2026年高考数学复习热搜题速递之幂函数、指数函数、对数函数（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之幂函数、指数函数、对数函数（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．（log29）•（log34）＝（）A．14 B．12 C．2 D2．设a＝log2π，b=log12π，c＝πA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1 C．y＝sinx D．y＝cosx4．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c6．若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=19，则f（A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]7．化简[3A．5 B．5 C．-5 D．﹣8．已知函数f（x）=2x，x≤1log1A．12 B．2 C．﹣1 D．二．多选题（共4小题）（多选）9．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c） C．a⊗b≥1+a+bD．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）（多选）10．已知a＞A．a+2a＝b+log2b B．12C．a-1b＜12 D（多选）11．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（）A．1x+12y=1z B．3xC．xy＜2z2 D．x+y（多选）12．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm2+m-3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．若aA．a+b＞0，ab＜0 B．a+b＜0，ab＞0 C．a+b＜0，ab＜0 D．以上都可能三．填空题（共4小题）13．若10x＝3，10y＝4，则102x﹣y＝．14．已知函数f（x）=2-x-1，x≤0-x2-2x，x＞0，若f（a2﹣15．已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果alogb(x-3)＜1，那么x的取值范围为16．函数y＝（log14x）2-log14x2+5在2≤x≤4时的值域为四．解答题（共4小题）17．不用计算器计算：（1）log327+lg25+lg4+7log72（2）（278）-23-（499）0.518．已知函数f（x）=lo（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；（3）在（2）的条件下，记f﹣1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f﹣1（x）＝5k•2x﹣5k有解，求k的取值范围．19．已知f（x）＝log4（4x﹣1）．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；（3）求f（x）在区间[12，2]20．已知函数h（x）＝（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g（x）＝h（x）+1-2h(x)在x∈[0，1

2026年高考数学复习热搜题速递之幂函数、指数函数、对数函数（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DCDCBBBA二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDABDABDBC一．选择题（共8小题）1．（log29）•（log34）＝（）A．14 B．12 C．2 D【考点】换底公式的应用．【专题】计算题；运算求解．【答案】D【分析】直接利用换底公式求解即可．【解答】解：（log29）•（log34）=lg9lg2故选：D．【点评】本题考查对数的换底公式的应用，考查计算能力．2．设a＝log2π，b=log12π，c＝πA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【答案】C【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，log12π＜0，0＜π﹣2＜即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1 C．y＝sinx D．y＝cosx【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；判定函数零点的存在性．【专题】函数的性质及应用．【答案】D【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y＝lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）＝﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）＝cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．4．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【答案】C【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a＝log32∈（0，1），b＝log52∈（0，1），c＝log23＞1，所以a＝log32，b＝log52=lo所以c＞a＞b，故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．5．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c【考点】幂函数的单调性与最值；不等式比较大小．【专题】数形结合．【答案】B【分析】记住幂函数a＝2，a=12，a＝﹣1，a=-【解答】解：幂函数a＝2，b=12，c=-13，d在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d．故选：B．【点评】本题考查幂函数的基本知识，在第一象限内，x＞1时，图象由下至上，幂指数增大，是基础题．6．若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=19，则f（A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性．【专题】计算题．【答案】B【分析】由f（1）=19，解出a，求出g（x）＝|2x﹣4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f（【解答】解：由f（1）=19，得a2=19，于是a=13，因此f（x）＝（1因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查指数函数的单调性，复合函数的单调性，考查计算能力，是基础题．7．化简[3A．5 B．5 C．-5 D．﹣【考点】有理数指数幂及根式．【专题】计算题．【答案】B【分析】利用根式直接化简即可确定结果．【解答】解：[故选：B．【点评】本题考查根式的化简运算，考查计算能力，是基础题．8．已知函数f（x）=2x，x≤1log1A．12 B．2 C．﹣1 D．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题．【答案】A【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=log122=-1，f（﹣1）＝2所以f（f（2））＝f（﹣1）=1故选：A．【点评】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”．二．多选题（共4小题）（多选）9．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c） C．a⊗b≥1+a+bD．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】利用新定义及对数的性质和运算法即可求解．【解答】解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2log2(2a+2b)+2c]＝loga⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2log2(2b+2c)]＝log2（2a+2b+2对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥22a×2b所以log2（2a+2b）≥log22a+b2+1对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22-c(2a+2b)=log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c故选：BCD．【点评】本题考查对数值的求法，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用，属于中档题．（多选）10．已知a＞A．a+2a＝b+log2b B．12C．a-1b＜12 D【考点】对数函数的图象；对数值大小的比较；对数的运算性质．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学抽象；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A选项，利用函数f(x)=xx-1与y＝2x和y＝log2x图象交点的横坐标，及对称性求得a=log2b，对于B选项，根据题干a＞1，b＞对于C、D选项，利用不等式基本性质判断，注意取等条件．【解答】解：对于A选项，a、b分别可以看作函数f(x)=xx-1与y＝2x和y＝log2x图象交点的横坐标，由图可知，C（a，2a），D（b，log2又因为函数f(x)=xx-1图象关于y＝x对称，所以C、D两点关于y＝所以a=log2b，b=2a，对于B选项，因为a＞1，b＞1，a取倒数有，a-1a=1由A项可知，a=log2b，b=2a，b＝对于C选项，由1a+1b=1得：a-1b=a+1所以a-1b对于D选项，因为1a所以a+b=(a+b)(1a+1b)=2+b又因为a∈（1，2），所以等号不能取，所以a+b＞4，所以D项正确．故选：ABD．【点评】本题考查了指数函数、对数函数的性质、不等式的性质，考查了转化思想，运算能力，属于难题．（多选）11．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（）A．1x+12y=1z B．3xC．xy＜2z2 D．x+y【考点】对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，设3x＝4y＝6z＝k，k＞0，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由此能证明A正确；对于B，利用对数运算法则能推导出3x4y＜1，4y6z＜1，由此能比较3x、4y对于C，由（1x+12y）（x+对于D，由C结论，利用基本不等式即可得解D正确．【解答】解：设3x＝4y＝6z＝k，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴1x+12y=logk3+12logk4＝logk（3×2）＝对于B，∵x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，k＞1，∴3x＝3log3k，4y＝4log4k，6z＝6log6k，∵3x4y=3logk4∴3x＜4y，同理4y＜6z，∴3x＜4y＜6z．故B正确，对于C，xyz2=xz⋅yz=log36对于D，（1x+12y）（x+∴x+y＞32+21x+1故选：ABD．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用，考查了函数思想，属于中档题．（多选）12．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm2+m-3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．若aA．a+b＞0，ab＜0 B．a+b＜0，ab＞0 C．a+b＜0，ab＜0 D．以上都可能【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BC【分析】由对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)-f(x2)x1-x2＞0知f（x）在（0，+∞）上是增函数，结合f（x）是幂函数可求得f【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm2∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2，若m＝﹣1，则f（x）＝x﹣3，不符合题意；若m＝2，则f（x）＝x3，符合题意；故f（x）＝x3，则f（x）在R上是增函数，且是奇函数；对于选项A，∵a+b＞0，∴a＞﹣b，∴f（a）+f（b）＝f（a）﹣f（﹣b）＞0，故不符合题意；对于选项B，当a＝b＝﹣1时，a+b＜0，ab＞0，且f（a）+f（b）＝﹣2＜0，当a＝﹣2，b＝1时，a+b＜0，ab＜0，且f（a）+f（b）＝﹣8+1＝﹣7＜0，故符合题意；对于选项C，当a＝﹣2，b＝1时，a+b＜0，ab＜0，且f（a）+f（b）＝﹣8+1＝﹣7＜0，故符合题意；对于选项D，显然不符合题意；故选：BC．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．若10x＝3，10y＝4，则102x﹣y＝94【考点】有理数指数幂及根式．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】由10x＝3，10y＝4和102x﹣y＝102x÷10y＝（10x）2÷10y，能求出102x﹣y的值．【解答】解：∵10x＝3，10y＝4，∴102x﹣y＝102x÷10y＝（10x）2÷10y＝32÷4=9故答案为：94【点评】本题考查有理数指数幂的运算性质，解题时要注意指数幂的运算法则．14．已知函数f（x）=2-x-1，x≤0-x2-2x，x＞0，若f（a2﹣2）＞f（【考点】指数函数的单调性与最值．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的关系得出关于a的不等式是解决本题的关键．【解答】解：f（x）＝2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数f（x）＝﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数而函数在x＝0处连续∴函数f（x）在R上是单调递减函数而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．【点评】考查利用函数的单调性进行函数值与自变量大小关系的转化问题，考查解不等式求字母取值范围的思想和方法，属于中档题．15．已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果alogb(x-3)＜1，那么x的取值范围为（3，【考点】指数函数的单调性与最值；对数函数的单调性与最值．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【答案】见试题解答内容【分析】根据条件0＜a＜1，0＜b＜1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．【解答】解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果alogb(x-3)＜1，∴logb（x﹣3∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，故答案为：（3，4）．【点评】本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．16．函数y＝（log14x）2-log14x2+5在2≤x≤4时的值域为{y|【考点】对数函数的值域．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】利用换元法，令t=log14x由2≤x≤4可得﹣1≤t≤-12，由题意可得y=(log14x)2-2log1【解答】解：令t=log因为2≤x≤4，所以﹣1≤t≤-1则y=(log14x)2-2log又因为函数在[﹣1，-12当t=-12是函数有最小值254，当t＝﹣故答案为：{y|254【点评】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．四．解答题（共4小题）17．不用计算器计算：（1）log327+lg25+lg4+7log72（2）（278）-23-（499）0.5【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．【专题】函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出．（2）利用指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：（1）原式==3=3（2）原式==4=-【点评】本题考查了指数幂与对数的运算法则，属于基础题．18．已知函数f（x）=lo（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；（3）在（2）的条件下，记f﹣1（x）为f（x）的反函数，若关于x的方程f﹣1（x）＝5k•2x﹣5k有解，求k的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的奇偶性；对数函数的定义域；反函数．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求函数的定义域，即真数大于零，解含参数的不等式；（2）利用定义域关于原点对称，求出a的值；然后再看f（x）与f（﹣x）的关系，确定函数的奇偶性；（3）求出函数的反函数，分离参数，转化为求函数的值域．【解答】解：（1）x+2a+1x-3a+1所以当a＞0时，定义域为（﹣∞，﹣2a﹣1）∪（3a﹣1，+∞）当a＜0时，定义域为（﹣∞，3a﹣1）∪（﹣2a﹣1，+∞）；当a＝0时，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）（4分）（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，当且仅当﹣2a﹣1＝﹣（3a﹣1）⇔a＝2，此时，f(x)=log2x+5对于定义域D＝（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）内任意x，﹣x∈D，f（﹣x）＝log2-x+5-x-5=log2x-5x+5=-f（x），所以f（当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；由于f（x）为奇函数，所以在（﹣∞，﹣5）内单调递减；（10分）（3）f-1(x)=5(2x+1)2方程f﹣1（x）＝5k•2x﹣5k即2x+12x-1=k(2x-1)，令2x＝t，则t又t+1(t-1)2∈(0，+∞)，所以当k＞0，f﹣1（x）＝5k•2x﹣【点评】考查了分类讨论的思想方法，换元的思想方法；函数奇偶性的判定；特别注意换元后，新变量的取值范围，属难题．19．已知f（x）＝log4（4x﹣1）．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；（3）求f（x）在区间[12，2]【考点】对数函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据4x﹣1＞0求解即可（2）利用单调性的定义判断即可（3）根据（2）问结论得出最大值，最小值即可得出值域．【解答】解：（1）4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），（2）f（x）在（0，+∞）上单调增，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log4（4x1﹣1）﹣log4（4x2﹣1）＝log44又∵0＜x1＜x2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1﹣1＜4x2﹣1∴0＜4x1-14x∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增．（3）∵f（x）区间[12，2]∴最小值为log4（412-1）＝log41最大值为log4（42﹣1）＝log415∴值域为：[0，log415]【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知函数h（x）＝（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g（x）＝h（x）+1-2h(x)在x∈[0，1【考点】幂函数的单调性与最值．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据函数是幂函数，可知m2﹣5m+1＝1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值，（2）化简g（x），再求导，根据导数判断g（x）在∈[0，12]【解答】解：（1）∵函数h（x）＝（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，∴m2﹣5m+1＝1，∴m＝5或m＝0，当m＝5时，h（x）＝x6是偶函数，不满足题意，当m＝0时，h（x）＝x是奇函数，满足题意；∴m＝0，（2）∵g（x）＝x+1-2x∴g′（x）＝1-1令g′（x）＝0，解得x＝0，当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，∴函数g（x）在[0，12]∴g（12）≤g（x）≤g（0即12≤g（x故函数g（x）的值域为[12，【点评】本题考查的重点是幂函数的定义，函数奇偶性，以及利用导数判断函数的单调性，属于中档题．

考点卡片1．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指数函数的单调性可知，(6由幂函数的单调性可知，(2则(2故(6故选：B．2．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．3．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）=x+2，x＜0x2，0≤x解：f(-f(3f(9故f（f（f（-12）））4．幂函数的概念【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝xa=定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．5．幂函数的单调性与最值【知识点的认识】一、幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．二、幂函数与指数函数的对比式子名称axy指数函数：y＝ax底数指数幂值幂函数：y＝xa指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y=x12；（5）y＝y＝xy＝x2y＝x3y=y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．6．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n∈N②负分数指数幂：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．7．指数函数的单调性与最值【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．8．求指数函数及指数型复合函数的单调性【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．【解题方法点拨】指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．﹣分析指数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，指数函数单调递增；当0＜a＜1时，指数函数单调递减．﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性．﹣验证单调性的准确性．【命题方向】题目通常涉及分析指数函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．y=ex2解：根据题意，设t＝x2﹣5x+6，则y＝et，t＝x2﹣5x+6是二次函数，其对称轴x=52，在（﹣∞，52]上为减函数，在[5y＝et是指数函数，在R上为增函数，故y=ex2-5x+6的递增区间为[故答案为：[52，+9．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n10．换底公式的应用【知识点的认识】换底公式及换底性质：（1）logaN=logmNlogma（a＞0，a≠1，m＞0，（2）logab=1（3）logab•logbc＝logac，（4）loganbm=mnloga11．对数函数的定义域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．12．对数函数的值域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）13．对数函数的图象【知识点的认识】14．对数函数的单调性与最值【知识点的认识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）15．求对数函数及对数型复合函数的单调性【知识点的认识】对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数【解题方法点拨】﹣分析对数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，对数函数单调递增；当0＜a＜1时，对数函数单调递减．﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层对数函数确定复合函数的整体单调性．﹣验证单调性的准确性．【命题方向】常见题型包括分析对数函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是_____．解：∵f（x）＝lg（x2﹣2x﹣8），∴x2﹣2x﹣8＞0，∴x＜﹣2或x＞4，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），设t＝x2﹣2x﹣8，则函数t＝x2﹣2x﹣8在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减，在区间（4，+∞）上单调递增，∵函数y＝lgt为增函数，∴函数f（x）的单调递增区间为（4，+∞）．16．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）17．反函数【知识点的认识】定义一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．性质反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．