2020北京市中考数学真题及答案解析

2020年北京市高级中等学校招生考试数学试卷(满分:100分考试时间:120分钟)一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1~8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的三视图,该几何体是 ()A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体2.2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为 ()A.0.36×105 B.3.6×105 C.3.6×104 D.36×1033.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是 ()A.∠1=∠2 B.∠2=∠3C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠54.下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是 ()5.正五边形的外角和为 ()A.180° B.360° C.540° D.720°6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b满足-a<b<a,则b的值可以是()A.2 B.-1 C.-2 D.-37.不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是 ()A.14 B.13 C.128.有一个装有水的容器,如图所示.容器内的水面高度是10cm,现向容器内注水,并同时开始计时.在注水过程中,水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是 ()A.正比例函数关系 B.一次函数关系C.二次函数关系 D.反比例函数关系二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.若代数式1x-7有意义,则实数x10.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是.

11.写出一个比2大且比15小的整数.

12.方程组x-y=113.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=mx交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2的值为14.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是(写出一个即可).

15.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABCS△ABD(填“>”“=”或“<”).

16.下图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票,所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时,只购买第一排的座位相邻的票,同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票,那么甲购买1,2号座位的票,乙购买3,5,7号座位的票,丙选座购票后,丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票,要使其他三人都能购买到第一排座位的票,写出一种满足条件的购票的先后顺序.

三、解答题(本题共68分,第17~20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23~24题,每小题6分,第25题5分,第26题6分,第27~28题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算:13-1+18+|-2|-6sin18.解不等式组:519.已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.20.已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB.求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP=12∠作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;②连接BP.线段BP就是所求作的线段.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:∵CD∥AB,∴∠ABP=.

∵AB=AC,∴点B在☉A上.又∵点C,P都在☉A上,∴∠BPC=12∠BAC()(填推理的依据)∴∠ABP=12∠21.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.22.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.23.如图,AB为☉O的直径,C为BA延长线上一点,CD是☉O的切线,D为切点,OF⊥AD于点E,交CD于点F.(1)求证:∠ADC=∠AOF;(2)若sinC=13,BD=8,求EF的长24.小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2-x+1)(x≥-2)下面是小云对其探究的过程,请补充完整:(1)当-2≤x<0时,对于函数y1=|x|,即y1=-x,当-2≤x<0时,y1随x的增大而,且y1>0;

对于函数y2=x2-x+1,当-2≤x<0时,y2随x的增大而,且y2>0;

结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当-2≤x<0时,y随x的增大而.

(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:x0113253…y01171957…结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象.(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l与函数y=16|x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点,则m的最大值是25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为(结果取整数);

(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍(结果保留小数点后一位);

(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12,5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32.直接写出s26.在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1<x2.(1)若抛物线的对称轴为直线x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c;(2)设抛物线的对称轴为直线x=t.若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围.27.在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.28.在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径为1,A,B为☉O外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB,得到☉O的弦A'B'(A',B'分别为点A,B的对应点),线段AA'长度的最小值称为线段AB到☉O的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB得到☉O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是;在点P1,P2,P3,P4中,连接点A与点的线段的长度等于线段AB到☉O的“平移距离”;

(2)若点A,B都在直线y=3x+23上,记线段AB到☉O的“平移距离”为d1,求d1的最小值;(3)若点A的坐标为2,32,记线段AB到☉O的“平移距离”为d2,直接写出d12020年北京市高级中等学校招生考试参考答案一、选择题1.D根据题中三视图可以判断该几何体是长方体.故选D.2.C36000=3.6×104.故选C.3.A∠1和∠2是对顶角,所以∠1=∠2,选项A正确;∠2是△AOD的外角,所以∠2>∠3,同理∠2是△COB的外角,∠2>∠5,选项B、D错误;∠1是△COB的外角,所以∠1=∠4+∠5,选项C错误.故选A.4.D选项A不是中心对称图形,是轴对称图形;选项B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项C是中心对称图形,不是轴对称图形;选项D既是中心对称图形也是轴对称图形.故选D.5.B多边形的外角和是360°.故选B.6.B通过观察数轴可知1<a<2,所以-2<-a<-1.因为-a<b<a,所以b对应的点到原点的距离一定小于2.观察四个选项,只有选项B符合.故选B.7.C解法一:摸两次球,可能的结果有4种,分别为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),数字之和为3的情况有2种,所以两次记录的数字之和为3的概率为12.故选C解法二:画树状图如下.所以共有4种情况,它们发生的可能性相等,其中数字之和为3的情况有2种,所以两次记录的数字之和为3的概率是24=18.B设注水时间为t秒,水面高度为hcm,当t=0时,h=10cm,所以不是正比例函数关系;又由题意可知,水面高度匀速增加,所以可知水面高度与对应的注水时间是一次函数关系.故选B.二、填空题9.答案x≠7解析代数式1x-7有意义,即x-7≠0,解得x≠10.答案1解析一元二次方程有两个相等的实数根,所以Δ=4-4k=0,解得k=1.11.答案答案不唯一,如:2解析1<2<2,3<15<4,所以比2大且比15小的整数为2或3.答案不唯一,写出1个即可,如:2.12.答案x=2解析x-y=1,①3x+y=7,②①+②得4x=8,所以x=2.将x13.答案0解析根据题意可知直线y=x和双曲线y=mx的交点为(-m,-m),(m,m),所以y1+y2=-m+m=0.14.答案答案不唯一,如:D是BC的中点解析根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据“角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.15.答案=解析根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面积相等.16.答案答案不唯一,如:丙、丁、甲、乙解析已知丙第一个购票,且买4张,可知丙购买的是3,1,2,4这四个位置,则左边剩余6个位置,右边剩余5个位置;若甲第二个购票,则甲购买的是5,7这两个位置,此时只能是丁第三个购票,乙最后购票,否则无法满足题意,即此时顺序为丙、甲、丁、乙;同理,若乙第二个购票,则乙购买的是5,7,9这三个位置,接下来只能是丁第三个,甲第四个,即此时顺序为丙、乙、丁、甲;若丁第二个购票,则甲、乙顺序无影响,即此时顺序为丙、丁、甲、乙(或丙、丁、乙、甲).三、解答题17.解析原式=3+32+2-6×22 (4分)=5. (5分)18.解析5x解不等式①,得x>1. (2分)解不等式②,得x<2. (4分)∴原不等式组的解集为1<x<2. (5分)19.解析(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4. (3分)∵5x2-x-1=0,∴5x2-x=1.∴原式=2(5x2-x)-4=-2. (5分)20.解析(1)补全的图形如图所示.(2分)(2)∠BPC; (3分)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (5分)21.解析(1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴DO=BO,∵E是AD的中点,∴EO∥AB,∵EF∥OG,∴四边形OEFG是平行四边形,∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,∴四边形OEFG是矩形. (3分)(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=AD=10.在Rt△AOD中,E为AD的中点,∴AE=12AD=5,OE=12AD=5.∵EF∴在Rt△AFE中,AF=AE2-E∵四边形OEFG是矩形,∴FG=EO=5,∴BG=AB-AF-FG=2. (6分)22.解析(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,∴k=1. (1分)∵一次函数y=x+b的图象过点(1,2),∴1+b=2,∴b=1. (2分)∴这个一次函数的解析式为y=x+1. (3分)(2)m≥2. (5分)详解:当x>1时,函数y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m≠0)的图象在直线y=x+1上方,临界条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2,当m>2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x>1时,y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值.∴m的取值范围为m≥2.23.解析(1)证明:连接OD,如图.∵CD是☉O的切线,∴∠ODC=90°,∴∠ADC+∠ADO=90°.∵OF⊥AD于点E,∴∠AEO=90°,AE=DE,∴∠OAD+∠AOF=90°.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ADC=∠AOF. (3分)(2)在Rt△CDO中,sinC=ODOC=1设OD=x,则OC=3x,BC=4x.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠AEO=∠ADB,∴OF∥BD,∴△COF∽△CBD,∴OFBD=OCBC.∵BD=8,∴OF=3x4x×8=6.∵AE=DE,AO=BO,∴OE∴EF=OF-OE=2. (6分)24.解析(1)减小;减小;减小. (3分)详解:在函数y1=-x中,∵k=-1<0,∴当-2≤x<0时,y1随x的增大而减小.∵y2=x2-x+1=x-122+34,∴其图象的对称轴为直线x=12,∴当-2≤x<0时,综上所述,y=16|x|(x2-x+1)在-2≤x<0时,y随x的增大而减小(2)(4分)(3)73. (6分详解:根据(1),可知当-2≤x<0时,y随x的增大而减小,当x=-2时,y=73,所以若直线l与函数图象有两个交点,则m的取值范围是0<m≤73,即最大值为25.解析(1)x=(100+170+250)×1030=520即答案为173. (2分)(2)17360≈2.9. (4分(3)s12>s22>s32详解:根据题中图象可知,1日到10日的数据最分散,21日到30日的数据最为集中,根据方差的意义可知s12>s226.解析(1)由抛物线的性质可知,只有当点M(x1,y1),N(x2,y2)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y1=y2.∵x1<x2,∴当x2-1=1-x1时,y1=y2.∵抛物线过点(0,c),∴x1=0,∴x2=2,∴当x1=0,x2=2时,y1=y2=c. (3分)(2)当t≤32时,∵x1+x2>3,x1<x2∴x2>32故当t≤32时,只需讨论x2>t的情况①当x1<t<x2时,∵x1+x2>3,t≤32,∴x1+x2>2∵抛物线的对称轴为直线x=t,且x1<t,∴t<2t-x1<x2.∵当x=2t-x1时,y=y1,且a>0,∴y1<y2,符合题意.②当t≤x1<x2时,∵a>0,∴y1<y2,符合题意,∴当t≤32时,对于x1+x2>3,都有y1<y2当t>32时,令x1=32,x2=t,此时x1+x2>3,但y1>y2,综上所述,t的取值范围是t≤32. (6分27.解析(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∴∠DFB=90°.∵∠C=90°,∴DF∥AC.∵BD=DA,∴BFFC=BDDA=1.∴BF=∵AE=a,BF=b,∴在Rt△ECF中,EF=CE2+CF2=AE2(2)依题意补全图形,如图.线段AE,EF,BF