2025-2026学年人教版八年级数学上册 第17章《因式分解》单元综合练习题

20251026学年人教版八年级数学上册《第17章因式分解》单元综合练习题(附答案)

一、单选题

1.下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是()

A.x2+2x+2=(x4-I)2+1B.(x+212=x24-4x+4

C.——2%+1=%(%-2)+1D.2x4-2y=2(x+y)

2.分解因式/。-3)+d3-y)的正确结果是()

A.(y-3)(x2+x)B.x(y-3)(%+1)

C.(y-3)(x2—x)D.x(y—3)(%—1)

3.若2/+-4可因式分解为(2%+1)(%-4),则m的值为()

A.9B.8C.-7D.-6

4.若3x-2y=3,则9/一4y?一起丫的值为()

A.9B.6C.3D.-3

5.已知a-b=3,b-c=-5,则代数式ac-ab-be+炉的值为()

A.15B.-15C.2D.-2

6.如果多项式/+±加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在

64

下列单项式中，可以加上的是()

A.4%B.-xC.8xD.-x4

48

2

7.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-ltx-y,2,a+

1,%,Q+1分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河.现将2%52-1)一2、92一1)因

式分解，结果呈现的密码信息可能是()

A.我爱河南B.爱河南C.我爱学D.河南数学

二、填空题

8.代数式15aX2_15a与10/+20x+10的公因式是.

9.计算：80x3.52+160x3.5x1.5+80x1.52=.

10.己知实数小b,满足Q+8=6,Qb=—右则Mb+a/的值为.

11.甲、乙两个同学因式分解/+Q%+b时，甲看错了力，分解结果为(％+4)(%—8),乙

看错了a,分解结果为(x-2)(x+6).则Q+b=.

12.等腰△ABC的两边长为Q,b,且小+〃=6Q+I2b-45则A/IBC的周长为.

13.己知a=2025%+2025,b=2025%+2024,c=2025x+2026,则2a?+2b2+2c2-

'Zab—2bc—2ac=.

14.若取图中的若干个(三种图形都要取至U)拼成一个长方形，使其面积为4a2+ma》+5b2,

则m的值为

三、解答题

15.用提公因式法将下列各式分解因式.

(l)m(a-2)+n(2-a)；

(2)(a2—ah')+c(a-b)；

(3)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a).

16.因式分解：

⑴a3-25a：

(2)6xy2-9x2y-y3；

(3)a4-16；

(4)x2(a-b)+4(b-a)；

(5)(7n2+l)2-47n2.

17.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为"巧数〃，如：4=

22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是“巧数〃.

⑴400是"巧数〃吗？为什么？

⑵设两个连续偶数为2〃和2n-2(其中n取正整数)，由这两个连续偶数构造的“巧数”是4

的倍数吗？为什么？

18.学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：

例：因式分解：(炉+6%+5)(/+6%-7)+36.

解：设/+6x=y,则原式=(y十5)(y—7)十36.第一步

=y2-2y4-1.第二步

=(y-l)2.第三步

=(x2+6x-I)2第四步

完成下列任务：

⑴例题中第二步到第三步运用了因式分解的.(填序号)

①提取公因式；②平方差公式：③两数和的完全平方公式：④两数差的完全平方公式.

⑵请你模仿以上例题分解因式：(小一4a+2)(。2一4a+6)+4.

19.常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种

无法分解.如/-4y2-2x+4y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后

两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可

以完成整个式子的因式分解.具体过程如下：

x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=

(x-2y)(x+2y-2).

像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法.

利用分组分解法解决下面的问题：

(1)因式分解：9m2—4x2-4xy—y2：

(2)因式分解：4a2+4a-4a2b2—b2—4ab2+1；

⑶已知。2(匕+c)=/(Q-c)=2025,Flab,求abc的值.

20.数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数

形结合可以使数与形之间相互转化.如图，现有4、8、C三种卡片若干.

⑴观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式；

⑵现用x张4卡片、y张B卡片、z张。卡片拼出一个长为3a+4匕，宽为2Q+b的长方形,

试求出x+y+z的值；

⑶观察图2,分解因式：3a2+Sab+2b2

参考答案

1.D

【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式

进行因式分解，据此进行判断即可.

【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；

B、是整式的乘法，不是囚式分解，不符合题意：

C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；

D、是因式分解，符合题意；

故选：D.

2.D

【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.将第二项中的3-y转

化为一(y-3),然后提取公因式(y-3),再对(/-%)提取公因式即nJ.

【详解】解：x2(y-3)+x(3-y)

=x2(y-3)-x(y-3)

=(y-3)(x2-x)

=(y-3)•%•(x-1)

=x(y-3)(x-1),

故选：D.

3.C

【分析】此题考查了因式分解和多项式的乘法互为逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项系数，即可求出m的值.

【详解】(2x+l)(x-4)=2x2-8x+x-4=2x2-7x-4,

又2x2+mx-4可因式分解为(2%+l)(x-4),

•••2x2+mx-4=2x2-7x-4.

•••m=-7.

故选：C.

4.A

【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；利用平方

差公式将9/一4y2分解为(3%-2y)(3%+2y),再结合已知条件3x-2y=3进行化简求解

即可.

【详解】解：03x-2y=3,R9x2-4y2-12y=(3x-2y)(3x+2y)-12y,

回原式=3(3x+2y)—12>=9%4-6y-12y=9x—6y=3(3%—2y)=3x3=9；

故选A.

5.A

【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；由题意利用分组分解的方

法把ac-Qb-加+/因式分解，再利用整体代入的方法计算.

【详解】解：0ac-ab-be+bz=a(c-b)-b(c-b)=(a—b)(c—b),

又团Q—b=3,b—c=-5,

0c—b=—(b-c)=5»

团原式=(a—b)(c—b)=3x5=15,

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了用完全平方公式，分解因式，把项看作是平方项或乘积二倍项两种情况

讨论.

多项式/+三需加上一个单项式后成为完全平方式，完全平方公式为a2+2ab+b2=

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(a+b)2,这里a=x,匕=：(因为②=4中间项立为±2ab=±选项B符合此

要求.

【详解】解：0完全平方公式要求a2+2ab+b2=(a+b)2,

设a=x,b=-(b2=­),

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0中间项为±2ab=±2•%£=

选项中，B为,，加上后得/+,+/=1+：)，

0可以直接用完全平方公式因式分解，

其他选项均不满足中间项要求.

故选：B.

7.A

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字,

并按顺序排列形成密码信息.

本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键.

【详解】解:

02x(a2-1)—2y(a2-1)=2(a2—1)(%-y)»

又团a2-l=(a-l)(a+l),

02x(a2—1)—2y(a2—1)

=2(cz-l)(a+l)(x-y),

团对应密码字：2T我，a一丫)—爱，(。+1)1河，(Q—1)T南，

团密码信息为“我爱河南〃，

故选：A.

8.5(x+1)

【分析】本撅主要考杳公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解闪式.

然后再确定公因式.分别对两个多项式进行因式分解，然后找出它们的公因式，第一个多项

式提取公因式15a后应用平方差公式，第二个多项式提取公因式10后应用完全平方公式，最

后比较公因式即可解答.

【详解】对于多项式15”2-15%提取公因式15a得15a再应用平方差公式得

15a(%+l)(x—1),

对于多项式ION+20M+10,提取公因式10得10(N+2%+1),再应用完仝平方公式得

10(x+I)2,

・•・代数式15ax2_15a与10/+20x+10的最大公因式为5a+1),

故答案为：5(%+1).

9.2000

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

通过观察，表达式符合完全平方公式的结构，提取公因数后利用公式简化计算即可.

2

【详解】解：80x3.52+160x3.5x1.5+80x1.5

=80x(3.52+2x3.5x1.5+1.52)

=80x(3.5+1.5)2

=80x52

=80x25

=2000.

故答案为：2000.

10.-3

【分析】通过因式分解求解即可.

本题考查代数式的值，因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键。

【详解】解：+。力2=Q6(Q+b),由a+/?=6,ab=

故a?匕+。匕2­+b)=—1x6=-3,

故答案为：-3.

11.-16

【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键.

甲看错了〃，但。正确，从甲分解的结果可得〃的值；乙看错了小但〃正确，从乙分解的

结果可得〃的值，再计算a+b即可.

【详解】解：甲分解的结果为(x+4)(%-8),展开得/一4%-32,因甲看错了仇但〃正

确，故Q=-4.

乙分解的结果为(％-2)(%+6),展开得/+4x-12,因乙看错了a,但b正确，故b=-12.

则a+b=-4+(—12)=—16.

故答案为:—16.

12.15

【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得a,b的值是解题的关键.根

据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得a,b的值，根据等腰A/WC的性质，即

可求解.

【详解】解：0a2+b2=6a+12b-45,

0a2+b2-6a-12b+45=0

Ela2-6a+9+b2-12b4-36=0,

0(a-3)24-(b-6)2=0,

回a—3=0,b—6=0,

解得a=3,b=6,

团等腰△ABC的三边长为a、b、c,

当c=3时，3+3=6,不能构成三角形；

当c=6时，△48C的周长为3+6+6=15：

综上，△ABC的周长为15.

故答案为：15.

13.6

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出a-b,b-c,Q—C的值，再利用完全平

方公式分解因式可把原式变形为(a-力尸+(匕-c)2+(Q-c)2,据此代值计算即可.

【详解】解：0a=2025x4-2025,b=2025x+2024,c=2025x4-2026,

加一匕=2025%4-2025-2025x-2024=1,

b-c=2025%+2024-2025%-2026=-2,

a-c=2025x+2025-2025%-2026=-1,

02a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac

=(a2-2ah+b2)+(b2-2bc+c2)4-(a2-2ac+c2)

=(a—h)2+(b—c)2+(a—c)2

=I2+(一2/+(-1)2

=6,

故答案为：6.

14.9或12或21

2

【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得4a2+mab+Sb=(a+b)(4a+5b)或

4a2+jnab4-5b2=(a4-5b)(4a4-b)或4a2+mab+5b2=(2a+b)(2a+5b),据此可得答

案.

【详解】解：05=1x5,4=1x4=2x2,

04a2+mab+5b2=(a+b)(4a+56)=4a2+9ab+5b2或

22

4Q2+mab+5b=(Q+5b)(4a+b)=4a+21ab+5b?或

4a2+mab+5b2=(2a+b)(2a+5b)=4a2+12ab+5b2,

团机的值可以是9或12或21,

故答案为：9或12或21.

15.(l)(a—2)(m—n)

(2)(Q-b)(a+c)

(3)(x-y)2(a-b)

【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法是解决本题的关键.

(1)根据提公因式法求解即可；

(2)根据提公因式法求解即可；

(3)根据提公因式法求解即可.

【详解】(1)解：m(a-2)+n(2-a)

=m(a—2)—n(a—2)

=(a—2)(TH—n)；

(2)解：(a2—ab)+c(a—b)

=a(a—b)+C(Q—b)

=(a-b)(a+c)；

(3)解：x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)

=x(x—y)(a—b)—y(x-y)(a—b)

=(x-y)-(a-b)(x-y)

=(x—y)2(a—b).

16.(l)a(a+5)(Q—5)

(2)-y(3x-y)2

(3)(a2+4)(a+2)(a-2)

(4)(Q-b)(x+2)(x-2)

(5)(m+l)2(m-l)2

【分析】本题主要考查了为式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键.

(1)先提公因式，然后用平方差公式进行分解因式即可；

(2)先提公因式，然后用完全平方公式进行分解因式即可；

(3)用平方差公式分解因式即可；

(4)先提公因式，然后用平方差公式进行分解因式即可；

(5)先用平方差公式分解因式，然后用完全平方公式分解因式即可.

【详解】＜1)解:a3-25a

=Q(Q2—25)

=a(a+S')(a-5)；

(2)解：6xy2-9x2y-y3

=-y(y2-6xy+9x2)

=-y(3x-y)2；

(3)解：a4-16

=(a2+4)(a2-4)

=(a2+4)(a+2)(a-2)：

(4)解:x2[a—b)+4(b—d)

=x2(a—b)—4(a—b)

=(a—b)(x2—4)

=(a-=(%+2)(无-2)；

(5)解：(病+1)2-47n2

=(zn2+1+2mXm2+1-2m)

=(m+l)2(m-I)2.

17.(1)不是，理由见解析

⑵是，理由见解析

【分析】本题考杏了因式分解在新定义习题中的应用，能根据“巧数”的定义讲行计算,是解

题的关键.

(1)根据“巧数〃的定义进行判断即可；

(2)列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可.

【详解】(1)解：400不是“巧数”，原因如下：

因为400=10尸一992,故400不是“巧数”;

(2)解：(271)2-3-2)2

=(2n+2n-2)(2〃—2n+2)

=2(4n-2)

=4(2n-l)

•••n为正整数

・••2八一1一定为正整数

.••4(2〃-1)一定能被4整除

由这两个连续偶数构造的巧数是4的倍数.

18.⑴④

(2)3—2)4

【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式等知识点，熟练运用完全平方公式进行因

式分解是解题的关键.

(1)根据两数差的完全平方公式进行判断即可；

(2)根据题干中的解题过程进行求解即可.

【详解】(1)解团由题意知，第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式，

故答案为：④.

(2)解：设小-4。=力，则

(a2—4a+2)(a2-4Q+6)+4

=(b+2)(b+6)+4

=〃+8b+16

=(b+4)2

=(a2—4a+4)2

=[(«-2沟2

=3-2)4.

19.(l)(3m+2x+y)(377i—2%—y)

(2)(2a+1+2ab+Z?)(2a+1-2ab—b)

(3)-2025

【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组.

(1)根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；

(2)先分组，然后完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解；

(3)对+c)—b2(a+c)进行因式分解，可得ab+ac+be=0,贝1J可得a(b+c)=—be,

两边同时乘以Q即可解答.

【详解】(1)解：9m2-4x2-4xy-y2

=9m2-(4x2+4xy+y2)

=97n2-(2x+y)2

=(3m+2x4-y)(3m—2x—y)；

(2)解：4a2+4u—4a2b2—b2—4ab2+1

=(4a2+4a+1)—(4a2fe2+b2+4ab2)

=(2a+I)2—(2ab+b)2

=(2Q+1+2ab+b)(2a+1—2ub-b)；

(3)解：va2(b+c)=b2(a+c)=2025

•••a2(b+c)-b2(a+c)=0

a2b+a2c—abz—cb2=0

a2b-ab2+a2c-cb2=0

ab(a-b)+c(a2—b2)=0

ab(