,求G”的长.

19.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高.已测出树A8的影长4c为9加，并测出此时太阳光线与地面成30°

角（计算结果精确到0.16,参考数据：在-1.414,75-1.732）.

（1）求树A3的高度.

（2）因水土流失，此时树A/3沿太阳光线方向倾倒.在倾倒过程中，树影长度发生了变化.假设太阳光线与地

面夹角保持不变，试求树影的最大长度.

AC

20.如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台8N,该平台上有一个竖直的建筑物CD在4处测得建筑物顶

端C的仰角为30°,在B处测得C的仰角为60°,斜坡4B的坡度i=l：3,=米，COJ_8D.（点A,

B,C,。在同一竖直平面内）.

（1）求平台4N的高度；

（2）求建筑物的高度（即C。的长）.

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c

21.综合实践：由三角形面枳到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原

点时，面积可以通过一个简洁的公式表示.

若点O(0,0),A(m,ya)和B(初，泗)，则△OAB的面积为：|%九一4几1；

乙

如图1SAOAB=%•a•%-%%一如a-与)伍一%)1=^\xayb-xbya\.

任务一：公式验证

(1)若点、M(I,3),N(3,1),则的面积为；

任务二：对标函数

(2】如图2,点A,B在反比函数y=?(x>0)的图象上，A,8的纵坐标分别是3和6,连接0人，OB,若△Q48

人

的面积是6,求女的值；

任务三：图形变换

(3)若点P坐标为(3,2),点。的坐标为(〃?，〃L1),且△OPQ的面积为1,将线段PQ沿4轴平移，P、Q

两点是否会同时落在某双曲线y=:上，若能，直接写出此时机、〃的值，若不能，请简要说明理由；

/V

(4)如图3,已知点A(-r,/)在第二象限，NQ4B=30°,C、。在射线4B上，△OCO的面积为4/5，将

反比例函数y=-举绕坐标原点O顺时针旋转45°，刚好经过C、D两点，求线段OD的长

人

度.图I图2图3

22.已知xi,X2是关于x的一元二次方程(〃?+2)f+2(m-2)x+/〃+10=0的两实数根.

(1)求DI的取值范围；

(2)己知等腰8c的底边BC=4,若川，m恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.

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(3)阅读材料：若△A8C三边的长分别为a,b,c,那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S&ABC=

Jp(p-a)Q-b)Q-c),其中〃二色磬，在(2)的条件下，若NBAC和NA8C的角平分线交于点/,根据以

上信息，求△4/C的面枳.

23.阅读下列材料，回答问题.

任务：高速公路路面形变探测

问题背景在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上

车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆

起的情况.这不仅会影响行车的舒适性，还可

能带来安全隐患.为了及时准确掌握公路路面

的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形

变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于

基准位置.下降或隆起超过3厘米时，道路养护

部门就需要进行修复

素材1：设备原理该探测仪的工作原理基于激光探测.如图①，

探测仪尸发出光线P0,射向路面的白色反光涂

层，经路面反射后，形成反射光线QG其中光

线。。与路面的夹角等于反射光线QC与路面的

夹角，均为a,且。始终保持恒定.水平安装在

道路旁特定支架上的信号收集端人8,负责捕捉

反射光线QC,借此实现对路面情况的探测.

素材2：基准参数如图①，在基准位置下测得，点P和收集端

与路面的垂直距离分别为8厘米和10厘米，点

P与收集端端点4的水平距高是24厘米，且AC

为12厘米,BC为10厘米.

素材3：形变探测如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射

光线在收集端上的落点C会产生移动，记移动

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后的反射光线为QCi,移动距离为CCi,若路

面下沉，点。向右移动；若路面隆起，点C向

左移动（向右记为正、向左记为负）.通过ca

的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值.

（1）依据素材2所给的条件，求lana的值；

（2）如图②，设路面下沉了x厘米，的长度为），厘米，请求出），与x的关系式，并求出在基准位置下，该

探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围；

（3）当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点C会超出收集端测量范围，导致无法测量.已知信号收集端

A6可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能

正常测晨，在保持入射光线落点Q和探测仪。位置不变的情况下，应如何调整收集端人8的长度？

参考答案与解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DACDBAABBA

一.选择题（共10小题）

1.【答案】。

【分析】根据题意，从上面和正面看到的图形可排除8和G根据右面看到的图形可得出答案.

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故选：。.

【点评】本题考查的是根据三视图正确辨认简单几何体形状.

2.【答案】A

【分析】作树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2,然后根据

概率公式求解即可.

【解答】解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：

开始

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“4明口正”、“3敖丙''的结果数为2

・•・两次取出的2张卡片中图案为“A明卬E”、“8敖丙”的概率为三二*

126

故选:A.

【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式为解题的关健.

3.【答案】C

【分析】利用一元二次方程根的定义，得到机2-5〃?的值，然后整体代入代数式求值.

【解答】解：若〃?是一元二次方程7-5x-1=0的一个实数根

/.nr-5m-1=0

即n?-5m=1

，原式=2（川-5〃?）+2025=2X1+2025=2027.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，正确进行计算是解题关键.

4.【答案】。

【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB,DC=AB,得到用，根据相似三角形的性质计算即

可.

【解答】解：：四边形A8CO是平行四边形

：,DC=AB,DC//AB

.SgEF24

S^BFA25

•D_E__2

••

AB5

'：AB=CD

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ADE：DC=2：5

故选：D.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解

题的关键.

5.【答案】B

【分析】如图，连接OF,作OM_BC于M,ONLCD于N,可得MC=鼻。=4=CE,ND=^CD=4,HC

是△EOM的中位线，GH是厂的中位线，在Rt^ON厂中，由为股定理得。尸一'ON?+N户求出。尸的值,

然后根据GH=，5求出G”的值即可.

【解答】解：如图，连接。F,作。MJ_8C于M,ONLCD于N

•••区边形ABC7)是正方形

・・・NAC8=NBOC=45°，NOCB=90°，OA=OB=OC=OD

11

：

,MC=4乙FC=4=CEON乙=ND="D=4

・・・C为ME的中点，NF=ND+DF=4+2=6.

VZDCB=90°,OMLBC

：,HC//OM

.EHCE

jOH~CM

：.EH=OH

••・”是OE的中点

・・・GH是△()£：?的中位线

：・GH=\0F

：.0F=>JON2+NF2=2/13

:.GH=g

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质，中位线，勾股定理等知识.解题的关键在于明确GH是AOE广的中位线.

6.【答案】A

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【分析】设尸与V之间的函数表达式为〃=£，当V=3时，〃=32,求得〃与V之间的函数表达式为片当，把

V=0.8代入解析式即可得到结论.

【解答】解：设尸与V之间的函数表达式为〃=£

当V=3时，〃=32

・・・32弓F

AF=96

・••〃与V之间的函数表达式为片竿

当V=0.8W，p=^1=120

:,兰气体的体积V为0.8〃,时，气体的气压P最接近\20kPa

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是

确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

7.【答案】A

【分析】利用相似多边形的性质求解即可.

【解答】解：:四边形A8CO是矩形

：・AB=CD=b,AD=BC=a

,:E.F分别为AO,3C两边的中点

:・AE=ED=BF=CF=1

•・•两个矩形与原矩形均相似

,AEAB

''AB~BC

.1=^

**ba

a>0,b>0

故选：A.

【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质.

8.【答案】B

【分析】将阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的边关系，即可求解.

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【解答】解：将阴影部分分割如图所示:

根据直角三角形的三边为6、8、10.

所以阴影部分的面积为2X10+2X2=24.

故选:B.

【点评】本题考查的是正方形性质即四边相等：勾股定理，即两条直角边长分别是小b,斜边长为C,那么“2+/

=(?.

9.【答案】B

【分析】先根据勾股定理，算出点C的横坐标和纵坐标，即可求出左的值.

【解答】解：在RtZXAOB中

ZA0B=3Q°,AB=\

/.A0=1X2=2

BO=yJ22-l2=V3；

在□△COB中

N8B=30°,BO=^3

：,BC-V3

比=一的=

313

，C点的纵坐标为：一x-二一；

224

。点的横坐标为:

339

-X

*=4-V3

416

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关谯是根据勾股定理和函数的坐标特征来解答.

10.【答案】人

【分析】作的外接圆。r，连接or,TA,TB,取or的中点K,连接KM.证明KM=4〃=2,推出点M

在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当人M与OK相切时，/O人M的值最大，此时sin/O人M的值最大.

【解答】解：如图，作△AO9的外接圆。丁，连接07,7AfTB,取OT的中点K,连接

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•••△OAT是等边三角形

VA(4,0)

:・TO=7A=TB=4,T(2,2百)，K(1,6)

•：OK=KT,OM=MB

：.KM=畀8=2

・••点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动

当AM与OK相切时，NQ4M的值最大，此时sin/OAM的值最大

•••△O以是等边三角形，OK=KT

：.AK±OT

：.AK=70A2-OK2=V42-22=2B

是切线，KM是半径

：,AkflKM

22

.・.A"=>JAK-MK=J(2百/,22=272

过点M作ML_LQ4于点L,KR上0A于点R,MPLRK于点P.

*：ZPML=ZAMK=90°

：.NPMK=ZLMA

•••NP=NML4=90°

：・4MPKS4MLA

•MPPKMK2__1_

ML~AL~AM~2V2-A/2

设PK=x,PM=y,则有用AL=0x

/.>/2y=V3+.您，y=3—\[2x

初坦3x/2—733+v/6

解得，x=----2----，y=3

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372+273

/.ML=V2y=

3

3々+2再”z

ML_3_3+J6

，sinNOAM=AM=2/

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

二.填空题(共5小题)

II.【答案】8

【分析】通过设正方形边长为小利用正方形性质、中点坐标公式确定各点坐标，再根据两点间距离公式结合0G=

遍求解。的值.

【解答】解：设以A为原点，A8所在直线为x轴，A。所在直.线为)，轴，建立平面直用坐标系，如图

则4(0,0),B(小0),D(0,a),C(a,a).

：AC是正方形ABCD的对角线，E,F,O,G分别是AO,BE,AC,CF的中点

/.EiO,

・,唱，》

:。是4c中点，A(0,0),C(a,a),G是C77中点

二。冬一G片,怜

根捱两点间距离公式，0G=J聋一为2+(等一犷二6，即J给2+(款=V5

解得4=8

故答案为:8.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识并建立坐标系求解是解题的关键.

12.【答案】12.

【分析】设反比例函数解析式为y=于0),由O。：DE：EF=\：2：3,则有力=c=1k,d=/,通

过反比例函数系数&的几何意义可得Si+4+b=/?+c+4=攵，S2+a+b+c=b+c+d=k,2(b+a)=c+S2,则有6+a+

第14页共29页

1111

"+《k=k,-k+2a=-k+6,求得a=3,左=18,然后代入即可求解.

6333

【解答】解：如图，设反比例函数解析式为y=1(kH0)

S1+ci+b=b+c+d=kfS2+4+%+c=b+c+d=A,2(b+a)=c+S2

+a)=Jk+6,6+a++^k=k

t>303

11

k+2a=-k+6

33

・..a=3,k=18

：.b=3

・・・Si+3+3=18

ASi=12

故答案为：12.

【点评】本题考查反比例函数系数女的几何意义，熟练掌握反比列函数攵的几何意义是解题的关键.

13.【答案】斗诚.

23

【分析】先求出一元二次方程6X2+7X-5=0的解xi=i,xi=一微，根据方程6X2+7X-5=0和(x-1)(x+m)=

0为“同伴方程”，分情况求解即可.

【解答】解：6?+7A-5=0

(2^-1)(3x+5)=0

15

解得--

2.r23

当相同的根是x=3时

11

代入方程可得(一一1)(一+〃?)=0

22

解得："?=—

此时方程为(X-1)(x+分=0,可得：Xl=l,X2=^符合题意;

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当相同的根是冲空时

代入方程（Y—1）（Y+,〃）=o

解得：

此时方程为（X-1）（X+卷）=0,可得：XI=1»X2=~符合题意；

・•・〃?的值是一2或:

故答案为：一义或a

乙3

【点评】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”，解一元二次方程.熟练掌握以上知识点是关键.

，【答案】之6-75.

【分析】连接CP,作△PCO的外接圆。O,根据9_LBC,PEUC得点E在△PCD的外接圆。0上，因此当

00的直径为最小时，DE为最小，根据“垂线段最短”得当CP_LW8时，CP为最小，此时。£为最小，过点A

作AF±BC于点"，过点D作DIILPE,交EP的延长线于点〃：解RtA/ACF得CF=1,Ab=3,进而得DF=

A尸=3,则AABF是等腰直角三角形，解RlZSAB尸得AB=3心，证明△BPC是等腰直角三角形并解此三角形得

PD=BD=CD=2,BP=CP=2企,进而得PA=\[2,由三角形面积公式得PE=马普，设贝"EH=Q+绰

JJ

根据圆周角定理得NPEO=NPC4=45°,则△〃/）七是等腰直角三角形，继而得/）”=£〃=Q+空在心△

HPD中，由勾股定理求出。=胆,则DH=EH=a+缪=绰2然后由勾股定理求出DE的长即可得出答案.

【解答】解：连接CP,作△/co的外接圆。。如图।所示：

•：PD上BC交于点、D

AZPDC=90°

:.PC为△PCD外接圆。的直径，圆心O为PC的中点

•・・PEJ_AC交于点E

・•・ZPEC=90°

第16页共29页

・••点E在△PC。的外接圆O。上

，当00的直径CP为最小时，为最小

根据“垂线段最短”得：当CP_L/W时，CP为最小，此时。石为最小

过点A作ARLBC于点凡过点。作交EP的延长线于点H,如图2所示:

在RlZXAC/中，tanNACB=3,AC=V10

AF

/.tmZACB=汴=3

：,AF=3CF

由公股定理得：AF2+CF2=AC2

.--（3CF）2+CF2=（VTo）2

解得：CF=1

：,AF=3

*：BC=4

；・RF=BC-CF=3

：,BF=AF=3

•••△A8/是等腰直角三角形

•••NB=45°

/.sinZB=篇

•AB—4'——-——3夜

••A"sinB~sE45。-3V乙

'CPCA-AB

•••△8PC是等腰直角三角形

ipr

:,BP=CP,PD=BD=CD=^BC=2,NB=NPCB=45°,si但麴

/.BP=CP=BC*sinB=4Xsin45°=2或

：.PA=AB-BP=3V2-2V2=V2

•・・CPJ_A&PE±AC

第17页共29页

由三角形面积公式得：S△抬c=%C・PE=

,PACP72x2/22/10

AC0^5

设尸，=小其中〃>0,则七〃=P〃+PE=Q+与9

'JDHA.PE

・•・4HDE和△"P。都是直角三角形

根据圆周角定理得：ZPED=ZPCB=45C

・•・△〃£）£：是等腰直角三角形

；.DH=EH=a+^^

在RtZ\，PO中，由勾股定理得：PH2+DH2=PD2

・,・小+（。+等）2=22

整理得：5a2+2V10a-6=0

解得：a=胆，。=一3兽（不合题意，舍去）

・n口一巾^2/103710

..DH=EH=aH——F—=—F—

JD

22

由公股定理得：DE=y/DH+EH=>/2DH=V2x=

6x/5

，OE的最小值是三.

故答案为：器.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解垂线段最短，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外

接回，圆周先定理，灵活利用锐知三角函数的定义，三角形的面枳公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键.

15.【答案】（V30,0）.

【分析】利用翻折的性质，推导全等的三角形，利用矩形的面积公式与三角形的面积公式进行推导线段的长，反

比例函数A值几何意义，进行计算.

【解答】解：如图，连接OB,交MN于点Q

第18页共29页

:矩形OA3C翻折，使点3与原点重合，折痕为MMOBLMN

，QB=QO,MB=MO

*：AB//CO

，NABQ=NNOQ

,:乙MQB=4NQ0,而OQ=BQ

•••△BQMdOQN（AAS）

JQM=QN,即点Q是MN的中点

过点。作Q〃_LOC于点〃

则QH是△O8C的中位线，则RtZ\O〃QsRtZ\OC8

则RtZ\O〃QsRtZ\oc8,而S^OBC=|xV15=

me1vN<15质储俎/15vis

则S*OHQ=4x-2-=-g-解得，k—2x-g-=

丁点M是反比例函数上的点，则SMOM=*,5矩形4。。8=。八・.48=V15,SAyl0M=*x。力x故4M=\AB,

设AM=a,则8M=3a=OM,在《△OAM中根据勾股定理得

0A=V9a2-a2=2aQ,S“OM=1X2^2axa=

乙o

得八罂

・••%=孥，&=一孥（舍去），（负值已舍去），则A8=4a=怖

•：OC=AB

AC（V30,0）

故答案为：（烦，0）.

【点评】此题考查了翻折变换，反比例函数系数4的几何意义，反匕例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判

定与性质，坐标与图形变换-对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知

识

三.解答题（共8小题）

16.【答案】（1）一；

（2）2（A+3）2=x（A+3）

2G+3）2-x（x+3）=0

(x+3)(A+6)=0

，x+3=0或x+6=0

/•xi=-39X2=~6.

第19页共29页

【分析】(1)根据解方程的方法得到错误之处和错因；

(2)利用因式分解法进行正确求解即可.

【解答】解：(1)从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以一个可能为0的代数式(户3)

故答案为：一；

(2)2(x+3)2=4(x+3)

2(A+3)2-X(X+3)=0

(x+3)(A+6)=0

・"r+3=0或l+6=0

.*.xi=-3,X2=~6.

【点评】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键.

17.【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据菱形的性质作出图形即可；

(2)根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)如图所示；

(2)设3Q,AC交于O

•・•匹边形人8C。是菱形

：.AC±BD,AO=CO=^AC=343

VZCAB=30°

・・・80=当0=3

：.BD=2BO=6

【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，作图-基本作图，正确地作出图形是解题的关键.

18.【答案】⑴证明见解答;

(2)1.2.

第20页共29页

【分析】(1)介绍两种解法：1,先根据A4S证明△COE0△四£,再由平行四边形的性质可得结论；

2,先根据AAS证明△布E,得CE=EF,再根据平行线分线段成比例定理可得结论；

(2)先根据(1)可得：AB=AF=S,由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG=GF=6,证明△OCT/s4

AGH,列比例式可得G"的长.

【解答】(1)证明：证法一：•・•四边形A8C。是平行四边形

:、AD/1B3CD//AB,CD=AB

AZD=ZMD,ZDCE=ZF

•・,£是A。的中点

：.DE=AE

(AAS)

；・CD=AF

・・・4F=AB；

证法二：•・•四边形A8CO是平行四边形

:.ADHBC,CD//AB

AZD=ZMD,ZDCE=ZF

是的中点

：.DE=AE

AACDE^AME(AAS)

:・CE=EF

，：AE〃BC

FAFE

•__1

••—1

ABCE

：.AF=AB；

(2)解：・・・AG=2,FG=6

:.AF=尸G+AG=6+2=8

，AB=AF=8

•・•匹边形ABCD是平行四边形

：,CD=AB=S

■:乙DCE=4F,ZFCG=ZFCD

：.ZF=ZFCG

/.CG=FG=6

,/CD//AF

第21页共29页

：.4DCHs4AGH

CDCH86-GH

—=--»即-=-----

AGGH2GH

,GH=12.

【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等矢1识，掌握三角形

全等和相似的性质和判定是解本题的关键.

19.【答案】⑴5.2m；

⑵10.45.

【分析】（1）在RtZVlBC中，已知NAC8=30°,根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可

设A8=x,BC=2x,通过勾股定理得到关于x的方程，进行求解即可；

（2）过点A作AQ_L太阳光线于点。，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解.

【解答】解：（1）VZACB=30°,：,AB=^BC.

设A8=x/〃，则8c=2A7〃.

由勾股定理，得482+AC2=8C2

即£+9?=（2r）2

解得％=3k々5.2（负值己舍去）.

故树A8的高度约为5.2加；

（2）当树与光线垂直时，树影最长

过点4作4O_L太阳光线于点。，且AO=A8

AC乜

*：AD=5.2m,NAOE=90°,NAEQ=30°

：.AE=2AD=\0.4m.

故树影的最大长度为104〃.

【点评】此题考查了平行投影；通道作高线转化为直角三角形的问题，当树与光线垂直时，树影最长是解题的关

键.

20.【答案】⑴10米;

（2）（15百-15）米.

【分析】（1）过点8作于E,根据坡度的概念得到再根据勾股定理求出BE；

（2'延长CD交AM于F,设CD=x米，根据正切的定义用x表示出4AEF,根据题意列式计算得到答案.

第22页共29页

【解答】解：(1)如图，过点3作于E

•・,斜坡48的坡度为I：3

BE1

•••_=一

AE3

，AE=3BE

在RtZX/WE中，AB2=BE2+AE2,即(10\/10)2=BE2+(3BE)2

解得：5E=10

答：平台8N的高度为10米：

(2)如图，延长C。交AM于产

则CFLAM

••・匹边形4£尸。为矩形

••・。/=8石=10米，BD=EF

设CO=x米，WOCF=(x+10)米

在中，ZCAF=30°

CF

VtanZCAF=亦

.\[3x+10

••™-

3AF

：.AF=V3(x+10)米

在RtZ\CBD中，ZCBD=60°

则Q-西矍前-学米

由(1)可知：AE=38E=30米

・,・次(x+10)-祟=30

解得：x=15百一15

答：建筑物的高度为(15百-15)米.

【点评】本题考查的是解直角「角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握锐角三角函教的定义、坡度的

概念是解题的关键.

第23页共29页

21.【答案】(1)4；(2)Ar=8；(3)M=5,〃=・8；(4)线段。。的长度为2K.

【分析】(1)运用题目给出的公式即可求得答案；

(2)根据题意得出小8的坐标，再运用题目给出的公式即可求得答案；

(3)根据△OPQ的面积为1,列方程求得切=5或1,则Q(5,4)或。(1,0)(舍去)，进而可得P'(3+s,

2),Qf(5+s,4),即可求得〃=-8；

(4)将△04。逆时针旋转45°得到△04'。'，设射线A'D'交)，轴于E,交双曲线于C',D,连接。C,

0D',则OD=OD',0A'=。4,NOA'E=ZOAB=30°,△0C'D'g△OCO,ZAOA'=45°,利用

待定系数法可得出A'E的解析式,，设C'、。'的横坐标分别为c、d,由△OCO的面积为4。可得出c=3d,

再将点C'、。’的坐标代入A'E的解析式，求得d的值，即可求得答案.

【解答】解：(1)•・•点M(1,3),N(3,1)

)1X1-3X3|=4

故答案为：4：

4k13

:.SAOAB=x6-x3|=||-^=6

zo4z

・••仁士8

•・Z>0

・・・仁8：

(3)VP(3,2),Q(w,m-1),且△0PQ的面积为1

1

A-|3(w-1)-2w|=l

解得："7=5或1

:.Q(5,4)或Q(1,0)

设线段PQ沿x轴平移s个单位

当Q(5,4)时，P'(3+5,2),Q'(5+5,4)

第24页共29页

若P、。两点是否会同时落在某双曲线）=3上，则2（3+$）=4（5+s）

解得：s=-7,即线段PQ沿x轴向左平移7个单位

:.P'（-4,2）,Q'（-2,4）

：,n=-4X2=-8；

当Q（1,0）时，沿x轴平移后。（1+1,0）在x轴上，不可能落在双曲线上

综上，〃?=5,〃=-8；

（4〕如图，将△04。逆时针旋转45.得到△04'。'，设射线A'D'交），轴于£，交双曲线产一挛于C”

。'，连接OC',OD'

"

则0。=。。'，OA'=OA,ZOA'E=ZOAB=30a,△OC'D'0△OCQ,ZAOAr=45°

设U(c,-平)，D'(d,-乎)，且cVdVO

•・,点A(-/,/)在第二象限

：・OA=®,且04与x轴负半轴夹角为45°

；•点A'在x轴负半轴上

・・・A'(-V2/,0)

在RlZXMOE中，NOA'E=30°

・"'E=20E

,：OE1+OA,2=A'E1

/.OE2+(V2r)2=(2OE)2

；・OE=净

设4E的解析式为)，=HH•圣，则-扬力+羽=0

，A'E的解析式为产争，+净

•••△。。。的面积为4，5

第25页共29页

，务(-好)-d•(一手)|=46

整理得:|--H=x

cdJ

cd

V->-X)

ac

cas

•*•

dc3

A-=3

a

：.c=3d

AC'(34,--^)

把U(3d,

(V3d+-43

~d

-343

~d~

解得：d=±V3

・・・d<0

:・d=-V3

：.Dr（-V3,3）

・・.0D，=J（V3）2+32=2V3

・•・线段o。的长度为2vs.

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的交点，旋转变换的性质，熟练

运用待定系数法和旋转变换的性质是解题关键.

22.【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据△20,构建不等式求解即可；

（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用△=（）,构建