广东清远恒大足球学校2026届高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

广东清远恒大足球学校2026届高二数学第一学期期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.A. B.C. D.2．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.14．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1445．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A.24种 B.6种C.4种 D.12种7．某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1h B.C. D.8．不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或9．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．函数区间上有（）A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值11．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（）A.B.C.或D.或12．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某班学号的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为___________.14．已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.15．不等式是的解集为______16．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.问题：已知为数列的前项和，，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．（12分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.21．（12分）已知四边形是空间直角坐标系中的一个平行四边形，且，，（1）求点的坐标；（2）求平行四边形的面积22．（10分）已知函数(其中为自然对数底数)（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解【详解】因为，所以，则，故选：2、A【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.【详解】因为离心率，所以，所以，，则，所以C的渐近线方程为.故选：A3、B【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B4、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.5、B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B6、B【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有，故选：B7、A【解析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：，则，所以.在三角形中，，，有：，化简得：，则.缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】8、A【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可【详解】由，得，解得，所以原不等式的解集为，故选：A9、B【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为，知，则，即有，故，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选：B.10、B【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.【详解】当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.故选：B11、A【解析】根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程得，解得或（舍去），因此，点的横坐标为，故选：A.12、B【解析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边作差比较即可得到答案【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，∴从到时，不等式的左边增加了故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用百分位数的计算方法即可求解.【详解】将以上数据从小到大排列为，，，，，，，；%，则第25百分位数第项和第项的平均数，即为.故答案为：.14、【解析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.【详解】由题可得，，设，因为点P在线段AB上，所以，∴，∴当时，的最小值为.故答案为：.15、【解析】由可得，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由可得，整理可得：，则，解可得：.所以不等式是的解集为:.故答案为：.16、【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.【详解】直线的斜率为，线段的中点为，所以，线段的垂直平分线的斜率为，则线段垂直平分线方程为，即，联立，解得，即的外心为，所以，的外接圆的半径为，因此，的外接圆方程为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果(2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程【小问1详解】由抛物线定义可知：，解得：，抛物线的方程为：【小问2详解】由抛物线方程知：，设直线，，，，，联立方程，得：，，，以线段为直径的圆过点，，，解得：，直线的方程为：，即18、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，.因为，由，可得.①当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；②当时，由可得，由可得，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】解：当且时，由，可得，令，其中，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，.19、（1）（2）【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.【小问1详解】由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；若选③：由，即，所以数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以数列为等差数列，所以.20、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设过的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.【详解】解：（1）∵椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴椭圆的标准方程为；（2）设点、的坐标为，，因为直线过点，所以可设直线方程为，联立方程，消去可得：，化简整理得，其中，所以，，因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则，设，则（），所以，因为，所以，，所以四边形面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.21、（1）；（2）【解析】（1）由题设可得，结合向量的共线坐标表示求的坐标；（2）向量的坐标运算求边长，由余弦定理求，进而求其正弦值，再应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】由题设，，令，则，∴，可得，故.【小问2详解】由（1