2026年中考数学复习之大题演练：矩形

2026年中考数学复习之大题决胜演练：矩形

1.如图，矩形4BC。的对角线交于点O,E为CD边上一动点(不与。、。重合)，尸在射线上，且

OEVOF,连接七户.

图1图2

(1)如图1,若E为CQ的中点，A8=4,8。=3,则我尸=

(2)如图2,E为CO上一动点,

①根据题意,补全图形;

②写出OE、EF,B/的数量关系，并证明你的结论.

2.如图1,将一张矩形纸片A4CO沿着对角线4。向上折叠，顶点C落到点E处.

(I)求证：△BOF是等腰三角形；

(2)如图2,过点。作。G〃8E,交BC于点、G,

①判断四边形BFQG的形状，并说明理由；

②若A8=6,AD=8,求产G的长为

图1图2

3.在平面直角坐标系中，。为原点，点8在x轴的正半轴上，D(0,8),将矩形08co折叠，使得顶点

B：落在CD边上的尸点处.

(1)若图1中的点P恰好是8边的中点，求/A08的度数；

(2)如图1,已知折痕与边6c交于点A,若OD=2CP,求点A的坐标;

(3)如图2,在(2)的条件下，擦去折痕A。，线段4P,连接8P,动点M在线段OP上(点例与P,

。小里合)，动点N在线段0B的延长线上，且BN=PM,连接MN交于点F,作于点E,

试问当点M,N在移动过程中，线段E尸的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段

E尸的长度.

4.在矩形A8CD中，AD=nAB,E,尸分别在A8,BC上.

(1)若〃=1,AFA.DE.

①如图1,求证：△A£Z)gZk8"；

②如图2,点G为C8延长线上一点，OE的延长线交AG于H,若A”=AO,求证：AG=AE+BG；

(2)如图3,若£为/W的中点，NADE=NEDF,求理的值(结果用含〃的式子表示).

BF

图1图2图3

5.如图1,在矩形A8CD中，AB=6,8c=8,G、”分别是AD,8c的中点，E、尸是对角线AC上的两

个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为/秒，其中OWfW

10.

(1)当0W/V5,则四边形EGF”一定是.(点E、/相遇时除外)

(2)求证：当，=8时，四边形EGF”是矩形；(提示：在图2中先标出点E、F)

(3)如图3,若G向。点运动，〃向4点运动，且与点E,F以相同的速度同时出发，设M和N分别

是人。和BC的中点，当四边形EGF”为菱形时，请求出/的值.

6.在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转.小明在旋转的过程中发现，随

着旋转角度的变化可以研究很多数学问题.如图，已知矩形ABCD,AB=5,BC=3,将矩形ABC。绕

点A按逆时针方向旋转a(0°<a<180°),得至U矩形4GFE,点B的对应点是点G,点。的对应点是

点F,点。的对应点是点E,连接8G.

(1)如图①，当a=60°时，BG=如图②，当a=90°时，BG=

<2）如图③，当边石尸经过点5时，BG=；

（3）如图④，当点尸落在C3的延长线上时，BG=

7.在矩形A5CQ中，AB=6cm,BC=4cm,点、P以每秒1m的速度沿折线AD-7c运动，点Q以每秒3cm

的速度沿折线/M-AO-QC运动.点P、。同时出发，当点。到达终点。时，点。停止运动.设运动

时间为/（秒）.

（I）①当点Q在AD上运动时，QD=c〃?；（用含/的代数式表示）

②当点。在。C上运动时，QD=cm.（用含f的代数式表示）

（2）当点P、。在运动过程中到点。的距离相等时，求/的值.

（3）当点P、。在同一条边上运动时，连结BP、BQ.直接写出的面积是5c〃P时，的值.

ADAD

BBC

备用图

8.如图，点O为矩形A3CO的对称中心，AB=6cm,BC=8cm.点、E、F、G分别在边A3、BC、C。上.点

£从点8出发向点4运动，速度为45加，点少从点4出发向点C运动，速度为3c加s,点G从点C出

发向点。运动，速度为4cm/s.当点七到达点人（即点E与点人重合）时，三个点随之停止运动.在运

动过程中，△E8尸关于直线所的对称图形是AEB'F,设点反F、G运动的时间为/（单位：s）.

（1）四边形防FB'（填“能”或“不能”）是正方形；

（2）若M、N分别是ER尸G的中点，连接8M,问：当f为何值时，四边形8M2是平行四边形？

（3）是否存在实数3使得点8'与点0重合？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理

由.备用图

9.如1,在平面直角坐标系xO)，中，矩形OA8c的顶点0,4和C的坐标分别为。(0,0),4(0,〃),

C(c,0)»且a,c满足a?—8a+16+"c-6=0.

(1)求4,C的值；

(2)点。在OC上，将△Q4D沿A。折叠，使点O落在矩形内点E处.

①如图2,D,E,B三点共线，连接BE,求此时点。的坐标：

②如图3,若点。是线段OC的中点，连接CE,求CE的长.

10.在四边形/WC。中，N4=NB=NC=NQ=90",AB=CD=\(),BC=AQ=6,P为射线BC上一点,

将AABP沿直线AP翻折至石尸的位置，使点B落在点石处.

(1)若P为BC上一点.

①如图1,当点E落在边CO上时，求CE的长：

②如图2,连接CE,CE//AP,则BP与5c有何数量关系？请说明理山;

(2)如果点尸在8c的延长线上，当△尸EC为直角三角形时，求P8的长.

II.如图，在矩形ABCQ中，A8=6,8c=9,E是边AO上的一个动点，户是边8c上的一个动点，连接

EF,将矩形沿E/折叠，点A，8的对应点分别为点M,N.

(1)当点N在射线4。上时.

①如图1，连接CE,若点N与点。重合，则的长为____________________?

②如图2,连接用V交边C。于点P,交线段Er于点Q.当。N=3时，求PQ的长.

(2)若CF=1,连接。M,DN,求△OMN面积的最大值与最小值之差

M

I二

FF

图1图2备用图

12.矩形ABCZ)中，AB<BC,4B=6,E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点尸恰好落在射线D4

上.

(1)如图，当点E在边。上时，若BC=10,。尸的长为:若A/•。尸=9时，求。尸的长:

MF1

(2)作/A"的平分线交射线OA于点M,当定=3时'求°产的长.

13.如图，在矩形A8CO中，AC与BO相交于。，NCO/)=60°,点石是BC边上的动点，连接。石，OE.

(1)求证：△COQ是等边三角形；

(2)如图1,当OE平分/人。。时.试证明OC=EC,并求出/。。内的度数:

图1

(3)如图2,当OE平分N8DC时,试证明0d+。。2=。炉

上

BEC

(图2)

14.【问题探究】

(1)如图1,在矩形A4CO中，46=12,AL)=9,点E为人4左侧一动点，连接AE、BE,AFIBET

点凡AE=2EF,点G为矩形ABC。内一点,连接4G、BG、CG、DG,N4GB+N4EB=180°,求^

COG面积的最小值；

【问题解决】

(2)如图2,直线/为一条笔直小路，矩形种植地ABC。的边CQ在直线/上，日.8C=2AB=80米,

赵叔叔计划对这块种植地重新进行规划利用，在边5c和点C上方的小路，上分别取点石、凡使得CF

=2BE,沿AE、8/修建两条通道（记通道AE与8尸的交点为G）,并在8尸上取点N,沿CN修建第三

条通道，使得CN〃AE,在△BCN的内心P处修建•个观察台，并在△A。尸内种植某种新品种作物,

根据赵叔叔的规划要求,观赏台尸到A、。两点的距离相等，请你计算此时^A。尸的面积.

15.回顾情景，数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长

分别为AD=bQi<b).

动手实践：

如图1，小华将矩形纸片ABC。折叠，点A落在BC边上的点尸处，折痕为BE,连接ER然后将纸片

展开，得到正方形4EFB,矩形CDEF.

（1）折痕BE的长为；（用含。的式子表示）

（2）如图2,若P为线段8〃上的任意一点，。为C。的中点，小芳继续将矩形纸片A8CD沿经过P,

。两点的直线折叠，使点C落在折痕E尸上的点G,折痕。。与折痕EF交于点〃，小芳同学不断改变

点P的位置，发现四边形DGHQ是某种特殊四边形.

①请你判断四边形。G”Q的形状，并给予证明；

②若NQPC=30°,求四边形。GHQ的周长.（用含。的式子表示）

16.已知地形人8c。中，AD=\（J,A8=6,P是4。边上一点，连接BP,将ZXAA。沿着直线BP折叠得到

△EBP.

(1)如图1,若点E在BC边上，AP的长为

当P、E、。三点在同一直线上时，求AP的长;

17.综合与探究

问题情境：

数学活动课上，李老师让各小组制作矩形A8CD,并将其绕点A顺时针旋转得到矩形A"C'。'，以

图1图2备用图

猜想证明：

(1)如图1,“实践小组”将其矩形A8CZ)旋转至点夕落在边C。上，并延长C。交UD于点E.试

猜想线段"E与夕4的数量关系，并说明理由；

实践探究：

(2)如图2,“腾飞小组”发现将其矩形4BCQ旋转至点C'落在边4。的延长线上时，矩形44C

的对角线交点刚好与点。重合，此时，AB'交C。于点瓦过点。作AB'的平行线交于点立请

判断四边形4ECT的形状，并说明理由；

深入探究：

(3)“创新小组”提出问题：在旋转过程中，当点山，A,。三点共线时，直线8C'交直线CD,AD

BM

分别于点M,N,若48=4,BC=2,求=的值.请你思考此问题，直接写出结果.

18.问题背景

如图(1),在矩形ABC。中，E为。C上一点，尸为BC上一点，且A凡LEF,求证：AADE^AECF.

问题探究

如图(2),以AE为边作等边AAEG,G点在C8的延长线上，当EF：GF=2：7的时候，求△GE/与

△AGE的面枳之比.

问题拓展

如图(3),G在8c的延长线上，连接EG,当NEGC=NE/^=60°,EC=会,FG=4时，直接写

出八G的长度.

⑴⑵

19.在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决.

DCDi-------：-------.C

ABA।--------：--------Ifi

（备用图1）（备用附

（1）如图1，在矩形ABC。中，AB=6,AO=10,点E是CO边上一点，将△AOE沿AE折叠，使点

。落在8c边上的。'处，求CE的长；

乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分）

解：由折叠可知：△»AE^/\DAE,

：.AD'=AO=10,ED'=ED.

VZB=90°,A8=6,

:・BD'=,

：.CD'=.

在RlACED，中，设CE=x,则O'E=DE=b-x.

由勾股定理可得：AC2+CE2=D,E2,即（）2+?=（6-x）2,

解得CE=.

（2）如图2,在矩形A8CO中，AB=12,AD=5,点E是CD边上一动点,将AAOE沿AE折叠，点

。落在。'点处，当△CEZT为直角三角形时，求CE的长：

（3）如图3,在矩形A8c。中，AB=8,4。=5,点E是直线CO上一动点，将沿AE折叠，当

点。的对应点。'恰好落到4B边的中垂线上时，请直接写出CE的长.

20.综合与探究

问题背景：

活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论.在矩形44C。中，48=3,。是对角线

上的一个动点(不与点从。重合)，NC8Q=30°,连接CP,过点。作CP的垂线交射线A8于点

M，交射线C8于点N,连接CM.

探索发现:

(1)如图1,当P是对角线4。的中点时，此时线段PC的长为,NPMC的度数为

(2)如图2,当NPCQ=45°时，请你解答如下问题：

①求线段PB的长；

②判断线段PM与PC的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,当NPCQ=15°时，直接写出PM2的值.

参考答案

1.解：（1）•・•四边形ABC。是矩形，

/.ZBCD=90°,BO=DO,DC=AB=4f

•・•£为CO的中点，

1

：,DE=CE=^DC=2,。石是△BOC的中位线，

13

：.0E||BC,OE=gBC=彳,

AZOEC=90°,

'JOELOF.

：,ZEOF=90a,

・•・四边形OF"是矩形,

2

：,CF=0E=呈

5

在RtZ\Er。中，EF=VCF2+CE2~r

故答案为：

图1

②D烂+BF2=E户;

证明：延长EO交于点儿连接“凡如图2：

•・•四边形A8CD是矩形,

：・OB=OD,AB//CD,NHBF=90°,

/.ZOBH=/ODE,

在△。0£和△40H中，

(△DOE"BOH

lOD=OB,

{/.ODE=Z.OBH

：./\DOE^/\BOH(ASA),

：.OH=OE,BH=DE,

YOELOF,

・・・O尸垂直平分

:・EF=FH,

在RtZ\"8尸中，由勾股定理得：BH2+BF2=HF2,

・；BH=DE,EF=FH

：・DF+B/=EF2.

2.(1)证明：•・•四边形A8CD是矩形，

J.AD//BC,

/.NADB=NCBD,

由折叠的性质可知：NEBD=/CBD,

：,/ADB=/EBD,

：.BF=FD

尸是等腰三角形；

(2)解：①四边形8PQG是菱形.理由如下：

，：FD"BG,DG//13E,

••・四边形B/7X7是平行四边形

乂•：BF=DF,

•••四边形BFDG是菱形；

②设A/=x,则FQ=8-%,

：.BF=FD=8・x,

在Rt/XABF中，由勾股定理得：62+?=(8-x)2

解得：x~\y

.725

・r・FnD=Q8--=—,

在RtZ\AB。中，AB=6,A£>=8,

由勾股定理得：BD=V62+82=10,

•••四边形/苏'OG是菱形，

：,OD=\BD=5,

在Rt^OD尸中，由勾股定理得：FO2+DO2=FD2,

即「。2+52=(竽尸，

解得：尸。=竽，

:・FG=2F。=摄

故答案为：y.

3.解：（1〉•・•点P恰好是边的中点,

设DP=PC=y,

则DC=OB=OP=2y,

在RtZ\O。尸中，由勾股定理得：O0+DA=O产,

A82+/=(2y)2,

解得：)=竽，

:/。以=NB=90°,

：・X0DPS»PCA,

：.0D：PC=DP：CA,

y-y•Ac

・f

8:-•

8

y2_

8=

3*

••CD_C16右

.0B=2y=冷，

・，/iAB16V3

••tan^.AOB==—

16、月

-T-

・・・NAO8=30°；

解法二：・・・。户是。。的一半，OP=OB=CD,

：.DP=5OP,

，在RtaOOP中，ZDOP=30°,

/.ZAOB=ZAOP=30a；

(2)VD(0,8),

：・OD=BC=8,

*/OD-2CP,

：.CP=4,

设OB=OP=DC=x,则DP=x-4,

在RtZ\OD尸中，由勾股定理得：0。2+。尸=0户,

/.82+(%-4)2=/,

解得：x=10,

•••/0%=N8=9(T,

:.△ODPsRpcA,

工OD：PC=DP：CA,

A8：4=(x-4)：AC,

则4。=亨=3,

・"8=5,

，点4(10,5)；

(3)当点M,N在移动过程中，线段£厂的长度不发生变化；理由如下:

作MQ〃人N,交PR于点、Q,如图2,

图2

'：OP=OB,MQ//AN,

：.ZOPI3=NABP=NMQP,

:,MP=MQ,

•:BN=PM,

:.BN=QM,

\9MP=MQ,MELPQ,

1

：.EQ="Q,

•JMQ//ON,

：./QMF=/BNF,

:.△MFQWANFB(AAS),

:・QF=gQB,

111

・・尸才

•EF=EQ+QF=5乙Q+^乙QB=乙B,

由(2)中的结论可得：PC=4,8c=8,ZC=90°,

:.PB=V82+42=4V5,

:・EF=9PB=2炳,

・・・当点”、N在移动过程中，线段£厂的长度不变；它的长度为26.

4.(1)证明：①；四边形A8C0是矩形，AD=AB,

・•・四边形ABC。是正方形，

：,AD=AB,ZDAB=90a=AABC,

：.ZDAF+ZBAF=9()0，

；・NOA尸+/ADE=9(r，

，/4。£：=/朋凡且4。=/1&NDAE=/ABF=90°,

/.△ADE^AfiAF(ASA)；

②如图2,过点4作AAL”。交8c于点R

由(1)可知AE=8凡

*：AH=AD,AF±HD,

；・NHAF=NQAF,

*：AD//BC,

：.ZDAF=ZAFG,

：・4HAF=/AFG,

：,AG=GF,

：・AG=GB+BF=AE+BG；

(2)解：如图，过点E作EH_L。/于从连接EF,

；/ADE=/EDF,EA±AD,EHLDF,

\AE=EH,AD=DH=nAB,

\BE=EH,EF=EF,

・.RtABEFgRt/\HEF(HL),

\BF=FH,

设BF=x=FH,则FC=BC-BF=nAB-x,

\'DF2=FC2+CD2,

，(nAB+x)2=(nAB-x)

,AB

•x=而二，"'

4n2—1

AB,

\FC=4n

••生=4/

BF

5.(1)解：•••£：、尸是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每杪I个单

位长度，运动时间为，秒,

：,AE=CF=t,

在矩形ABC。中，AB=6,8c=8,G、H分别是AD,8C的中点,

：.AD//BCfAD=BC,AG=CH=^BC=4,

:・/GAE=/HCF,

在AAEG和△CP”中，

(AG=CH

1/.GAE=乙HCF,

\AE=CF

：,AAEG^ACFH(SAS),

：.EG=FH,/AEG=NCFH,

•・•NAEG+NGE产=180°,NCF”+NEFH=180°,

:・/GEF=/EFH,

：.EG//FH,

・•・四边形EG"；是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

(2)证明：连接8。交AC于点O,连接GH,如图2,

图2

,:AE=CF=t,OA=OC,

：.OE=OF,

•・•四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,

VG,H分别是AD,BC中点，

・・・AG=C"，/GAE=/HCF,

・•・四边形AGHB是矩形，

在△AEG和△CP”中，

(AG=CH

l£GAE=Z.HCF,

\AE=CF

:.△XEGeXCFH(SAS),

:・EG=FH,/AEG=NCFH,

：.EG//FH,

・•・四边形EGFH是平行四边形.

••・GH一定过点。，

•••四边形是矩形，

：,GH=AB=6,

在直角三角形"C中，由勾股定理，得：AC2=Afi2+BC2=62+82=KX),

，AC=10,

•.•当，=8时，AE=CF=f=8,

：.EF=GH=AE+CF-AC=8+8-10=6,

:・EF=GH=6,

，四边形EG";为矩形；

(3)解：•・•点G,H与点、E,尸同时运动，且运动的速度相同，

，点G,”与点E,尸运动的路程相同,

VDG=4,

，点G到达点。时所用的时间，=4,

・"G=CH=4+z,

：.DG=AD-AG=^~(4+z)=4-/,

•・•四边形石G"7是菱形，OE=OF,

.•・G〃经过点O,

:・GH1EF,

\'OA=OC,

・・・GH为线段AC的垂直平分线，

CG=4G=4+1,

在Rt^CQG中，QG=4-1,CG=4+i,CD=6,

由勾股定理得：CG2=GD2+CDr,

(4+/)2=(4-7)2+62,

解得：v，

•••当四边形EGF”为菱形时，”/

6.解：(1)由旋转可知A8=4G,NBAG=a=60°，

故△BAG为等边三角形，

•••BG=AB=5,

当a=90°时，可知△BAG为等腰直角三角形，

故BG=V2AB=5V2,

故答案为：5,5V2；

(2)当边石尸经过点8时，可知△BE4为直角.三角形,

故BE=y/AB2-AE2=V52-32=4,

故BF=EF-BE=5-4=1,

故BG=yjBF2+GF2=V1T37=

故答案为：VTo：

(3)连接八产交4G于点〃，如图4所示，

FB

图4

在KTAA3”和RT^FEA中，

(AF=AF

lEF=AB"

:,RT/\ABFWRT/\FEA(HL),

：,BF=AE=3f

:・GF=BF=3,

又..・AG=AB,

・・・AH为AG的中垂线.

ZBAF+ZHBA=90°,NHBA+NFBH=9U°，

•••ZBAF=/FBH,AF=y]AB2+BF2=V52+32=V34,

AB_5

cosZBAF=而一南'

./口BHBH5

..cosZFBH=^=—=7=

it.....15.....3015^^34

故BHR,4r>Gz>=28H=旃=v

15回

故答案为:

17

7.解：(1)①•・•点Q以母秒3cm的速度沿折线BA-AD-DC运动,

・•・当点。在4。上运动时，QD=6+4-3f=(10-3/)cm,

故答案为:(10-3Z)；

②当点。在。。上运动时，QD=3i-(6+4)=(3r-10)cm,

故答案为：(3/-10)；

(2)当点P、。均在AO上运动时，PD=(4-/)cm,QD=(10-37)cm,

,:PD=QD,

.*.47=10-33

解得：/—3;

当点尸在A。上、点。在。C上运动时，PD=(4-r)cm,QD=(3t-10)an.

,:PD=QD,

，4-t=3t-10,

解得：

7

综上，当点P、Q在运动过程中到点。的距离相等时，f的值为3或『

(3)当点尸、。在AD上运动，2V/V3时，如图，

则PQ=AP・AQ=1・(3t-6)=(6-2t)cm,

1i、o

：.S^BPQ=^PQ^AB=\x(6-2/)X6=(18-6/)cnr>

由题意得：18-6/=5,

解得：t=~

当点P、。在4。上运动，3V/W,时，如图，

贝|JPQ=AQ-AP=(3f-6)-t=(2r-6)cm,

：-S^,BPQ=^PQ*AB=^X(2/-6)X6=(6/78)

由题意得：6/-18=5,

解得：/=学>学(不符合题意，舍去)；

当点P、Q在。。上运动时，如图,

AD

贝ij尸。=。。-尸。=or-10)-。-4)=(2r-6)cm,

*-S^BPQ=^PQ*BC=1x(2/-6)X4=(.At-12)cnr,

由题意得:4/-12=5,

解得：仁?：

1317

综上，Z\8PQ的面积是5c7/时，/的值为一或一.

64

8.解：(1)由题意得BE=4，，CG=4r,BF=3t,

•:RE/RF.

・•・四边形EBF"不能是正方形，

故答案为：不能；

(2)点O为矩形4BCO的对称中心，AB=6cm,BC=8cm.如图1,连接EG,

ffll

:.BE〃CG,N/WC=NC=900,

'：BE=CG=M,

・•・四边形BCEG是平行四边形，

VZC=90°,

・•・平行四边形8CEG是矩形，

：.EG=BC,EG//BC,

•；M、N分别是ERFG的中点,

：.MN=^EG=^BC,EG//MN//BC,

：.MN//BF,

当MN=8”时，，四边形8MNF是平行四边形，

11

此时即3t=.x&

解得t4；

(3)存在实数人使得点B'与点O重合；理由如下：

点O为矩形A8CO的对称中心，A8=6c〃z,8c=8cm.如图2,连接8'B交EF于点H,连接AC,BD,

图2

：,AC=BD=V624-82=10,

1

：.BO=^BD=5,

・一△EB尸关于直线E/的对称图形是F,

••・七厂是线段3’3的垂直平分线，

:.BH=B'H,

15

X5

一-

22-

在RtZ\B£/中，BHLEF,BE=4l,BF=3l,

:.EF=VFF2+BF2=5t,

75/7=5,

115

:・S"EF=”FxBH=”ExBF,即y5t=4t.3t,

解得t=券

9.解：(1)，：a,c满足Q2-8Q+16+VF"=0.

/.M-8a+16+Vc—6=(a—4)2+Vc—6=0,

贝IJ(Q-4)2=0,Vc^6=0,

，a=4,b=6；

(2)△。4。沿4)折密，使点O落在矩形内点E,

MOAD出AEAD,

①;四边形。ABC是矩形，且。=4,人=6,

：,0A=BC=4,0C=AB=6,AB"03

：.ZBAD=ZODA,

'：AOAD@△EAD,

：,ZADE=ZODA,

：.Z：BAD=Z1ADE,

即BD=AB=6,

在RtZ\BCO中，DC=>/BD2-BC2=V36-16=275,

：.0D=6-2V5,

即点。的坐标为（6-2正，0）；

②连接。巴交4。于点〃，如图3,

是线段OC的中点，

AOD=DC=3,AD=y/OA2IOD2=5,

•・•折叠,

:・DE=OD=DC,OELAD,OH=gOE,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,NOEC=N2+N3,

VZ1+Z2+Z3+Z4=18O°,

・"OEC=Jx180。=90。,

11

VShA0D=m力0xOD=2x/IDxOH,

.„„AOxOD3x412

,•°H=^~=丁=亏,

24

即OE=2OH=芋，

在Rt^OCE中，CE=y/OC2-OE2=36-^=^-

10.解：（1）①如图：以点A为圆心，A8为半径交CO于点E,

E

图1

\*AE=AB=\O,AQ=6,ZD=90°，

:,DE=>JAE2-AD2=V102-62=8,

ACE=DC-DE=IO-8=2；

②BC=2BP,理由如下：

•・•将△ABP沿直线AP翻折至AA"的位置,

/.ZAPB=ZAPE,PE=BP,

■:CE〃AP,

:・NCEP=NAPE,NECP=ZAPB,

:.NPEC=/ECP,

：,EP=CP,

：,BP=BC,

：・BC=2BP；

当N£PC=90°时,

•；/EPC=NAEP=,AEP=BP,

・•・四边形A8PE是正方形,

：.PB=AB=]O；

当NECP=9Q°时，

则N£CP=//3=90°,

：.EC//AB,

'：DC//AB,

由翻折知A£=A3=10,根据勾股定理得OE=8,

/.EC=18,

设8P=x,贝l」PC=x-6,

在RtZXECP中，由勾股定理得:182+(x-6)2=d,

解得x=30,

・・・PB=30；

当NPEC=90°时，点尸在线段BC上，不符合题意，舍去，

综上：80=10或30.

II.解：(1)①在矩形A8C。中，4B=6,BC=9,

：.CD=AB=6,AD=BC=9,AD//BC,ZBCD=ZCDA=W,

：・4DEF=/BFE,

将矩形沿E/7折叠，点4,8的对应点分别为点M,N.

:,NBFE=/DFE,DF=BF,

，ZDEF=ZDFE,

:,DF=DE,

设DF=BF=DE=x,贝ijCF=AE=9-%,

在直角三角形CO尸中，由勾股定理得：产-C产，即6?=*-(9-x)2,

解得x=苧，

・,・“一—v9——2—--2'

故答案为：!；

②四边形ABC。是矩形，如图2,作N〃_L8C的延长线于从

AZADC=ZNDC=ZBCD=ZDCH=90°,

/NDC=NH=NOC"=9(r

,四边形COM；是矩形,

:.NH-CDi,CH=DN=3,NH=90°,

・・・8”=12,

在直角三角形8M7中，由勾股定理得：BN=7BH2+NH?=6后

同理①得：EN=FN=BF,

设EN=FN=BF=a,贝lJ1H=12-a,

在直角三角形fW”中，由勾股定理得：NH2=FN2-FH2,即62=/・(12-«)2

解得a=竽，

:.BF=EN=等

'：AD//BC,

:AQNESAQRF,

QNEN

即QN=QB,

QB~BF

义•：QN+QB=64,

:.QN=QD=3V5,

同理△QPNS/\CPB,

PN_DN_3即PN=^BP,

BP~BC~9’

•:BP+PN=6V5,

・・加=竽

Q1~E

:.PQ=BP-QB=审

.3后

・・PDQn=—:

(2)如图3,连接。M、ON、八尸，作。关于E尸的对称点O',。关于4尸的对称点。"，连接。'小

D'B,DF、D'F,过点。作。厂LA8于点7,

图3

由翻折可得：S/,ABD=SADMN,DF=D'F,

在直角三角形。尸中，由勾股定理得DF=7CF2+CD2=历,

:・》F=河,

工。'在以F为圆心同为半径的劣弧师7)上运动，

，：D'T+D1F^FB-9-1-8,

,

:・D'T>FB-DF=8-V37；

当点O'在BC上时，D'7取得最小值为8-同，

.••S幺B。，的最小值为］x6x18-A/37)=24-3收，

•：D'TWAD=9,

••・当点O'与点。重合时，D'丁取得最大值为AQ=9,

S.ABD的最大值为:x6x9=27,

V27-(24-3V37)=3+3历，

•••△OMN面积的最大值与最小值之差为3+3V37.

12.解：(1)当点E在边CO上时，

•・•点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，

：.BF=BC=\0.

：,AF=yjBF2-AB2=V102-62=8.

：.DF=AD-AF=IO-S=2.

故答案为：2；

•・•四边形A8CO是矩形，

・・・NA=/O=90°,

；・NAFB+NDFE=90°,ZDEF+ZDFE=90°,

工4AFB=/DEF.

：,4FARs4EDF,

.AFAB

•,DE~DF"

:・AF*DF=AB*DE.

•「A尸•。"=9,A8=6,

3

：.DE=^.

：.CE=CD-DE=

丁点C关于BE的对称点尸恰好落在射线DA上，

9

:・EF=CE=

:,DF=VEF2-DE2=3V2；

(2)①点尸在AO边上时，

过点M作MMLB尸于点M如图，

N

BC

平分NABF,MALAB,MNLBF,

MA=MN.

NA=NMNF=90°,ZAFB=ZNFM,

/\FABs4FNM,

MNMF

AB~BF"

MF1

—=BF=BC,

BC2

NM_MF_1

AB~BF~2

AB=6,

MN=3.

在RtAABM和RtANBM中,

(BM=BM

blM=MN'

•••RtZXA/M/gRtZkNBM(HL).

:,BN=AB=6.

设MBF=BC=2x,

:,FN=2x-6,

在RtaMN/中，

*:MN2+FN2=MF1,

A32+(2.6)2=r,

解得：x=5或x=3(舍去),

：.BC=2x=\0,

：,AD=BC=\O.

.\DF=AD-AM-MF=2^

②点产在边04的延长线时，

过点M作于点N,如图,

D

同①可得：AM=MN=3,BN=AB=6,BC=AD=\O.

•：8F=BC=10,

.\FN=BF-BN=\0-6=4.

:,MF=y/FN2+MN2=V424-32=5,

/.DF=AD+AM+MF=18.

MF1

综上，当二=：；时，QF的长为2或18.

BC2

13.(1)证明：在矩形44C。中，AC与4。相交于O,NC0Q=60°,

：,OC=OD,

:•△COD为等腰三角形，

XVZCOD=60°,

为等边三角形；

(2)解：•・•在矩形ABCO中，OE平分NAOC,

AZADC=ZBCD=90°,

J.^CDE=|zi4DC=ix90°=45°,

•••△OEC为等腰直角三角形，

:・EC=DC；

•••△COD为等边三角形，

/.OC-DC,/。。。一60°,

：.OC=EC,/OCE=/BCD-/OCD=90°-60°=30°,

•••△OCE为等腰三角形，

11

AzCOE=^(180°-ZOCE)=^(180°-30°)=75°,

/.ZDOE=ZCOE+ZCOD=15a+60°=135°；

(3)证明：•••△CO。为等边三角形，

AZ5£）C=60°,

TOE平分N8OC,

11

:.乙BDE="BDC=IX60°=30°,

•・•四边形A8CQ为矩形，

，OB=OC=OD,

：.ZEBD=ZOCE=3^,

NEBD=NBDE,

:・EB=ED,

:•△EBD为等腰三角形，

：,OEVBD,

•••△EOO为直角三角形，ZDOE=90a,

，OEr+OD1=DEL.

14.解：（1）I•在矩形44co中，A4=12,AQ=9,AFA.BE,AE=2EF,如图1,作△A8G的外接圆。0,

连接。4、OB,

图1

AZAEB=60a,

VZAGB+ZAEB=\^)°,

，N4G8=I2O°,

•••点G为矩形4BCD内。。上的动点，且NAG8=120°,

AZAOB=2(180°-ZAGB)=120°,

/.ZOAB=ZOBA=30°,

••・四边形ABC。为矩形，

:.CD"AB,CD=AB=\2,

•••要使△COG的面积最小，只需。。边上的高最小.

如图I,取的中点M,连接OM并延长，分别交劣弧感和C/)于点G'和N,连接CG'、DG',

•••OMJLAB,

：・ON1CD,

:.MN=AO=9,AM=^AB=6,

：.0M=2娼,OG1=0A=4N/3,

；・MG'=OG'-OM=273,

：.G'N=MN-MG'=9-2瓜

・•・当点G与点G'重合时，点G到CO的距离最小，

即△COG中CD边上的高最小，最小值为GW=9-2V3,

.,.△CDG面积的最小值为］x12x(9-20)=54-12V3；

(2)•・•四边形A8CQ是矩形，

=90°.

*：BC=2AB,CF=2BE,

，△ABEsgCF,

：・/RAE=/CRF.

ZCBF+ZABG=90°,

：.ZBAE+ZABG=90°,

・・・N4G8=90°,

*：CN//AE,

：.NBNC=/BGE=N4G8=90°,

连接PB、PC,如图2,贝ijB尸平分NCBMCP平分/BCN,

图2

：^CBP+乙BCP=匕CBN+乙BCN)=1x(180°-90°)=45°,

，NBPC=I8O°-(NCBP+NBCP)=135°.

作ABC尸的外接圆0O,连接。仄03如图2,

则点P为矩形A5CD内OO上的动点，且N5PC=135°,

:"BOC=2（180°-ZBPC）=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

取3c的中点M,连接OM并延长，分别交劣弧船和4。于点P'和7,连接AP'、DPf,如图2.

由OB=OC,8M=CM可得0M垂直平分BC,

••・07垂直平分40,

.'.AP'=DP',

;矩形种植地ABCD的边CD在直线/上，且BC=248=80米，

由题意可知：点。应在点P'的位置，AD//BC,AO=8C=80米，

又〈OM垂直平分8C,。7垂直平分A。，ZOBC=ZOCB=45°,

・・・MT=4B=40米，8"=鼻。=40米，

••・OM=40米，OP=0B=40或米，

•••MP'=OP'-0M=（40企-40）米，

:・P'T=MT-MP'=（80-400米.

1S&