2025-2026学年北师大版九年级数学上学期期末必刷常考题之投影

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之投影

一,选择题（共8小题）

1.（2025•永昌县校级三模）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》

中的•种画法便是用直角坐标投影.某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示

的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（-4,2）,表示“开阳”的点坐

标为（0,3）,则表示“天权”的点的坐标为（）

图1图2

A.（5,-1）B.（5,1）C.（-1,5）D.（1,5）

2.（2024秋•山东校级期末）有两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三

角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（）

A.平行投影

B.中心投影

C.既不是平行投影也不是中心投影

D.可能是平行投影也可能是中心投影

3.（2024秋•辉县市期末）下列说法正确的是（）

A.若x与y互为相反数，则上）Y0

B.若3.2X102与320均为近似数，则它们的精确度不相同

C.若NI与N2互补，N2与N3互补，则N1与23互补

D.皮影戏中的影子属于平行投影

4.（2025•薛城区三模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（）

D.

5.（2024秋•文登区期末）线段CO是线段A8的正投影，则下列说法正确的是（）

A.AB>CDB.AB<CDC.AB，CDD.ABWCD

6.（2024秋•运城期末）如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的

影子常常是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

7.（2025•乾安县模拟）如图，点光源。射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片A8投影到与胶

片平行的屏幕上，形成影像CD.已知AB=0.3（而力，点光源到胶片的距离OE长为6（4》）,CO长为

4.3（dm）,则胶片与屏幕的距离E尸为（）dm.

A.86B.84C.80D.78

8.（2024秋•城阳区期末）口展是我国古代利用口影测定时刻的一种计时仪器，它由“唇面”和“唇针”

组成.当太阳光照在日展上时，唇针的影子就会投向展面.随着时间的推移，展针的影子在唇面上慢慢

地移动，以此来显示时刻.则悬针在春面上形成的投影是（）

A.中心投影

B.平行投影

C.既是平行投影又是中心投影

D.不能确定

二.填空题（共5小题）

9.（2024秋•揭西县期末）如图，树在路灯。的照射下形成投影4C,已知树高A8=2〃b树影AC=

3m,树AB与路灯。的水平距离AP=45〃，则路灯的高度PO长是米.

I。（2025•景德镇模拟）日皆是我国古代的一种计时仪器，它由考面和唇针组成.当太阳光照在日唇上时，

暑针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则辱针在唇面上形成的投影是投

影.（填“平行”或“中心”）

11.（2024秋•运城期末）如图，灯光下有•个标语牌，小马同学在晚上用如下方法测量这个标语牌的高度：

先量出标语牌在灯光下的影长，再找一根长度已知的竹竿，任意选定一个位置测量竹竿在这同一灯光下

的影长，然后由标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比即可求出标语牌的高度，他的方法

正确的.（填“是”或“不是”）

12.（2024秋•赫章县期末）如图，皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进

行表演的民间戏剧.皮影戏中的“影”是.（填“平行投影”或“中心投影”）

13.（2024秋•榕城区期末）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置4的影子和站在位置

B的影子相比，在位置（填“A”或"B”）的影子长一些.

AB

三.解答题（共2小题）

14.（2024秋•张店区期末）已知，如图，AB和。E是直立在地面上的两根立柱.4B=7〃?，某一时刻4B

在太阳光下的投影BC=4m.

（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影：

（2）在测量44的投影时，同时测量出QE在阳光下的投影长为即〃，计算QE的长.

^L7777/〃』〃力〃〃〃“

15.（2024秋•横山区期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1）,其视线被车体遮挡而

不能直接观察到的那部分区域.预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力.小

明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2,是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB

为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点尸处与地面片石之间的距离为14力，车宽人户=18”，车头用CD近

似看成一个矩形，且满足3Or=2AF,点4,尸分别在PB,PE上，点C,。在EB上，求汽车盲区EB

的长度.

图1图2

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之投影

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案ADBDCACB

一.选择题（共8小题）

1.（2025•永昌县校级三模）如图1是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》

中的•种画法便是用直角坐标投影.某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示

的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为（-4,2）,表示“开阳”的点坐

标为（0,3）,则表示“天权”的点的坐标为（）

图1图2

A.（5,-1）B.（5,1）C.（-1,5）D.（1,5）

【考点】平行投影；坐标确定位置.

【专题】平面直角坐标系；几何直观.

【答案】4

【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定x轴，），

轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可.

【解答】解：由表示“摇光”的点的坐标为（2）与表示“开阳”的点的坐标为（0,3）得：平面

直角坐标系，如图：

可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（5,-1）;

故选：A.

【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和X、），轴的位置.

2.（2024秋•山东校级期末）有两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三

角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（）

A.平行投影

B.中心投影

C.既不是平行投影也不是中心投影

D.可能是平行投影也可能是中心投影

【考点】中心投影；平行投影.

【答案】D

【分析】根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情

况.

【解答】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投

影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影.故选。.

【点评】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律.平行投影的特点是：在同一时刻，不同物

体的物高和影长成比例.中心投影的特点是：

①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子

长.

②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但

不会比物体本身的长度还短.

3.（2024秋•辉县市期末）下列说法正确的是（）

A.若4与y互为相反数，则口V0

B.若3.2X1（户与320均为近似数，则它们的精确度不相同

C.若N1与N2互补，/2与N3互补，则N1与N3互补

D.皮影戏中的影子属于平行投影

【考点】平行投影；相反数；科学记数法与有效数字；余角和补角.

【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；投影与视图；数感；几何直观.

【答案】B

【分析】分别根据相反数的定义和有理数乘法法则，科学记数法与有效数字的定义，余角和补角的定义

以及中心投影和平行投影的定义逐项进行判断即可.

【解答】解：A.若x与），互为相反数，则0W0,原说法错误，故本选项不符合题意；

B.3.2X102的精确度是十位，320的精确度是个位，原说法正确，故本选项符合题意；

C.若/I与N2互补，N2与N3互补，则N1与/3相等，原说法错误，故本选项不符合题意；

D.皮影戏中的影子属于中心投影，原说法错误，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了平行投影与中心投影，相反数，科学记数法与有效数字以及余角和补角，掌握相关

定义是解答本题的关键.

4.（2025•薛城区三模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（）

【考点】中心投影.

【专题】投影与视图；几何直观.

【答案】D

【分析】利用''在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断.

【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反.

故选：D.

【点评】本题考查中心投影的特点是：

①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子

长.

②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长：离点光源越远，影子越短，但

不会比物体本身的长度还短.

5.（2024秋•文登区期末）线段是线段A8的正投影，则下列说法正确的是（）

A.AB>CDB.AB<CDC.AB^CDD.ABWCD

【考点】平:行投影；比较线段的长短.

【专题】投影与视图；推理能力.

【答案】C

【分析1根据正投影的概念即可解答.

【解答】解：当AZT与投影面平行时，AB=CD；

当/IB与投影面不平行时，AB>CD；

:,AB2CD.

故选：C.

【点评】本题考查了正投影，熟练掌握正投影的概念是解题的关键.

6.（2024秋•运城期末）如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的

影子常常是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

【考点】平行投影；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【答案】A

【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行，即可得出结果.

【解答】解：•・•太阳光是平行光，

・••投影后，矩形的影子的两组对应边仍然平行，

•・•题中没说明阳光是从哪个角度射入，

・•・影子为平行四边形；

故选：A.

【点评】本题考查平行投影，掌握其性质是解题的关键.

7.（2025•乾安县模拟）如图，力,光源。射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片/W投影到与胶

片平行的屏幕上，形成影像CD.已知AB=0.3（力〃），点光源到胶片的距离OE长为6CO长为

4.3（■）,则胶片与屏幕的距离即为（）dm.

D.78

【考点】中心投影.

【专题】图形的相似；投影与视图；运算能力.

【答案】C

【分析】证明△04BSM6’推出而=肃构建方程求出所即可.

【解答】解：*：AB//CD,

r.AOAB^AOCD,

OF.LCD,

/.OFA.AB,

•A_BOE

•■—，

CDOF

•丝_6

’’4.3-6+EF'

・•・£尸=80（dm）,

故选：C.

【点评】本题考查中心投影，用似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性

质解决问题.

8.（2024秋•城阳区期末）H悬是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“昼面”和“昼针”

组成.当太阳光照在日号上时，暑针的影子就会投向暑面.随着时间的推移，暑针的影子在唇面上慢慢

地移动，以此来显示时刻.则属针在客面上形成的投影是（）

A.中心投影

B.平行投影

C.既是平行投影又是中心投影

D.不能确定

【考点】中心投影；平行投影.

【专题】投影与视图：几何直观.

【答案】B

【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光

源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可.

【解答】解：痔针在唇面上形成的投影是平行投影.

故选：B.

【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键.

二.填空题（共5小题）

9.（2024秋•揭西县期末）如图，树人"在路灯O的照射下形成投影人C,己知树高八夕=2切，树影人

3〃?，树48与路灯O的水平距离AP=4.5m,则路灯的高度PO长是_5_米.

【专题】投影与视图；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用中心投影的性质得到A4〃OP,则可判断△CABs/XCPO,然后利用相似三角形的性质求

OP的长即可.

【解答】解：・・・人8在路灯。的照射下形成投影AC,

：.AB//OP,

:■△CbBsXCPO,

ABCA

••■_=.

OPCP

AB=2m,AC=3m,AP=4.5m,

.A_3

・・OP-3+4.5’

解得OP=5,

即路灯的高度PO长是5米.

故答案为：5.

【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线.物体与投影面平行时的投

影是放大（即位似变换）的关系.

10.（2025•景德镇模拟）日愚是我国古代的一种计时仪器，它由考面和唇针组成.当太阳光照在日号上时，

择针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则孱针在展面上形成的投影是平行投

影.（填“平行”或“中心”）

【考点】平行投影；平行线的判定.

【专题】数形结合；线段、角、相交线与平行线；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可.

【解答】解：•・•太阳光的光线可以看成平行光线，

・•・唇针在属面上形成的投影是平行投影，

故答案为：平行.

【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键.中心投影

的定义：光由一点向外散射形成的投影;平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影.

II.（2024秋•运城期末）如图，灯光下有一个标语牌，小马同学在晚上用如下方法测量这个标语牌的高度：

先量出标语牌在灯光下的影长，再找一根长度已知的竹竿，任意选定一个位置测量竹竿在这同一灯光下

的影长，然后由标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比即可求出标语牌的高度，他的方法

不是正确的.（填“是”或“不是”）

【考点】中心投影.

【专题】平移、旋转与对称.

【答案】不是.

【分析】根据平行投影，同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，中心投影，不存在这个性质，

即可得出结论.

【解答】解：因为灯光是中心投影，

所以标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比不一定相等，

故他的方法不正确；

故答案为：不是.

【点评】本题考查投影，掌握其性质是解题的关键.

12.（2024秋•赫章县期末）如图，皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔凫布进

行表演的民间戏剧.皮影戏中的“影”是一中心投影.（填“平行投影”或“中心投影”）

【考点】中心投影；平行投影.

【专题】投影与视图；应用意识.

【答案】中心投影.

【分析】中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影,

据此求解即可.

【解答】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影.

故答案为：中心投影.

【点评】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关犍是理解中心投影，平行投影的定义，属于中

考常考题型.

13.（2024秋•榕城区期末）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置

4的影子相比，在位置B（填“A”或"B”）的影子长一些.

畲

AB

【考点】中心投影.

【专题】投影与视图：几何直观.

【答案】B.

【分析】根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可.

【解答】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长，

由图可知：位置B离路灯比位置4离路灯远，

・♦・在位置B的影子长些;

故答案为：B.

【点评】本题考查投影，解题的关键是掌握同一物体，离光源越远，影子越长.

三,解答题（共2小题）

14.（2024秋•张店区期末）己知，加图，和QE是直立在地面上的两根S柱.某一时亥UAA

在太阳光下的投影BC=4m.

（1）请你在图中画出此时QE在阳光下的投影;

（2）在测量的投影时，同时测量出OE在阳光下的投影长为8加，计算。E的长.

【考点】平行投影.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；

（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系A及DE=BC：EF.计算可得

DE=14(in).

【解答】解：（1）连接AC,过点。作。F〃AC,交直线BC于点凡线段EF即为。E的投影.

(2)*：AC//DF,

：.NACB=NDFE.

VNABC=/。律=90°

，△ABCS^DEF.

・・・AB：DE=BC：EF,

•・・AB=7〃?，BC=4m,EF=8

/.7：4=DE：8

DE=14(机).

【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例.要求学生通过投影的

知识并结合图形解题.

15.（2024秋•横山区期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1）,其视线被车体遮挡而

不能直接观察到的那部分区域.预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力.小

明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2,是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB

为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点尸处与地面8E之间的距离为1.4m,车宽A尸=1.8〃?，车头用C。近

似看成一个矩形，且满足3。尸=2AF,点A,F分别在P8,PE上，点C,。在EB上，求汽车盲区E8

的长度.

【专题】几何图形：运算能力.

【答案】12.6m.

【分析】过点尸作于点N,交A”于点例.理由相似三角形的性质求解.

【解答】解：如图2,过点P作PALLEB于点N,交A广于点M.

：.DF=\.2m,

VZFDC=90°,AF//CD,

C.DFVDC

，：MN1DC,

:.DF=MN=\2m,

■:PN=1.4m,

・•・PM=PN-MN=1.4-1.2=0.2"，

VAF//EB,

：・NPFA=/E,ZPAF=ZB,

:.XPAFsXPBE,

根据相似三角形的性质可得：

AFPM

BE-PN'

•1.80.2

••~~~=~~~,

EB1.4

•••£3=12.6/〃

答：汽车盲区EB的长度为12.6m.

【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题.

考点卡片

1.相反数

（I）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两

个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

<3）多重符号的化简：与“十”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加如。的相反数是-小〃?+〃

的相反数是-（〃?+〃），这时〃H■〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号.

2.科学记数法与有效数字

（I）用科学记数法〃XIO”（iWaVIO,〃是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a

中的数字就是有效数字；

（2）用科学记数法，X10〃（ISOVIO,〃是正整数）表示的数的梢确度的表示方法是：先把数还原，再看

首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数.

例如：近似数4.10X105的有效数字是%],0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0

所在的位数是千位，即精确到千位.

3.坐标确定位置

平面内特殊位置的点的坐标特征

（I）各象限内点尸（小b）的坐标特征：

①第一象限：〃>0,h>（）；②第二象限：。<0,力>0；③第三象限：a<（）.b<0；④第四象限：。>0,b

<0.

（2）坐标轴上点P（〃，b）的坐标特征：

①X轴上：。为任意实数，b=0；②y轴上：。为任意实数，4=0；③坐标原点：a=0,b=0.

（3）两坐标轴夹角平分线上点P（。，b）的坐标特征：

①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b.

4.比较线段的长短

（I）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法.

就结果而言有三种结果：AB>CD.AB=CD.AB<CD.

（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点.

（3）线段的和、差、倍、分及计算

做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长

度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段.

如国，AC=BC,C为AB中点，AC=^AB,AB=2AC,D为CB中点，则CD=DB=^CB=AB=4CD,

这就是线段的和、差、倍、分.CD*8

5.余角和补角

（I）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补

角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它

们就具备相应的关系.

6.平行线的判定

（I）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，

两直线平行.

12）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，

两直线平行.

•3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角

互补，两直线平行.

（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么