2026年东城区数学考试题及答案

2026年东城区数学考试题及答案

一、填空题（每题2分，共20分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+x-6=0}，则A∪B=______。2.函数f(x)=ln(x+1)的定义域是______。3.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_3=11，则公差d=______。4.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率是______。5.若直线y=kx+3与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则k=______。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b=______。7.若复数z=1+i，则|z|=______。8.函数f(x)=e^x在点(1,e)处的切线方程是______。9.在直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标是______。10.若向量u=(2,3)，v=(1,k)，且u∥v，则k=______。二、判断题（每题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。（）2.函数f(x)=sin(x)是奇函数。（）3.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_2=2，则a_4=4。（）4.抛掷一枚硬币，出现正面和出现反面的概率都是1/2。（）5.若直线y=kx+b与x轴平行，则k=0。（）6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。（）7.复数z=a+bi的模是√(a^2+b^2)。（）8.函数f(x)=x^3在定义域内是增函数。（）9.在直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点的坐标是(-a,-b)。（）10.若向量u=(1,2)，v=(2,4)，则u与v共线。（）三、选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在定义域内是增函数的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=1/xD.f(x)=ln(x)2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}3.在等差数列{a_n}中，若a_1=7，a_5=17，则a_10=（）。A.27B.28C.29D.304.抛掷两枚质地均匀的骰子，出现点数之和为7的概率是（）。A.1/6B.1/12C.5/36D.1/185.直线y=2x+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5的位置关系是（）。A.相交B.相切C.相离D.重合6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b=（）。A.1B.√2C.√3D.27.复数z=1+i的模是（）。A.1B.2C.√2D.√38.函数f(x)=e^x在点(1,e)处的切线斜率是（）。A.1B.eC.e^2D.09.在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴对称的点的坐标是（）。A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(-3,2)10.若向量u=(3,4)，v=(6,8)，则u与v的关系是（）。A.共线B.不共线C.垂直D.平行四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。2.解方程x^2-5x+6=0。3.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=2，d=3。4.求向量u=(2,3)和v=(1,2)的夹角θ。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数f(x)=x^2-4x+3的单调性。2.讨论直线y=kx+1与圆(x-2)^2+(y-3)^2=4的位置关系。3.讨论复数z=a+bi的模的性质。4.讨论向量u=(a,b)和v=(c,d)共线的条件。答案和解析一、填空题1.{1,2,3}2.(-1,+∞)3.34.1/25.±√36.√27.√28.y=e(x-1)+e9.(-a,b)10.3二、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√三、选择题1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.B9.B10.A四、简答题1.解：f(x)=x^3-3x^2+2x，求导得f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。计算f(-1)=0，f(1-√3/3)=4√3/9-1，f(1+√3/3)=1-4√3/9，f(3)=0。所以最大值是4√3/9-1，最小值是0。2.解：x^2-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0。所以x=2或x=3。3.解：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[4+3(n-1)]=3n^2+n/2。4.解：向量u和v的夹角θ满足cosθ=u·v/|u||v|=(2×1+3×2)/√(2^2+3^2)√(1^2+2^2)=8/√13√5。所以θ=arccos(8/√65)。五、讨论题1.解：f(x)=x^2-4x+3，求导得f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。当x<2时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f'(x)>0，函数单调递增。所以函数在(-∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。2.解：直线y=kx+1与圆(x-2)^2+(y-3)^2=4的位置关系取决于圆心(2,3)到直线的距离d与半径r=2的关系。d=|2k+1-3|/√(k^2+1)。当d=r时，相切；当d>r时，相离；当d