九年级初三第一学期期末考试数学试题含答案解析

2025-2026学年度上学期期末考试九年级数学试卷（附答案解析）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列二次根式，是最简二次根式的是（）A．1 B．4 C．8 D．32．计算22−A．0 B．1 C．2 D．23．若二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+3）（x﹣7），则方程x2+mx﹣n＝0的两根为（）A．3和7 B．﹣3和﹣7 C．3和﹣7 D．﹣3和74．下列各式计算正确的是（）A．2+5=7 B．2×55．方程3x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根6．若α是锐角，sinαcosα＝p，则sinα+cosα的值是（）A．1+2p B．1+2p C．1﹣2p D．17．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．若设有x个球队参加比赛，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝15 B．12C．x（x+1）＝15 D．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（）A．74 B．2 C．949．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（）A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值−10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AH＝HC，DG＝GB，GH交两腰于E、F．则下列结论：（1）AE＝EB，DF＝FC．（2）AD∥EF∥BC．（3）EH＝GF=12BC，EG＝HF=（4）GH=12（BC﹣其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．若最简二次根式2x−7与3x−2是同类二次根式，则x＝12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计盒子中大约有红球个．13．若点A（3，n）与点B（﹣m，5）关于原点对称，则m+n＝．14．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3．若S△AEF＝8，则△ADC的面积为．15．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点D是AB边上一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）（1）计算：3−8（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．17．（8分）小鹏和小鲲报名参加运动会志愿者活动，他们将被随机分配到排球（A）、游泳（B）、田径（C）、击剑（D）四个项目中承担工作任务．（1）小鹏被分配到游泳（B）项目的概率为；（2）若小鲲主动申请不到击剑（D）工作，并得到了允许．请用列表或者画树状图的方法，说明小鹏和小鲲被分配到相同项目工作的概率．18．（9分）已知关于x的方程x2﹣mx+m（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．（2）若平行四边形ABCD的两边ABAD的长是已知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长．19．（9分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，CE，CF，若EC⊥EF．（1）求证：△AFE∽△BEC；（2）若AB＝8，求BC的长．20．（9分）如图，某中学九年级“智慧之星”数学社团的成员利用周末开展课外实践活动，他们要测量中心公园内的人工湖中的两个小岛C，D间的距离．借助人工湖旁的小山，某同学从山顶A处测得观看湖中小岛C的俯角为60°，观看湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C，D间的距离．21．（10分）某商场A种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）设A商品每件降价x元，每天售出A商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）为了每天盈利2100元，则每件A商品应降价多少元？（3）当A商品每件降价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元？22．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．23．（12分）在矩形OABC中，以点O为坐标原点，分别以OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线OC上一动点，连接AE，过点O作OF⊥AE于点D，交直线BC于点F．（1）如图1，当矩形OABC是正方形时，若点E在线段OC上，线段AE与OF的数量关系是（填“相等”或“不相等”）；（2）如图2，当点E在线段OC上，且OE＝2EC，以点F为直角顶点在矩形OABC的外部作直角三角形CFH，且FH＝OE，连接EH，交BC于点G，求S△FGH（3）如图3，若点A（0，3），点C（1，0），点E在线段OC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，FH⊥FC，FB：BC＝1：3，连接OH，取OH的中点M，连接DM，设FH＝n，DM2＝m，求m关于n的函数关系式．九年级数学期末参考答案一、选择题1-5DDDCA6-10BBDCD二、填空题11．若最简二次根式2x−7与3x−2是同类二次根式，则x12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计盒子中大约有红球32个．13．若点A（3，n）与点B（﹣m，5）关于原点对称，则m+n＝﹣2．14．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3．若S△AEF＝8，则△ADC的面积为70．15．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点D是AB边上一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为6013三、解答题16．解：（1）原式==−=5（2）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．17．解：（1）由题意得，小鹏被分配到游泳（B）项目的概率为14（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小鹏和小鲲被分配到相同项目工作的结果有3种，∴小鹏和小鲲被分配到相同项目工作的概率为31218．（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m2−14）＝m2﹣2m+1＝（∴无论m取什么数，方程总有两个实数根；（2）解：∵▱ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴当Δ＝（m﹣1）2＝0时，即m＝1时，▱ABCD是菱形，把m＝1代入已知方程可得：x2﹣x+1解得：x1＝x2=1∴此菱形的边长为1219．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAE＝∠EBC＝90°，又∵EC⊥EF，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，∴△AFE∽△BEC；（2）解：如图：由（1）得△AFE∽△BEC，∴AFBE∵E、F分别是AB、AD的中点，且AD＝BC，∴AF=12AD=∴12∴BC∵AB＝8，∴BC=1故BC的长为：4220．解：在Rt△ABD中，由题可知∠ADB＝45°，∴DB＝AB＝180．在Rt△ABC中，由题可知∠ACB＝60°．∵tan∠ACB=AB∴BC=AB∴CD=DB−答：小岛C，D间的距离为(180−6021．解：（1）y＝（50﹣x）（2x+30）＝﹣2x2+70x+1500（0≤x＜50），答：y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+70x+1500（0≤x＜50）；（2）当y＝2100时，﹣2x2+70x+1500＝2100，整理得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝15，x2＝20，∵要尽快减少库存，∴x1＝15不合题意，舍去，∴x＝20．答：每件商品降价20元时，商场每天盈利可达到2100元；（3）y＝﹣2x2+70x+1500＝﹣2（x﹣17.5）2+2112.5，∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，y有最大值，当x＝17.5时，y最大＝2112.5．答：当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元．22．解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1，∴−b∴b＝﹣2，将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中，解得c＝﹣3．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴B（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，∴当y＜0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3；（3）①若a+1≤1，即a≤0时，则当x＝a+1时，函数值最小，∴（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得：a＝1−5或a＝1+②如a＜1＜a+1，即0＜a＜1时，则当x＝1时函数值最小，∴1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（不合题意）；③若a≥1，则当x＝a时函数值最小，∴a2﹣2a﹣3＝2a，解得：a＝2+7或a＝2−∴a的值为1−5或2+23．解：（1）线段AE与OF的数量关系是相等，理由：∵四边形ABCO为正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝∠BCO＝90°，∴∠AOD+∠FOC＝90°，∵OF⊥AE，∴∠AOD+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠FOC．在△OAE和△COF中，∠OAE=∠COFAO=OC∴△OAE≌△COF（ASA），∴AE＝OF；故答案为：相等；（2）∵FH⊥BC，OC⊥BC，∴FH∥OC，∵FH＝OE，∴四边形OFHE为平行四边形，∵OE＝2EC，∴FH＝2EC．∵FH∥EC，∴△FGH∽△CGE，∴FGCG设CG＝a，则FG＝2a，∴FC＝3a．∴S△FGH=12FH⋅FG＝aFH，S平行四边形OEHF＝FH•FC∴S平行四边形OEHF＝3S△FGH，∴S平行四边形OEHF﹣S△FGH＝2S△FGH，∴S△FGH（3）取OF的中点N，连接MN，过点D作DK⊥MN于点K，如图，∵M为OH的中点，∴MN为△OFH的中位线，∴MN=12FH=12n，∵点A（0，3），点C（1，0），∴OA＝3，OC＝1．∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝