2025高中数学第一轮基础练习：直线、平面垂直的判定与性质（含答案）

2025新教材数学高考第一轮复习

8.4直线、平面垂直的判定与性质

五年高考

考点直线、平面垂直的判定与性质

1.（2023全国甲理，11,5分，中）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方

形『OPZA3,/尸。=45。,则△P8C面积为（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6企

2.（多选）（2023新课标H,9,5分，中）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直

径,乙花8=120。,以=2,点C在底面圆周上，且二面角P-/C-。为45。,则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=2y/2

口.△玄。的面积为

3.（2023全国甲文,18,12分，中）如图，在三棱柱ABC-A^Ci中，小CL平面ABC,NACB=90。.

⑴证明:平面4CG4J_平面BBCC;

⑵设48=小8,力小=2,求四棱锥小・B8QC的高.

4.(2021全国乙,电12分，中)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形，尸。_L底面ABCDM为BC

的中点，且

(1)证明:平面处MJ_平面PBD;

⑵若PD=OC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

5.(2022全国甲理，区12分，中)在四棱锥P-ABCD中,PD1底面

ABCD,CD//AB1D=DC=CB=1,AB=2,DP=®

(1)证明:8。_1_以；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

6.(2021新高考1,20,12分，中)如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,AB=.4D,0为

的中点.

(1)证明:04_L。。；

⑵若△OC。是边长为1的等边三角形，点£在棱力。上QE=2",且二面角£-8。-。的大小

为45。,求三棱锥A-BCD的体积.

7.(2023全国乙理，19,12分，中)如图，在三棱锥P-海C

中邓上BC/B=2,BC=2a,PB=PC=%BP/P,BC的中点分别为D,E,O4D=V^DO,点、F在

AC±.^FLAO.

(1)证明:"〃平面4。。；

(2)证明:平面4)0_L平面BEF;

⑶求二面角D-AO-C的正弦值.

三年模拟

综合基础练

1.（2023北京顺义二模,5）在正方体断CQ中，点M,N分别是棱DD,和线段8G上

的动点，则满足与DDx垂直的直线MV（）

A.有且仅有1条B.有且仅有2条

C.有且仅有3条D.有无数条

2.（2024届江苏南京师范大学附属中学期中,5）给出下列命题：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

②如果两条平行直线中的一条垂直于直线叽那么另一条直线也与直线m垂直；

③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行；

④如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.

其中是真命题的是（）

A.①②B.③④

C.①③D.②④

3.（2024届江苏南京学情调研,6）在正方体ABCD-A\B\CxD\中，过点B的平面a与直线A\C

垂直,则平面。截该正方体所得截面的形状为（）

A.三角形B四边形C.五边形D.六边形

4.（2023河南郑州联考,7）在正方体中,下列说法不正确的是（）

A.直线力G与直线8c垂直

B.直线ACi与平面ATBD垂直

C.三棱锥小-C归。的体积是正方体的体积的三分之一

D.直线4囱与直线8G垂直

5.（2023贵州毕节一模,9）图⑴是由正方形43C。和正三角形玄。组合而成的平面图形，将

三角形PAD沿AD折起，使得平面口。，平面"CQ,如图（2）,则异面直线PB与DC所成角

的大小为（）

A.15°B.30°

6.（2023湖南师大附中一模,6）如图,己知正四棱台4BCD-A向C】Di中〃8=640=4,88=2,

点M,N分别为小为0G的中点，则下列平面中与BB\垂直的是（）

A.平面4G。B.平面OA/N

C.平面4CNMD.平面力囱。

7.（多选）（2023广东一模,10）在四棱锥S-/5CO中,SO_L平面N4CZ）,四边形45co是正方形,

若SQ=4。,则（）

\.ACLSD

B/C与SB所成角大小为60。

C.BD与平面SCD所成角大小为45°

D.BD与平面SAB所成角的正切值为?

综合拔高练

1.（2024届山西运城景胜学校（西校区）月考,8）如图,以垂直于正方形ABCD所在平面，则以

下关系错误的是()

A.平面PCO_L平面PAD

B.平面平面必C

C.平面玄8_1_平面PBC

D.平面以4_1_平面PAD

2.（2024届江苏南京第一中学四模,16）已知平面口截一球面得圆M,过网心M日与a夹角为

60。的平面夕截该球面得圆M若该球的半径为4,圆M的面积为4兀，则圆N的面积

为.

3.(2024届山东德州适应性联考(一),15)已知矩形力3co中45=1,8C=&,£是边8c的中

点/E和BD交于点将△Z8E沿AE折起，在翻折过程中当AB与垂直时，异面直线

BA和CD所成角的余弦值为.

4.(2023辽宁沈阳质监,19)如图,在矩形ABCD中/8=4,E为边CD上的点,C8=CE,以BE为

折痕把△C4E折起，使点C到达点。的位置，且使二面角PdE-C为直二面角，三棱锥？43E

的体积为竽

(1)求证:平面总4_1_平面PAE-

(2)求二面角B-PA-D的余弦值.

8.4直线、平面垂直的判定与性质

五年高考

考点直线、平面垂直的判定与性质

1.（2023全国甲理』1,5分，中）己知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方

形,尸。=2。=3,/尸。1=45。,则4尸8。面积为（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6企

答案C

2.（多选）（2023新课标H,9,5分，中）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直

径,/4。3=120。,以=2,点C在底面圆周上，且二面角P-/C-。为45。,则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为4百兀

C.JO2V2

D.A%C的面积为

答案AC

3.（2023全国甲文,18,12分，中）如图，在三棱柱/3CH8G中/CJ•平面48C,N4C5=90。.

⑴证明:平面XCCM平面BBiCC,

⑵设48=4山44=2,求四棱锥4-88CC的高.

解析⑴证明:,・•4CJ_平面ABC,BCU平面ABC,

：.A\CLBC/：N4C5=90。,.••力C_LBC,

又•・,小C,，CU平面4CG4,且4cn/C=C,

・・・8C_L平面4CG小，又••FCU平面BBiCC

，平面/CCi/i_1_平面BB\C\C.

⑵过4作4O_LCG,垂足为O,

・・•平面/CG4_L平面88cle，且平面4CCMC平面88cC=CG/iOU平面ACC\A^

・・・4O_L平面3BGG即A\O是四棱锥ALBBICIC的高.

由（1）知

在RtAJiC^与Rt△4C8中,AiB=AB,BC=BC,

：.RtA/fiC^^RtAJCB,：.A\C=AC,：.A\C=A\C\,

又知4G,•••△C4G为等腰直角三角形，

・・・4%CC1=/m=1,即四棱锥4-5囱CC的高为1.

4.（2021全国乙,18,12分，中）如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PZ）_L底面ABCDM为BC

的中点，且PBA.AM.

⑴证明:平面为A/L平面PBD;

⑵若PD=QC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

解析⑴证明：由于PDX.平面ABCD,AMU平面力BCD,则PD工AM,乂

PB_L4M,PBCPD=P,PB,PDU平面PBD,

所以平面。8力，

因为4WU平面玄M,所以平面为历_1_平面PBD.

（2）由（1）知4M_L平面尸80,因为8OU平面P8D,所以，所以NM48+N/8ZA90。,

因为四边形ABCD为矩形，所以NDAB=NABM,所以ZMAB+ZAMB=9（）0,所以

N/5ZAN4WB,则则空=空，又AB=DC=\,M为BC的中点，所以/£>=&,

ABBM

所以S矩形ABCD=4B•AD=y/^.,

所以人故锥儿小幸矩形4BC0/0=：x夜x1=当

5.（2022全国甲理，电12分，中）在四棱锥P-ABCD中,PD1底面

ABCD,CD〃AB/D=DC=CB=\,AB=2,DP=6.

（1）证明:8。_1_以；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

解析⑴证明:过D作。儿L低垂足为"则力，三，又力。=1,所以苧.易知=|,所

以40=百，在△力3。中〃。2+&)2=力32,所以4)J_3D因为POJ_平面ZBCRBOU平面

48C。,所以PO_L8D,又因为尸。n/Z＞。,所以8Q_L平面PAD,又必U平面所以

BDVPA.

(2)解法一:由题设及⑴得三棱锥P-ABD的体积为K=ix|xlxV3xV3=i

又AB=2,PA=y/DM+DF2=2,PB=7DB2+Di=瓜,

所以cosN刃3"2北：：+配_:，则sinNRI8=^.

2AB-PA44

限

1逗

由

22V15之d

XXXX=一

设点D到平面PAB的距禺为"，则2-•d66

因此与平面PAB所成角的正弦值为总=

IUO

解法二:如图所示，作DEL4B,垂足为E,连接尸E因为PO_L底面48COH8U平面ABCD,

所以PDUB,又DECPD=D，故44_L平面PDE.

作DF1,PE,垂足为E因为平面PDEQRU平面PDE,所以DFA.AB.

因为4BnPE=E，所以平面PAB.

因此尸即为PD与平面PAB所成的角.

因为=1切•。伐所以DE专

故PE-\lDE2-t-DP2=苧

因此PD与平面PAB所成角的止弦值为寿=?

1CO

6.(2021新高考1,20,12分，中)如图，在三棱锥A-BCD中,平面力8。_L平面BCD/B=4DQ为

的中点.

(1)证明:O4_L。；

(2)若△OCO是边长为1的等边三角形，点后在棱/。上QE=2£4且二面角E-8C-O的大小

为45。,求三棱锥A-BCD的体积.

解析(1)证明:在△48。中,・.,4B=gO为BD的中点，

・・・4O_L8。又・・•平面平面8CR平面平面BCD=BD/OU平面ABD,：.AOL

平面BCD,

乂CQU平面BCD,：.AOA,CD.

⑵由OC=OD=OB得8C_L。。,由(1)知4OJ_平面8CQ,以。为原点，而，而,右的方向分别

为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则

。(0,0,0)乃(0,g,0),・・・丽=(0,75,0),设4。=4.

C

泗而=(|洋I。

设平面EBC的法向量为〃=(工丛2),

（V3y=0,

n-CB=0,

ji-CE=0,标+9+刎=。，

令x=a,则z=-l,；・〃=（凡0「1）,

易知平面BCD的一个法向量为m=(O,O,l),

由题可知|cos<m,心|=|蒜J=|7=|=

.,.a=l,即A0=\.乙BCD=1S△BCD-AO=|x|xlxV3xl=?,

故三棱锥A-BCD的体积为,

6

7.(2023全国乙理，19,12分，中)如图，在三棱锥P-序C

中工B1BC,AB=2、BC=2也PB=PCY,BP用P,BC的中点分别为D,EQ,AD=d5DO,点、F在

ACl^BFVAO.

⑴证明:E/7〃平面400;

(2)证明:平面力。OJL平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

解析解法一(几何法):(1)根据给定条件，证明四边形。。稗为平行四边形，再利用线面平

行的判定定理作答.

证明:如图1,连接DE、0£设4尸=〃C(O<Z<1),则而=BA+AF=BA+tAC=BA+t(BC-

BA)=(\-t)BA+tBC.易知40=-BA+^BC,9：BFLAO,

：.BF-A0=[(\-t)BA+£玩]•(一瓦？+g由)=(Z-1)瓦?2+/前2=4“-1)+4/=(),解得片;故F为

力。的中点.

,:D,EQ,F分别为PB,PA,BC工C的中点，

：.DE//AB^DE=^4BQF//HB,且OF=^AB,：.DEOF.

・•・四边形DEFO是平行四边形,・・・EF〃OQ

又EFU平面4OOQOU平面4。。

工石厂〃平面力。。

(2)由(1)的结论，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定定理作答.

证明:•/D,O分别是PB、BC的中点,.日产。=0，

：.DO=^PC=与，乂AD=V5D0.：.AD=^.

在Rt^ABO中/B=2,B0=^：.AO=C,

在△力。。中,002+4。2=力。2,

・・・。。，力。,由(1)知EF//ODMEFA.AO,

又A0工BF,BFCEF=F,BFU平面BEF,EFU平面BEF,

・・・40_L平面6EE

又40U平面4。。,・•・平面,4OO_L平面BEF.

(3)由Q)的结论作出二面角的平面角，再结合三角形重心的性质及余弦定理的推论求解.

如图1,过点。作OH〃BF交AC于点、〃，由AOVBF^〃OJ_4O,又由(2)知力。，故

NQOH为二面角D-AO-C的平面角，设ADCBE=G,

♦：D,E分别为PByPA的中点,・・・G为的重心，

：.DG^AD,GE=^BE,

TO为BC的中点,。〃〃8£・・・〃为FC的中点，由(1)知F为AC的中点,.・・/7/=//7,连接

3

DH,GF,：.DH=^3F,

由cosN/BD-"滴=得^4=714,

2x2x孚2x2xn

同理可得BE普、

22f—

・•・BI?+E产=3=BR故BElEF,则GF=Qxy)+得)=|,Gb=平,故DH=：x乎=

715

在△DOH中,O*BP=与OD当DH当,

63_15r

工cosNDOH—a==.

2X乎蜷2

・•・二面角。-/O-C的正弦值为号.

解法二(空间向量法):以BA.BC所在直线分别为轴，过点B且垂直于平面ABC的直线为

z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0)4(2,0,0)。(0,&,0),。(0,2企,0).

(1)证明:设而=A4C,0<z<l.V^4C=(-2,2V2,0),

・•・F(2-2A,2V22,0),丽=(2-2九2夜2,0).

•••87」4。,布=(・2,企,0),.・・丽・布=0,即-2(2・22)+4/1=0,解得/1=1,故/为力。的中点.

连接OF,DE；：D,E,O,F分别为PB,R4,BC/C的中点，

：.DE//AB,Q.DEfB,OF〃4B,且OF=^AB,

:・DEOF,故四边形为平行四边形,•••律〃。。，

又EFQ平面力QOQOU平面力QO,・・・E/〃平面4。。

(2)证明:易得力。等，

由COSZABD-4+2得/M=V14.

2x2x当2X2K假

%24-y2+z2=6,(x=-1,

x2+(y-2V2)2+z2=6,解得(y=企,故

((x-2)2+y2+z2=14,(z=V3,

P(-1,V2,V3),

又・；E是R4的中点，

・••E(段聋，二而=(男多,又

AO=(-2,V2,0),.'.AOBE=-2x1+V2x—+0x^=0,/.AOLBE,即AOLBE,又

ZZL

AOLBF,BECBF=B,

・・・4OJ_平面BEF,又AOC.平面ADO,

・•・平面平面BEK

(3)易知平面4OC的一个法向量为mi=(0,0,l),

•:D为PB的中点,，。（一也今9

.•.布=（-"翟），

设平面AOD的法向量为ni2=（x\,y\,z\）,

阿•荷=0力12/+企乃=0,

则_»即1&V3八

、7712'。。=0，（-2X1-~7力+TZ1=0，

取为=1,贝ij贝ij/«2=（1,V2,V5）,

设二面角D-AO-C的大小为"则|cos®|=|cosv加"2>|=^g==T

由题图可知,二面角£MO・C的平面鱼为钝角,・・・cos^=-y,Asin月条即二面角QdO・C的

正弦值为当

三年模拟

综合基础练

1.（2023北京顺义二模,5）在正方体ABCD・AiBCDi中，点MN分别是棱和线段8G上

的动点，则满足与DD,垂直的直线MM（）

A.有且仅有1条B.有且仅有2条

C.有且仅有3条D.有无数条

答案D

2.（2024届江苏南京师范大学附属中学期中,5）给出下列命题：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

②如果两条平行直线中的一条垂直于直线外那么另一条直线也与直线机垂直；

③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行；

④如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.

其中是真命题的是（）

A.①②B.③④

C.①③D.②④

答案D

3.（2024届江苏南京学情调研,6）在正方体ABCD-A,CQi中，过点B的平面a与直线AxC

垂直,则平面。截该正方体所得截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

答案A

4.（2023河南郑州联考,7）在正方体ABCD-AIBCDT中,下列说法不正确的是（）

A.直线力G与直线由C垂直

B.直线AC\与平面A\BD垂直

C.三棱锥Ai-CiBD的体积是正方体4BCD-4BCD1的体积的三分之一

D.直线18与直线8G垂直

答案D

5.（2023贵州毕节一模,9）图⑴是由正方形ABCD和正三角形处。组合而成的平面图形，将

三角形以。沿4。折起，使得平面平面如图（2）,则异面直线P3与。C所成角

的大小为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

答案C

6.（2023湖南师大附中一模,6）如图,已知正四棱台ABCD-AxBxCyDy中乂B=64B1=4,BB、=2,

点M,N分别为的中点，则下列平面中与BBT垂直的是（）

A.平面4G。B.平面。A/N

C.平面4CNMD.平面力BC

答案C

7.（多选）（2023广东一模,10）在四棱锥中,SQ_L平面/BCD,四边形/BCD是正方形,

若S£）=4。,则（）

K.ACLSD

B.JC与SB所成角大小为60°

C.BD与平面SCD所成角大小为45°

D.BD与平面SAB所成角的止切值为？

答案ACD

综合拔高练

1.（2024届山西运城景胜学校（西校区）月考,8）如图,RI垂直于正方形ABCD所在平面，则以

下关系错误的是（）

p

A.平面PCO_L平面为。

B.平面尸CO_L平面08C

C.平面以3_1_平面P8C

D.平面以5_1_平面处。

答案B

2.（2024届江苏南京第一中学四模,16）已知平面a截一球面得圆过圆心〃且与a夹角为

60。的平面夕截该球面得圆N.若该球的半径为4,圆M的面积为4兀，则圆N的面积

为.

答案13K

3.（2024届山东德州适应性联考（一）,15）已知矩形AB