2025-2026学年九年级（上）数学考点复习《一元二次方程》含答案

21.1一元二次方程

【考点归纳】

【知识归纳】

知识点——元二次方程的定义

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元

二次方程.

（2）注意以下3点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式.

知识点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=Q（a#0）.

其中，a/是二次项，。是二次项系数；故是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

知识点三一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定

义是解方程过程中验根的依据.将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方

程的根；若不相等，就不是这个方程的根.

【题型探究】

题型一：一元二次方程的判断

【例1】.（24-25九年级上•广东潮州）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.（x+3）（x-2）=xB.-+x=1

X

C.ax2+/?x+c=OD.x3+x2+1=0

【跟踪训练1】.（24-25九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）下列方程中，关于大的一元二次方程是（）

A.3（x+1）2=2（x+1）B.—；-----3=0

X人

c.cue2+bx+c=（）D.X2+2x=x2+\

【跟踪训练2】.（25-26九年级上•全国•课后作业）给出下列方程：①2.，+5=0;②加+版+c=0;③

2

侬叫八版+。=（）；（4）（X-2）（X+3）=X-1;⑤3（f+y）=3y+5x_2；⑥#-2=0.其中是一元二次方程的有

（）

A.1个B.2个C.4个D.5个

题型二：一元二次方程的定义求参数问题

【例2】.（25-26九年级上•广东广州•开学考试）若关于x的方程（，〃-2）/-2工-3=0是一元二次方程，则（）

A.tn=2B.m=-2C.m=±2D.m¥±2

【跟踪训练1】.（2025•黑龙江佳木斯•二模）若关于工的方程（攵-2*+3.-1=0是一元二次方程，则k的取值范围

是（）

A.B.攵工2C.k>2D.攵>0

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•湖南益阳•阶段练习）关于x的方程（6+2）/+4x7=0是一元二次方程，则〃?

)

A.2或一2B.2C.-2D.0

题型三：一元二次方程一般形式

【例3】.（2425九年级上全国随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、

一次项系数和常数项.

⑴3/=5X-1.

(2)(x-3)2=x+3.

⑶(2x-l)(x+5)=6x.

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•全国•课后作业）将下列方程化为二次项系数是“1”的一股形式后，一次项系数和常

数项都是正整数的是（）

2（）（）（）22

A.3x+2x+6=0B.x+2x-3=5C.ix+4=6D.-x-4=0

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•全国•随堂练习）已知关于x的方程ad-x=2/—分一3.

⑴若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系

数.

⑵若此方程是一元一次方程，求出〃的值.

题型四：一元二次方程的解

【例4】.（25-26九年级上•陕西延安•阶段练习）若工=-1是关于x的方程/_皿=0的一个根，则〃，的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•重庆•开学考试）若关于x的一元二次方程V+—3=0的一个根是x=1,则，〃的

值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【跟踪训练2】.（2025•山东烟台•一模）若1=2025是关于%的方程♦+加+|=。的一个根，则关于x的方程

a（x+21+/*+幼=-1必有一个根为（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

题型五：由一元二次方程的解求代数值

[例5].（25-26九年级上•吉林长春•开学考试）若利是方程2——33-1=（）的一个根，则6〉一9〃升2025的值为（）

A.2026B.2027C.2028D.2029

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•河南驻马店•开学考试）已知一元二次方程2/一%一3=0的一个根为〃?，则

4"/一2m+3的值为（）

A.3B.6C.9D.12

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•云南昭通•期末）年知「是一元二次方程己-x+3=0的一个根,则2019-"+m的

值为（）

A.2023B.2022C.2020D.2019

题型六：一元二次方程的综合问题

【例6】.（25-26九年级上•全国）已知关于x的方程（冏-5*+92-64+5卜-2=0.

⑴当*=时，此方程为一元一次方程，此方程的根为.

⑵当&为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

【跟踪训练1】.(24-25九年级上•辽宁丹东•期末)“新定义〃问题就是给出•个从未接触过的新规定，要求同学们现

学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程以工+m+^二。是一元二次方程法+。=0的

倒方程，其中。力,c为常数(且acwO).根据此定义解决下列问题：

⑴一元二次方程-4/+3入.+1=0的倒方程是；

(2)若x=T是一元二次方程/-2x+c=O的倒方程的解，求出。的值；

2

(3)若加是一元二次方程Yx+工+1=0的倒方程的一个实数根，则加_6W+2()25的值为.

【跟踪训练2】.(24-25九年级上•山西长治•阶段练习)阅读与思考

阅读下列材料，然后完成相应任务.

方程/一以-1=0两边同时除以Mx"%得1-4」=0,即x」=4.

Xx

因为2,

IX)x2

1/1A2

所以V+r=x一一+2=18.

x\X)

任务：

⑴已知方程f一3工一1=0，则.

X

(2)若机是方程3W-7X+3=0的根，求加+-4的值.

nr

【高分演练】

一、单选题

1.(25-26九年级上•江苏无锡•期中)一元二次方程x2-2x-l=O的一次项系数是()

A.1B.-2C.-1D.2

2.（25-26九年级上•陕西延安•阶段练习）将方程2/-l=3x化为二次项系数为2的一般形式后，方程中的一次项的

系数是（）

A.-3B.-1C.1D.2

2

3.（2425九年级上•广东潮州•阶段练习）已知3是方程•|/+如一］2=。的一个根，则。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（25-26九年级上•甘肃临夏•阶段练习）已知尤=。是方程/-3x-5=O的根，则代数式4+/一3〃的值为（）.

A.6B.9C.14D.-6

5.（25-26九年级上.•全国•课后作'也）若方程加+法+。=017工0）中，0,b,c满足a-Z?+c=O和16a+4Z;+c=0,

则方程的根是（）

A.0,4B.0,-4C.-1,4D.1,4

6.（24-25八年级下•云南昆明•期末）下列方程中，是一元二次方程的有（）

①江+6+。=0;@-v2--=0；③肛一/=2；（4）（X+1）（X-2）=X2-7；⑤/+9=（）；⑥。一2）（X+3）=0.

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.（24-25八年级下•安徽池州•期末）若关于人的一元二次方程尔+饭+2=0（。工0）有一解为x=2024,则一元二

次方程a（x-2『+〃x=a-2必有一解为（）

A.x=2026B.x=2025C.x=2024D.x=2022

8.（25-26九年级上•全国•课后作业）若关于x的方程aP+Zzr+cuOQwO）满足4a+2Z?+c=0和9a-3b+c=0,则该

方程的两个根分别为（）

A.2,3B.2,—3C.—2,3D.—2,—3

二、填空题

9.（25-26九年级上•北京西城•阶段练习）若关于k的一元二次方程（〃-1）/+。、-。=0有一个根是x=l,则。的值

为.

10.（25-26九年级上•陕西延安•阶段练习）己知一、3x-1=0是关于x的一元二次方程，则实数欠的值为.

11.（24-25九年级上•广东潮州•阶段练习）若关于x的一元二次方程*+级+6=0的一个根为x=-2,则代数式

4〃-2/?+2的值为.

12.（25-26九年级上,江苏扬州・阶段练习）已知〃?是一元二次方程/一4工+4=0的一个根，则24+〃14〃?的值为

13.（25-26九年级上•河北石家庄•开学考试）已知x=l是关于％的方程V+2QX+/=3的一个根，则代数式

a（a-\]+a2+5a的值为.

三、解答题

14.（24-25九年级上•北京海淀•期中）若〃是关于x的一元二次方程W-3x-10=0的根，求代数式。（。-3）+5的值.

15.（24-25九年级上湖南永州•期中）已知关于工的方程++

⑴，〃为何值时，此方程是一元一次方程？

⑵切为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项.

16.（24-25九年级上•贵州毕节•期末）如果一元二次方程0^+云+c=0（a/0）满足。-b+c=0,那么我们称这个方

程为“凤凰方程

⑴判断一元二次方程3Y+4x+l=0是否为“凤凰方程"，并说明理由；

（2）若关于x的方程/+〃a一5=o是“凤凰方程〃，求用的值.

17.（24-25九年级上•河南南阳・期中）已知〃?是一元二次方程V-3工+1=0的根，求下列各代数式的值:

（l）（w-4）（m+l）

（2"+4

nr

21.1一元二次方程

【考点归纳】

【知识归纳】

知识点——元二次方程的定义

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元

二次方程.

（2）注意以下3点:

①只含有一个未知数：②未知数的最高次数是2：③等号两边都是整式.

知识点二一元二次方程的一般形式

一元一次方程的一般形式是ax2+bx+c=O（awO）.

其中，ax?是二次项，。是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

知识点三一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定

义是解方程过程中验根的依据.将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方

程的根；若不相等，就不是这个方程的根.

【题型探究】

题型一：一元二次方程的判断

【例1】.（24-25九年级上•广东潮州）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.（x+3）（x-2）=xB.-+X=1

C.ax1+Zzx+c=OD.x3+x2+1=0

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数

的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.据此进行分析即可.

【详解】解：A.该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；

B.该方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C.若。工0,则以2+历;+c=0是一元二次方程；若4=0,则加+及+c=（）不是一元二次方程，故此选项不符合题

意；

D.该方程未知数最高次数是3,则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意.

故选：A.

【跟踪训练（24-2S九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3（x+1）2=2（x+l）B.-------3=0

X<x

C.ax2++c=0D.x2+2x=x2+1

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数

的最高次数是2的整式方程.

依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义.

【详解】解：A、方程3（X+1）2=2（X+1）,展开可得3（/+24+1）=2%+2,B|J3x2+6x+3=2x+2,整理为

3/+4K+1=0.它只含有一个未知数”,且未知数的最高次数是2,是整式方程，所以是一元二次方程；

B、方程，-3=0,分母中含有未知数孙是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；

x~x

C、方程办2+法+c=0,当。=0时，方程变为云+c=0,此时未知数的最高次数是1,不是一元二次方程，所以

该方程不一定是一元二次方程；

D、方程炉+21=/+],整理可得2x-1=0,未知数的最高次数是1,是一元一次方程，不是一元二次方程.

故选：A.

【跟踪训练2】.（25-26九年级上•全国•课后作业）给出下列方程：①2寸+5=0;②/+bx+c=0;③

S-l）f”x+c=0；（4）（.r-2）（x+3）=x2-l；03（x2+y）=3y+5x-2；⑥3dq=（）.其中是一元二次方程的有

X

A.1个B.2个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键.

根据一元二次方程的定义解答,一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为

0：（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对六个方程进行验证.

【详解】解：①满足条件：仅含未知数x,最高次数为2,且为整式方程，是一元二次方程.

②未明确。工0,若。=0则最高次数变为一次，不符合条件.

③若"T=0（即a=±l）,则二次项系数为0,未知数最高次变为一次，无法确定.

22

④（x-2）（x+3）=f一］展开化简得：x+x-6=x-1=>x-5=0.

方程整理后,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程.

⑤3任+“=3），+5%-2展开化简得：3/-54+2=0.

方程整理后符合一元二次方程的定义，是一元二次方程.

⑥含分式工不是整式方程.

X

综上，仅①⑤符合条件，

故选：B.

题型二：一元二次方程的定义求参数问题

【例2】.（25-26九年级上•广东广州•开学考试）若关于x的方程（〃2-2），"-2犬-3=0是一元二次方程，则（）

A.m-2B.m--2C.m=±2D.±2

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式ar?+取+c=0（a,b,c是常数且〃工0）

是解题的关键.

根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可.

【详解】解：团关于x的方程（〃2-2）/-2工-3=0是一元二次方程，

团|"“=2且〃?一2/0,

/.in=-2.

故答案为：B.

【跟踪训练1】.（2025•黑龙江佳木斯•二模）若关于％的方程亿-2"+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围

是（）

A.AwOB.C.^>2D.k>0

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如以?+以+c=0（〃工0）的方程是一元二次方程，据此解答即可求解,

掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

【详解】解：团关于x的方程（2-2）/+3工-1二0是一元二次方程，

同攵一2芋0,

团A±2,

故选；B.

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•湖南益阳•阶段练习）关于x的方程（m+2）/+4x7=0是一元二次方程，则〃?=

（）

A.2或-2B,2C.-2D.0

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0,这是比较容易漏掉的条件.

根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0,即帆=2,且利+2工0,解出机的值即可.

【详解】解：由题意可知：同=2,且〃叶2工0,

所以/〃=±2且〃?H—2.所以〃?=2.

故选：B.

题型三：一元二次方程一般形式

【例3】.（24-25九年级上•全国•随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、

一次项系数和常数项.

⑴3/=5x7.

（2）（x-3）2=x+3.

⑶（2x-l）（x+5）=6x.

【答案】（1）3/一5x+l=0,二次项系数为3,一次项系数为-5,常数项为1

⑵f-7x+6=0,二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为6

（3）2f+3x-5=0,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5

【分析】此题考查一元二次方程的一股形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：

（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；

（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；

（3）先将一元二次方程化为一般形式,即可确定各项:

【详解】(1)解：整理，得3/—5x+l=0,

故一次项系数为3,一次项系数为-5,常数项为：1.

(2)整理，得/一71+6=0，

故二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为6.

(3)整理，得2/+3%-5=0，

故二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5.

【跟踪训练1】.(25-26九年级上•全国•课后作业)将下列方程化为二次项系数是“1〃的一般形式后，一次项系数和常

数项都是正整数的是()

A.3X2+2X+6=0B.(x+2)(x-3)=5C.^(x+4)2=6D,-x2-4=0

【答案】C

7

【详解】方程3f+2x+6=0可化为V+；x+2=0,故人选项不符合题意；

方程(x+2)(x—3)=5可化为x2—x—”=0,故B选项不符合题意；

方程孑工+4)2=6可化为f+8x+4=0,故C选项符合题意；

方程-9_4=0可化为丁+4=0,故D选项不符合题意.

故答案选C

【跟踪训练2】.(24-25九年级上•全国•随堂练习)已知关于x的方程or?—工=2/一如一3.

⑴若此方程是一元二次方程，将方程叱为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系

数.

(2)若此方程是•一元一次方程，求出〃的值.

【答案】(1)3-2*+3一1)%+3=0,方程的二次项为3-2优，一次项为(a-Dx,常数项为3,二次项系数为〃-2,

一次项系数为

(2)2

【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义.

(1)首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即OY?十以十c_0,且4工0的形式，然后根据二次

项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题；

(2)根据一元一次方程的定义求解即可.

【详解】(1)解:ar2-x=2x2-av-3

移项、合并同类项,得(。-2)工2+(a—i)x+3=0,

同方程的二次项为(。-2)/，一次项为(a-l)x,常数项为3,二次项系数为。-2,一次项系数为。-1：

(2)解：若方程是一元一次方程，则a-2=0,

解得a=2.

题型四：一元二次方程的解

【例4】.（25-26九年级上•陕西延安•阶段练习）若工=-1是关于x的方程f一皿=0的一个根，则用的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】此题考查了一元二次方程的解，将x=-l代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理方程的解的概念

及应用.

【详解】解：把工=一1代入方程Y-〃a=0得，

1+〃7=0,解得：in=-\,

故选：B.

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•重庆•开学考试）若关于x的一元二次方程V+加丫―3=0的一个根是x=l,则机的

值为（）

A.1B.-1C.2D,-2

【答案】C

【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把x=l代入一元二次

方程得到1+m-3=0,然后解关于/〃的一次方程即可.

【详解】解：把x=l代入方程V+〃认一3=（）得1+/〃-3=0,

解得：m=2.

故选：C.

【跟踪训练2】.（2025•山东烟台•一模）若x=2025是关于x的方程ad+法+1=0的一个根，则关于x的方程

a（x+2）~+〃x+2Z?=-1必有一个根为（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程ad+/）x+l=0有一个根为2025,可得出关于（汇+2）

的一元二次方程a（x+2『+及+2〃=-1有一个根为2025,解之可得出x的值，此题得解.

【详解】解：团关于x的一元二次方程ad+版+1=。有一个根为2025,

团关于（x+2）的一元二次方程〃"+2『+火工+2）+1=（）即々（工+2）2+取+26=—1有一个根为2025,

BPx+2=2025,

解得：x=2023,

故选：A.

题型五：由一元二次方程的解求代数值

【例5】.（25-26九年级上•吉林长春•开学考试）若加是方程2/_3x-1=0的一个根，则6〉一9〃升2025的值为（）

A.2026B.2027C.2028D.2029

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键.利用

方程的根的定义，将根代入方程得到关于“的等式，再对所求式子进行变形，代入计算.

【详解】解：却〃是方程一3工一1=0的一个根，

团2nr-3/«-1=0,E1|J2m2-3m=1.

06/7r-9^4-2025

=3（2〃，-3〃?）+2025

=3x1+2025

=3+2025

=2028

故选：C.

【跟踪训练1】.（25-26九年级上•河南驻马店•开学考试）己知一元二次方程2/一工一3=（）的一个根为，“，则

—2/〃+3的值为（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】本题考杳了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得2〃/-/〃=3,再整体代入代数式计算即可

求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键.

【详解】解：团一元二次方程2f-x-3=0的一个根为加，

02m2一m一3=0,

1'P2nr-m=3>

团4〃/-2〃?+3=2（2"/-〃?）+3=2x3+3=9,

故选：C.

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•云南昭通•期末）已知m是一元二次方程炉一.+3=0的一个根,则2019-加+加的

值为（）

A.2023B.2022C.2020D.2019

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.把

・"〃?代入方程Y7+3=0得〃"m=-3,再把2019变形为2019-(>-〃?)，然后利用整体代入的方法计

算.

【详解】解：把一代入方程/一%+3=0得病-旭=-3,

所以m'-m=-3，

所以2019-/+m=2019-2-6)=2019-(-3)=2019+3=2022.

故选；B.

题型六：一元二次方程的综合问题

【例6】.(25-26九年级上•全国)已知关于x的方程(闷-5*+伊―6八5卜-2=0.

⑴当攵=时，此方程为一元一次方程，此方程的根为.

(2)当攵为何值时，此方程为•元二次方程？请写出这个•元二次方程的二次项系数、•次项系数和常数项.

【答案】⑴-5,x=5

JU

⑵当Aw±5时，此方程为一元二次方程；

二次项系数是IM-5,一次项系数是3-6攵+5,常数项是-2.

【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形

式是解题的关键.

(1)根据题意可得[F!一八进而得到〃的值，再将火的值代入求得此一元一次方程的根：

上一6欠+5工0,

(2)根据题意可得网-5工0,进而得到满足条件的攵的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项

系数和常数项.

【详解】(1)解：•••(同-5*+(&2-64+5卜一2=。是一元一次方程，

，小卜5=0，

,k2-6^+5*0,

解得A=-5,

■(-5)2-6X(-5)+5]X-2=0,解得%=表,

故答案为：-5,

(2)解：(同-5)/+(公-6%+5)》-2=0是一元二次方程，

5^0,解得女工±5,

故答案为：当攵工±5时，此方程是一元二次方程；

它的二次项系数是网-5,一次项系数是F-6k+5,常数项是-2.

【跟踪训练1】.（24-25九年级上•辽宁丹东•期末）“新定义〃问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现

学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cV+/"+a=0是一元二次方程ad+法+c=0的

倒方程，其中。，Ac为常数（且。,。工0）.根据此定义解决下列问题：

⑴一元二次方程-4人2+3人十1=0的倒方程是;

⑵若x=T是一元二次方程f-2x+c=0的倒方程的解，求出。的值；

（3）若加是一元二次方程-6/+x+l=0的倒方程的一个实数根，则>_.+2025的值为.

【答案】⑴f+3x-4=0

⑵。=-3

（3）2025

【分析】此题考查了新定义一一倒方程.熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键.

（1）根据新定义的含义可得答案；

（2）根据题意得到方程V-2x+c=0的倒方程为c/-2x+l=0,把x=-l代入即可得到c的值；

（3）根据题意得到方程W+x+JO的倒方程为f+x-6=（）,再结合方程根的性质进一步解答即可.

【详解】（1）解：方程-^+33+1=0的倒方程是；f+3x-4=0；

故答案为：x2+3x-4=0:

（2）解：由题意得：方程/一21十°=0的倒方程为c?—2x+l=0，

把x=-l代入方程，

得c+2+l=0,

0c=-3

（3）解：由题意得：方程Y./+x+l=O的侄【I方程为丁+工-6=0,

团〃?是方程W+x-6=0的一个实数根，

团m2+/ii-6=0>

0in14-nr-6tn+2025=（nr+〃？一6）+2025=0+2025=2025.

故答案为：2025.

【跟踪训练2】.（24-25九年级上•山西长治•阶段练习）阅读与思考

阅读下列材料，然后完成相应任务.

方程f—4x—1=0两边同时除以M'H0)，得x—4—』=0,即上二=4.

XX

因为(人一![=丁+1一2,

IX)x

所以丁+1+2=18.

厂IX)

任务：

⑴已知方程/一3%一1=0,则x-'=.

x

⑵若加是方程3--7x+3=0的根，求〃『+」的值.

nr

【答案】(1)3

⑵卫

9

【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值：

(1)仿照题意求解即可；

(2)根据•元二次方程解的定义得3/一7,〃+3=0,进而得到/〃+L=:，再两边平方求解即可.

【详解】(1)解：X2-3X-\=O,

两边同时除以x(xwO),得

0X--=3,

X

故答案为：3；

(2)解：团〃?是方程3f-7x+3=0的根,

03/722-7/W+3=0>

两边同时除以3m(加工0)得

71八

m——+-=0.

3m

17

团〃?+-=一,

一c149

团〃广+2+—=—

w9

【高分演练】

一、单选题

1.（25-26九年级上•江苏无锡•期中）一元二次方程x2-2x-l=0的一次项系数是（）

A.1B.-2C.-1D.2

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式.

根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解.

【详解】解：一元二次方程――2x-l=。的一次项系数是-2.

故选：B

2.（25-26九年级上•陕西延安•阶段练习）将方程2/_i=3x化为一次项系数为2的一般形式后，方程中的一次项的

系数是（）

A.-3B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】先把方程2必7=3"化成一般形式是2F-3%-1=0,然后根据相关定义即可求解.

本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：公?+以+c=（）（。，b,c

是常数且。工0）特别要注意。工0的条件，其中aF叫二次项，云叫一次项，c是常数项，其b,c分别叫二

次项系数，一次项系数，常数项.

【详解】解：团方程2XJ1=3X化成一般形式是

吁一次项系数为-3,

故选：A.

3.（24-25九年级上•广东潮州•阶段练习）己知3是方程*/+仆_12=0的一个根，则”的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把x=3代入方程计算即可.

【详解】解：的是方程+办一|2=0的一个根，

2

团一x32+3a-12=0,

3

047=2.

故选:B.

4.（25-26九年级上•甘肃临夏•阶段练习）已知'=〃是方程3x-5=0的根，则代数式4+合一3。的值为（）.

A.6B.9C.14D.-6

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意“整体代入〃数学思想的应用.

把x=。代入已知方程，求得/-3〃=5,然后将其整体代入所求的代数式求值.

【详解】解：因为x=〃是方程工2一3/-5=（）的根，

所以〃一九一5=0,即/-3々=5,

所以4+/-30=4+5=9.

故选：B.

5.（25-26九年级上•全国•课后作业）若方程々12+法+。=0（。H0）中，a,b,c满足a-b+c=0和1G/+4匕+c=0,

则方程的根是（）

A.0,4B.0,-4C.-1,4D.1,4

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键.

根据当x=T时，a-b+c=0；当\=4时，1命+4〃+c=0作答即可.

【详解】解：回把x=-l代入♦+Zzx+c=0得：a-/?+c=0,

闭方程的一个解是x=-l,

（3把x=4代入得：\6a+4b+c=0,

13方程的一个解是x=4.

故选：C.

6.（2425八年级下•云南昆明•期末）下列方程中，是一元二次方程的有（）

①0^+以+。=0：②炉一’=0；③盯一/=2；@（x+l）（x-2）=x2-7；⑤9+9=0：（6）（x-2）（x+3）=0.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）

二次项系数不为0;（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条

件即可.

【详解】①方程,•=（）中.未明确说明〃工0.因此不一定是二次方程.排除.

②方程/-'=0含有分式，不是整式方程，排除.

x

③方程盯-/=2含有两个未知数x和），，是二元二次方程，排除.

④方程（x+l）（x—2）=/_7展开后化简为_工+5=0,是一元一次方程，排除.

⑤方程/+9=0符合一元二次方程的定义，正确.

⑥方程（x—2）（x+3）=0展开后为f+x_6=0,是一元二次方程，正确.

综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个.

故选C.

7.（24-25八年级下•安徽池卅期末）若关于工的一元二次方程0?+区+2=。（"0）有一解为^=2024,则一元二

次方程〃（汇-2『+云=%-2必有一解为（）

A.x=2026B.x=2025C.x=2024D.x=2022

【答案】A

【分析】本题考查J‘一元一次方程的解.将第一个方程变形,使其与原方程的结构一致,利用已知解代入求解.

【详解】解：原方程ad+法+2=0有一解x=2024,代入得"（2024）2+62024+2=0.

将第二个方程〃（犬一2）2+左=2〃-2整理为：a（x-2）2+bx-2b+2=0,

a（x-2）~+Z?（x-2）+2=0,

令），=尸2,则方程变为ay、b,+2=0,

与原方程形式相同，则解相同.

则y=2024,即工一2二2024,解得x=2026.

因此，第二个方程必有一•解为x=2026,

故选：A.

8.（25-26九年级上•全国•课后作业）若关于x的方程依2+纵+c=（）QwO）满足4a+2/?+c=0和9a-38+c=0,则该

方程的两个根分别为（）

A.2,3B.2,-3C.—2,3D.-2,—3

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的解.

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解.

根据题目条件，将工=2和工=-3代入方程验证，并结合方程根的定义求解.

【详解】已知方程ad+Z?x+c=0满足4a+2Z?+c=0和9a-3b+c=0.

当x=2时，代入方程得ax22+/"2+c=4〃+2）+c=0,说明x=2是方程的根.

当工=-3时，代入方程得ax（-3『+〃x（-3）+c=9—=0,

说明工=-3是方程的根.

因此，方程的两个根为2和-3.

故选：3.

二、填空题

9.（25-26九年级上•北京西城•阶段练习）若关于x的一元二次方程0有一个根是工=1,则。的值

为.

【答案】-1

【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义.

将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可.

【详解】解：将x=l代入（〃-1）/+/%一〃=（）得，

a—1+/—4=0.

解得a=l或a=T,

当。=1时，。-1=0,不符合题意，舍去，

=-1»

故答案为：T.

10.（25-26九年级上•陕西延安•阶段练习）已知f+4+3x-l=0是关于X的一元二次方程，则实数欠的值为.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元

二次方程，据此求解即可.

【详解】解：0/+4+3]_1=0是关于x的一元二次方程，

122+4=2,

0Zc=-2,

故答案为：-2.

11.（24-25九年级上•广东潮州•阶段练习）若关于k的一元二次方程公?+机16=0的一个根为x=-2,则代数式

4cL2/?+2的值为.

【答案】-4

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.根据

一元二次方程的解，把x=-2代入加+云+6=0可得到%-8=-3,然后利用整体代入的方法计算代数式4〃-处+2

的值.

【详解】角不：l巴工二-2彳弋入a/+/?x+6=0得4«—2/7+6=0,贝I］勿一。=一3,

所以4a-才+2=2（勿叫+2=2x（-3）+2=Y.

故答案为：-4.

12.（25-26九年级上・江苏扬州・阶段练习）已知〃?是一元二次方程12一4.1+4=0的一个根,则24+>_4〃?的值为

【答案】20

【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键.根据题意易得：〃?2_4m+4=0,从

而可得〃/一4m=-4,然后代入并进行计算，即可解答.

【详解】解：机是一元二次方程f—4x+4=0的一个根，

\nf-4m+4=0»

\nr-4m=-4»

24+渥-4m=24+（Y）=20,

故答案为：20.

13.（25-26九年级上•河北石家庄•开学考试）已知x=l