2025-2026学年华东师大版八年级数学上学期期末必刷常考题之直角三角形的判定

20252026学年上学期初中数学华东师大版八年级期末必刷常考

题之直角三角形的判定

一.选择题（共6小题）

1.（2025秋•顺德区期中）下列三边能够组成直角三角形的是（）

111

、-一，-，-B.1,2,V5C.3,5,8D.32,42,52

345

2.（2025秋•南山区期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是

相等的，如图所示，证明了勾投定理，若设图1中空白部分的面积为5,图2中空白部分的面积为S2,

则下列对9,52所列等式不正确的是（）

3.（2025春•海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图,

若正方形GM/K的面枳为16,正方形CDEF的面积为4,则线段的长为（）

4.（2024秋•新城区校级期末）已知△4BC中，。、b、c分别是乙4、NB、NC的对边，下列条件能判断

△4BC是直角三角形的有（）①NA：NB：ZC=I：2：3；②/=（b+c）（b-c）.③/A=2NB

=3NC；®a：b：e=3：4：5；⑤NA=NC-N8.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2025秋♦广东期中）如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原

理是（）

A.三角形两边之和大于第三边

B.三角形具有稔定性

C.两点之间线段最短

D.直角三角形的性质

6.（2025秋•长兴县期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵

爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为

b,斜边长为c.若b・a=4,c=16,则每个直角三角形的面积为（）

二,填空题（共6小题）

7.（2025秋•安定区期中）在RtzXABC中，ZC=90°,NA=33°,则N8=°.

8.（2025秋•南山区期中）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形A3CO与四边形EFG”均为正方

形，〃是。石的中点.若人。的长为5,则阴影部分的面积为

9.（2025秋•东莞市期中）在如图所示的3X3正方形网格中，Zl+Z2+Z3=度.

10.（2025秋•丹东校级期中）在△4AC中，NA,NB,NC的对边分别是a,b,c,若三边关系为J+c?

2

=bf则是直角.

II.（2025秋•船营区校级期中）如图，NA8C=90°,BDLAC,垂足为点D,若NA8O=40。，则NC

12.（2025春•荷塘区期末）如图，在四边形A3CO中，A8=3,8C=13,CD=\2,AO=4,且乙4=90°,

则四边形A8C。的面积是.

三.解答题（共3小题）

13.（2025秋•陕西期中）如图，在△4改?中，点。是3C边的中点，DE工8c交AB于点E,连接CE,且

BE1-EA2=AC1.

（I）试说明：NA=90°；

（2）若AC=10,8。=13,求AE的长度.

DB

14.（2025秋•垣曲县期中）如图，在四边形48C。中，ABLBC,AB=1,BC=2,CD=炳,AD=VlO.

（1）求AC的长.

（2）求四边形ABC。的面枳.

15.（2025春•汾阳市期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全

性.如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到A3=CD=6d/〃，BC

=3dm,AD=9dm,其中A3与6。之间由一个固定为90°的零件连接（即NA4Q=90°）.根据安全标

准需满足4CJ_CQ,请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由.

图1图2

20252026学年上学期初中数学华东师大版（2024）八年级期末必刷常考

题之直角三角形的判定

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案BACDBB

一.选择题（共6小题）

1.（2025秋•顺德区期中）下列三边能够组成直角三角形的是（）

111

B.1,2,V5C.3,5,8D.32,42,52

345

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可.

【解答】解：人•・•（32+（32/（1）2,

543

111

工以大二，二为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；

345

B、V12+22=（V5）2,

・••以1,2,再为边能组成直角三角形，故选项符合题意；

C、V32+52^82,

・••以3,5,8为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；

D、,・・（32）2+（42）2K（52）2,

•••以32,42,52为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的勾股定理的逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那

么a1+b2=c1.

2.（2025秋•南山区期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是

相等的，如图所示，证明了勾设定理，若设图1中空白部分的面积为Si,图2中空白部分的面积为S2,

则下列对Si,货所列等式不正确的是（）

即图2

7?

A.Sx—a?+b+2abB.S2—c+ab

22

C.Sr=a+b+abD.Si=S2

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】A

【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题.

【解答】解：由勾股定理可得/+6=。2,

22222

由题意，可得Si=S2=a+b+2x^ab=a+b+ab=c+ab,

故选项A符合题意，选项&C、。不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,

然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

3.（2025春•海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt^ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图,

若正方形G"/K的面枳为16,正方形CQE尸的面积为4,则线段A8的长为（）

C.>/10D.2A/3

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】设AC=b,根据正方形的性质得到CO=2.GK=4,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：设8C=a,AC=b,

•・•正方形GM7K的面积为16,正方形CQEr的面积为4,

；・CD=2,GK=4,

.fa+b=4

.%-Q=2,

.fa=1

.%=3,

：.AB=V32+I2=710,

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

4.(2024秋•新城区校级期末)已知△ABC中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，下列条件能判断

△44C是直角三角形的有()①/A：ZB：ZC=1：2：3；②/=(h+c)(/>-c)；③NA=2N4

=3ZC；④a：b：c=3：4：5；⑤NA=NC-N8.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】。

【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐个判断却可得出答案.

【解答】解：①:/4：NB：ZC=1：2：3,

,设NA=x、NB=2x、NC=3x,

VZA+ZB+ZC=180°,

.*.x+2r+3x=180°,解得x=30°,

・・・NC=90°,

•••△ABC是直角三角形，故①能判断△AAC是直角三角形；

@\*a2=(b+c)(/?-c)=Z?2-c2,

/./>2=d2+c2,

/.ZB=90°,

AAABC是直角三角形，故②能判断AABC是直角三角形；

③：N4=2N4=3/C,

・•・设NC=x,则NA=3x,/8=鼠，

/ZA+ZB+ZC=180",

：,3x+^x+x=180°,解得/•二(誉)。,

,W80540360

：,^ArNB=/C=

ITIT

・•・ZXABC不是直角三角形，故③不能判断△ABC是直角三角形;

④•・•〃：b：c=3：4：5；

，设a=3x,b=4x,c=5x,

：,cr+b2=(3x)2+(4x)2=25X2=C2,

AZC=90°,

•••△A/3C是直角三角形，故④能判断△ABC是直角三角形;

⑤・・・/A=NC-NB,

••・NC=N4+N8,

VZA+ZB+ZC=180°,

AZC=90°,

・•・△A4C是直角三角形，故⑤能判断△A3。是直角三角形；

・•・能判断△A8C是直角三角形有①@@⑤，共4个，

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理判断

一个三角形是不是直角三角形.

5.（2025秋•广东期中）如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原

理是（）

A.三角形两边之和大于第三边

B.三角形具有稳定性

C.两点之间线段最短

D.直角三角形的性质

【考点】直角三角形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；三角形的稳定性.

【专题】三角形：应用意识.

【答案】B

【分析】根据三角形具有稳定性解答.

【解答】解：在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是三角形具有稳定性，

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键.

6.（2025秋•长兴县期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵

爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为

mb,斜边长为c.若…=4,c=16,则每个直角三角形的面积为（）

A.64B.60C.120D.128

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】根据勾股定理可知/+〃2=/,再根据=4,。=16,即可得到〃、〃的值，然后即可计算出

每个直角三角形的面积.

【解答】解:由图可得,/+从=上

...£+/：162,且八》均大于0,

3—a=4

解得岫=120,

••・每个直角三角形的面积为:油二Ix120=60,

24

故选:B.

【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关犍是明确题意，求出而的值.

二,填空题（共6小题）

7.（2025秋•安定区期中）在RtzXABC中，ZC=90°,NA=33°,则N2=57°.

【考点】直角三角形的性质.

【专题】等腰三角形与宜角三角形；推理能力.

【答案】57.

【分析】利用直角三角形的性质即可得出答案.

【解答】解：•・•在RtZXABC中，ZC=90°,NA=33°,

・•・根据直角三角形的性质得，NB=90°-ZA=90°-33°=57°,则NB的度数为57°,

故答案为：57.

【点评】本题考查直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

8.（2025秋•南山区期中）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABC力与四边形均为正方

形，，是。石的中点.若AO的长为5,则阴影部分的面积为15.

:s:

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意设E”=x，则O〃=AE=x,根据勾股定理列式/+（2x）2=52,继而得到“=若，

即可得到本题答案.

【解答】解：由“赵爽弦图”可知

设贝i」O”=AE=x,

;人。的长为5,AE2+ED2=AD2,

（2x）2=5，

.*.%=y/5,

・•・阴影部分的面积：S=1x（正/x4+（V5）2=15,

故答案为：15.

【点评】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等.熟练掌握以上知识是解题的关键.

9.（2025秋•东莞市期中）在如图所示的3X3正方形网格中，/1+/2+/3=90度.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形：推理能力.

【答案】90.

【分析】证明△A8C0△DCG@得出N2+N1=45°,根据网格的特点可知/3=45°,

即可求解.

【解答】解：如图，

在△48C与AOE广中，

(AC=DF

\LACB=乙DFE,

(BC=EF

：.AABC@BDEF(SAS),

・・・N1=N4,

*：FD//CG,

••・N2="OC,

同理可得△QCG丝△CEB,

：・EC=ED,N2=/BEC,

•:NBEC+NECB=90",

・・・N2+/E8C=90°,

AZECD=90°,

•••△EC。是等腰直角三角形，

••・NCOE=45°,

BPZ4+ZFDC=Z1+Z2=45°,

根据网格的特点可知/3=45°,

・・・N1+N2+N3=9O0,

故答案为：90.

A

【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得/1+/2=45°

是解题的关键.

10.（2025秋•丹东校级期中）在△44C中，NA,NB,NC的对边分别是小b,c,若三边关系为J+c2

=b2,则/B是直角.

【考点】勾股定理的逆定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】勾股定埋的逆定理：如果二角形的二边长4,b,C满足。2+d=房，那么这个二角形就是直角

三角形.

【解答】解：•・・在△4BC中,NA,NB,NC的对边分别是a,b,c,三边关系为用2+/=从,

•••N8是直角.

故答案为：/B.

【点评】考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断•个角是不是直

角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.

II.（2025秋•船营区校级期中）如图，NA8C=90°,4Q_LAC,垂足为点D,若N/WO=40°,则NC

=40°.

【考点】直角三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据BDLAC,乙48。=40°,可得乙4=50°,再根据NABC=90°得到N4+/C=90°,

由此即可求解.

【解答】解：由条件可知NADB=90"，

/.ZA+ZABD=90,

，N4=50°,

・・・NABC=90°,

・・・NA+/C=90°,

AZC=40°,

故答案为：40°.

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键.

12.（2025春•荷塘区期末）如图，在四边形46。。中，AB=3,8C=13,CD=12,40=4,且乙4=90°,

则四边形ABC。的面积是36.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接B。，知四边形的面积是和△BCO的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从

而得到△BC。是一个直角三角形.则四边形面积可求.

【解答】解：连接8。，则有8D=VAD?+/="+42=5,

222222

V5+12=13,BPBD+CD=BCt

,△BCD为直角三角形,

，四边形的面积=5y。3+5/^。。

11

二＞3乂4+如5乂12

=36.

答：四边形48C。的面积为36.

故答案为：36.

【点评】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解.熟练掌握勾股定理的逆定理

足本题的关键.

三.解答题（共3小题）

13.（2025秋•陕西期中）如图，在△ABC中，点。是BC边的中点，DELBC交AB于点E,连接CE,且

BE2-EA2=AC2.

（1）试说明：NA=90°；

（2）若AC=10,8。=13,求力£的长度.

【考点】勾股定理的逆定理.；线段垂直平分线的性质；勾股定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形.

【答案】（1）因为。是3c的中点，DELBC,

所以CE=BE,

因为85・£42=心

所以源-江=2,

221

所以EA+AC=CEt

所以△ACE是直角三角形，即NA=90°.

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求得CE=BE,再结合BEP-EA2=AC2可求得EA2+AC2=CE2,

可证得结论：

（2）先求出A4=24,在RtZSAEC中，根据勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解：（1）因为。是8C的中点，DE上BC,

所以CE=BE,

因为

所以金-江=4。2,

所以E42+AC2=CE2,

所以△ACE是直角三角形，即N4=9()°.

(2),・•。是BC的中点,80=13,

所以BC=2BD=26,

因为NA=90°,AC=10,

所以48=y/BC2-AC2=V262-102=24,

22

在RtZ\4EC中，EA+AC=C^t

因为CE=BE,

所以102+AE2=(24-AE)2,

解得；AE=

所以AE的长为——.

12

【点评】本题主要考杳了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定

理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用.

14.(2025秋•垣曲县期中)如图，在四边形/18CO中，AB1.BC,AB=\,8c=2,CD=瓜AD=VlO.

(1)求AC的长.

(2)求四边形ABC。的面积.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】(1)V5；

一

(2)四边形A8C。的面积为:

【分析】(1)利用勾股定理求解即可；

(2)利用勾股定理的逆定理证明△ACO是直角三角形，则四边形ABCD的面积等于RtAABC与RtA

AC£＞面积之和.

【解答】解:(1)'：ABVBC,18=1,BC=2,

：.AC=7AB2+8c2=,12+22=V5；

(2)VCD=V5,AD=>/10,AC=V5,

22222

：.CD+AC=(V5)+(V5)=10=ADf

•••△ACO是直角三角形，

[[7

**.S四边版=^AH*HC+^AC*CD=]xlX2+/遮x正=).

7

J四边形ABCD的面积为了

【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

15.（2025春•汾阳市期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全

性.如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB=CD=64〃，BC

=3dm,AD=9dm,其中AB与8。之间由一个固定为90°的零件连接（即NABD=90°）.根据安全标

准需满足8C_LCZ）,请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由.

图1图2

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推埋能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据勾股定理求出用〉，根据勾股定理的逆定理得到BC_LC。，证明结论.

【解答】解：该婴儿车符合安全标准，

理由：在△A3。中，NA8D=90",AB=6dm,AD=9dm,

由勾股定理得：BD2=AD1-AB2=92-62=45,

在△8C。中，BC2+CD2=32+61=45,

:.BC2+CD2=BD2,

•••△8CO是直角三角形，且N8CO=90°,

J.BCLCD,

・•・该婴儿车符合安全标准.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，如果三角形的三边长。，b,C满足。2+扇=02,

那么这个三角形就是宜角三角形.

考点卡片

1.线段的性质：两点之间线段最短

线段公理

两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短.

简单说成：两点之间，线段最短.

2.三角形的稳定性

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

3.三角形内角和定理

（I）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180".

（3）三角形内角和定理的证明