上海市上海外国语大学附中2026届数学高一上期末学业水平测试试题含解析

上海市上海外国语大学附中2026届数学高一上期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图象如图所示，则（）A. B.C. D.2．直线的倾斜角为（）.A. B.C. D.3．已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.4．命题“，是4倍数”的否定为（）A.，是4的倍数 B.，不是4的倍数C.，不是4倍数 D.，不是4的倍数5．若角的终边过点，则A. B.C. D.6．“”是函数满足：对任意的，都有”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}8．设，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图像的特征.如函数，的图像大致为（）A. B.C. D.10．设函数对的一切实数均有，则等于A.2016 B.-2016C.-2017 D.2017二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数定义域是____________12．记函数的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率等于__________13．已知函数是偶函数，它在上是减函数，若满足，则的取值范围是___________.14．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.16．函数的定义域是______________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（）.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若f（x）是偶函数，求k的值；（3）在（2）条件下，设，若函数与的图象有公共点，求实数b的取值范围18．已知函数.（1）若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.19．已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.20．已知函数，，且.（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.21．如图，三棱锥中，平面平面，，，（1）求三棱锥的体积；（2）在平面内经过点，画一条直线，使，请写出作法，并说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据正弦型函数图象与性质，即可求解.【详解】由图可知：，所以，故，又，可求得，，由可得故选：C.2、B【解析】设直线的倾斜角为∵直线方程为∴∵∴故选B3、C【解析】根据题意，结合Venn图与集合间的基本运算，即可求解.【详解】根据题意，易知图中阴影部分所表示.故选：C.4、B【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”故选：B5、D【解析】角的终边过点，所以.由角，得.故选D.6、A【解析】当时，在上递减，在递减，且在上递减，任意都有，充分性成立；若在上递减，在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选A.7、A【解析】由已知，集合A＝（－1，2），B＝（1，3），故A∪B＝（－1，3），选A考点：本题主要考查集合概念，集合的表示方法和并集运算.8、D【解析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.【详解】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D9、B【解析】根据题意求出函数的定义域并判断出函数的奇偶性，再代入特殊值点即可判断答案.【详解】由题意，函数定义域为，，于是排除AD，又，所以C错误，B正确.故选：B.10、B【解析】将换成再构造一个等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得【详解】①②①②得，故选：【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据偶次方根式下被开方数非负，有因此函数定义域，注意结果要写出解集性质.考点：函数定义域12、【解析】因为；所以的概率等于点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率13、【解析】由偶函数的性质可得，再由函数在上是减函数，可得，从而可求出的取值范围【详解】因为函数是偶函数，所以可化为，因为函数在上是减函数，所以，所以或，解得或，所以的取值范围是，故答案为：14、【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，又由方程有4个不同的实数根，即函数的图象与有四个不同的交点，可得，且，则=，因为，则，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15、【解析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以．点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．16、【解析】由题意可得，从而可得答案.【详解】函数的定义域满足即，所以函数的定义域为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1（3）【解析】（1）根据条件列指数不等式，直接求解即可；（2）利用偶函数定义列直接求解即可；（3）根据题意列方程，令，得到方程，构造，结合二次函数性质讨论方程的根即可.【详解】（1）因为所以原不等式的解集为（2）因为的定义域为且为偶函数，所以即所以.经检验满足题意.（3）有（2）可得因为函数与的图象有公共点所以方程有根即有根令且（）方程可化为（*）令恒过定点①当时，即时，（*）在上有根（舍）；②当时，即时，（*）在上有根因为，则（*）方程在上必有一根故成立；③当时，（*）在上有根则有④当时，（*）在上有根则有综上可得：的取值范围为【点睛】本题重点考查了函数方程的求解及二次函数根的分布，用到了换元和分类讨论的思想，考查了学生的计算能力，属于难题.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.【小问1详解】因函数的图象恒在直线上方，即，，于是得，解得，所以实数的取值范围是：.【小问2详解】依题意，，，令，，令函数，，，，而，即，，则有，即，于是得在上单调递增，因此，，，即，从而有，则，所以实数的取值范围是.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当a＝1时，利用对数函数的单调性，直接解不等式f（x）1即可；（2）化简关于x的方程f（x）+2x＝0，通过分离变量推出a的表达式，通过解集中恰有两个元素，利用二次函数的性质，即可求a的取值范围；（3）在R上单调递减利用复合函数的单调性，求解函数的最值，∴令，化简不等式，转化为求解不等式的最大值，然后求得a的范围【详解】（1）当时，，∴，解得，∴原不等式的解集为.（2）方程，即为，∴，∴，令，则，由题意得方程在上只有两解，令,,结合图象可得，当时，直线和函数的图象只有两个公共点，即方程只有两个解∴实数的范围.（3）∵函数在上单调递减，∴函数在定义域内单调递减，∴函数在区间上最大值为，最小值为，∴，由题意得，∴恒成立，令，∴对，恒成立，∵在上单调递增，∴∴，解得，又，∴∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及指对复合型函数的最值的求法，利用换元法将指对复合型函数转化为二次函数求最值是关键，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题20、（1）..（2）【解析】（1）由求得，作出函数图象可知的范围；（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．【详解】（1）因为，所以.函数大致图象如图所示令，得.故有3个不同的零点.即方程有3个不同的实根.由图可知.（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.因为，且函数在区间上为增函数，所以可得，解得.所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．21、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取的中点，连接，因为，所以，由面面垂直的性质可得平面，求出的值，利用三角形面