重庆市聚奎中学2026届数学高二上期末质量检测模拟试题含解析

重庆市聚奎中学2026届数学高二上期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A. B.C. D.2．已知双曲线C的离心率为，，是C的两个焦点，P为C上一点，，若△的面积为，则双曲线C的实轴长为（）A.1 B.2C.4 D.63．双曲线：的渐近线与圆：在第一、二象限分别交于点、，若点满足(其中为坐标原点)，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.3 B.1C.0 D.﹣15．曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等6．若圆与圆相切，则的值为（）A. B.C.或 D.或7．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（）.A. B.C. D.8．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.9．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．在等比数列中，若，，则（）A. B.C. D.11．过点且斜率为的直线方程为（）A. B.C. D.12．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径，则实数_____.14．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________15．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________16．复数的实部为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.（1）求证：数列{-5000}为等比数列；（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？18．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）任意，恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知三个条件①圆心在直线上；②圆的半径为2；③圆过点在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）已知圆过点且圆心在轴上，且满足条件________，求圆的方程；（2）在（1）的条件下，直线与圆交于、两点，求弦长的最小值及相应的值21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（异于左右顶点）（1）求△的周长；（2）求椭圆E上的点到直线距离的最大值22．（10分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e是方程的一根（1）求椭圆C的方程；（2）已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求面积的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.2、C【解析】由已知条件可得，，，再由余弦定理得，进而求其正弦值，最后利用三角形面积公式列方程求参数a，即可知双曲线C的实轴长.【详解】由题意知，点P在右支上，则，又，∴，，又，∴，则在△中，，∴，故，解得，∴实轴长为，故选：C.3、B【解析】由，得点为三角形的重心，可得，即可求解.【详解】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由，得点为三角形的重心，可得，即，，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，三角形的重心的向量表示，属于中档题.4、C【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C5、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8对照选项，则正确故选：【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题6、C【解析】分类讨论:当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.①当两圆外切时，有，此时.②当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.7、A【解析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误.【详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确故选：A8、A【解析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果【详解】∵双曲线的离心率，∴又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为故选：A9、A【解析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为“直线和直线垂直，所以或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A10、D【解析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.【详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.故选：D11、B【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.故选：B.12、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2或－4【解析】求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则由题可得，即，解得或.故答案为：2或.14、或.【解析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.故答案为：或.【点睛】方法点睛：处理直线与圆位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.15、【解析】首先利用椭圆的对称性和为平行四边形，可以得出、两点是关于轴对称，进而得到；设，，，从而求出，然后由，利用，求得，最后根据得出离心率【详解】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，、两点是关于轴对称的由题知：四边形为平行四边形，所以可设，，代入椭圆方程解得：设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形对点：解得：根据：得：故答案为：16、【解析】复数，其实部为.考点：复数的乘法运算、实部.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）足够【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.【小问1详解】依题意，第1个月底股票市值则又∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.【小问2详解】由（1）知∴∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.18、（1）（2）【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.【小问1详解】令，则，则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，对称轴，开口向上，则，解得；【小问2详解】令，则，于是方程可变为，即，因为函数在单调递减，在单调递增，且，要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.19、（1）的递增区间为，递减区间为（2）【解析】(1)先求出函数的导数，令、解出对应的解集，结合定义域即可得到函数的单调区间；(2)将不等式转化为，令，利用导数讨论函数分别在、时的单调性，进而求出函数的最值，即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为，又当时，，当时，故的递增区间为，递减区间为.【小问2详解】，即，令，有，，若，在上恒成立.则在上为减函数，所以有若，由，可得，则在上增，所以在上存在使得，与题意不符合综上所述，.20、（1）条件选择见解析，圆的方程为（2）的最小值为，相应【解析】（1）选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）首先求得直线过定点，根据求得最短弦长以及此时的值.【小问1详解】若选条件①，由题意知，圆心是方程的解，解得，所以，设半径为，则．则圆的方程为：若选条件②，设圆心，由题意知，所以圆心，半径为，所以圆的方程为：若选条件③，设圆心，由题意知，即有，解得，圆心为，且半径为，所以圆的方程为：【小问2详解】由（1）圆的方程为：，圆心为，半径.直线过定点，要使弦长最短，，，，，直线的斜率，也即直线的斜率为，所以.，，所以弦长最小值为21、（1）；（2）.【解析】（1）利用椭圆的定义求△的周长；（2）设直线与椭圆相切，联立方程求参数m，与之间的距离的最大值，即为椭圆E上的点到直线l距离的最大值.【小问1详解】已知椭圆E方程为，所以，△的周长为，其中，所以△的周长为.【小问2详解】设直线与直线l平行