第二十三章 解直角三角形（讲义）-沪科版九年级数学上册【含答案】

第二十三章解直角三角形（举一反三讲义）全章题型归纳

【沪科版】

题型归纳

【培优篇】

【题型1设参数法求锐角三角函数值】

【题型2网格中求锐角三角函数值】

【题型3灵活运用已知条件解直角三角形】

【题型4解双直角三角形】

【题型5在四边形中解直接三角形】

【拔尖篇】

【题型6构造直角三角形求锐角三角函数值】

【题型7等角转换法求锐角三角函数值】

【题型8巧设未知数解直角三角形】

【题型9构造直角三角形进行线段或角的计算】

【题型10解直角三角形的应用】

举一反三

知识点1锐角的三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如图所示，在RLU8C中.ZC=90°,我们把锐角力的对边与斜边的比叫做的正弦,

记作sinA,即sinA=—,

c

把锐角力的邻边与斜边的比叫做//的余弦，记作cos4,即cos4=2.

c_

把锐角力的对边与邻边的比叫做/力的正切，记作tanA,即tan/=£.

b

2.锐角力的正切、正弦、余弦都是锐角力的三角函数.

3.由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有0<sin力<1且0<cos力<1,

试卷第1页，共18页

tanJ>0.

知识点2特殊角的三角函数的值

1.根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表:

三角函数。30°45°60°

y/2

sina

2V

cosa近也

2T2

tana正iG

3

知识点3锐角的三角函数间的关系

在中,ZC=90°,/A,NB,/C的对边分别为m力,c.由勾股定理可得a2+b2=c2.

(1)同角三角函数间的关系：sinz4+8S~=9J+(mJ=d^=l.

sinA(i

(2)tan力与sin4,cos,4间的关系：----=—=—=tanA

cosA^b

7

知识点4解直角三角形的概念

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中

的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

知识点5解直角三角形的依据

在中，ZC=90°,/4NB,NC的对边分别为a,b,c.

(1)三边之间的关系：H+V(勾股定理)；

(2)两锐角之间的关系：//+/8=90。(两角互余)；

(3)边角之间的关系：smA=-tcos/=°,tan4=：.

£££

知识点6解直角三角形的基本类型及解法

解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和

一锐角：④已知一直角边和一锐角.其解法步骤列表如下：

已已知条件解法步骤图示

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知

类

型

：1)b=4c?-a，；(2)由

斜边C、一直角

sinJ=—,求/力；

边（如c

两3)=

边

⑴c=y/a2+b2；⑵由

两直角边（4,

tanA=f,求/力；

b）h

3)/8=90。一//RL/5C中,/C=90。，

/4/B,NC的对边分•别为a，

：1)/4=90。一/4；(2)由

3

sinJ=—,得a=c・sin/；

斜边C、一锐角cb,c.如图所示：a

（如如）：3)由cos/l=2,得

4Ab（

c

b=c-cosA

边

Cl)=；(2)由

角a

一直角边、一tanA/,彳导br—a•

htanA

锐角（如

3)由sin/l=q,得

ZA）c

a

c=-----

sinA

知识点7解直角三角形在实际问题中的应用

1.利用解直角三角形解决实际问题的步骤:

（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题;

（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案：

（4）得到实际问题的答案.

2.常见类型

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（1）仰角、俯角

当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线卜.方时，视线与

水平线所成的角叫做俯角.

如图（I）所示，OC为水平线，为铅垂线，OA,OB为视线，我们把24。。称为仰角,

。称为俯角.

图（1）图（2）

（2）方位角

正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90。的角叫做方位角.

如图（2）所示，04所表示的方位角是北偏东55。，OB所表示的方位角是南偏东45。，OC

所表示的方位角是南偏西70。，OO所表示的方位角是北偏西30。.

（3）坡度、坡角

坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作八即］二/,坡度通常写

成人：/的形式.

坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作于是有'星.

【培优篇】

【题型1设参数法求锐角三角函数值】

［例I］（24-25九年级上・甘肃天水・期末）

1.如图，在菱形力中，DEJ.AB交AB于点、E,连接40,若BE=；AB,则cos/OBE

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【变式1-1]（2025•河南平顶山•三模）

2.如图，在矩形"C。中，AB=3,4）=5,点E在。C上，将矩形力阮刀沿力E折叠，点

。恰好落在8c边上的点F处，那么lan/£＞尸C=.

【变式1-2]

3.如图，在等边中，CDLAB,垂足为。，以4。,S为邻边作矩形/OCE,连接

BE交CD边于点、F,则cos/C5f的值为（）

A.MC.—y/lA

14

【变式1-3]（2025•四川南充•一模）

4.如图，把矩形沿对角线力。翻折，点8落在点8,处，力8'交CD于点E,若

Ani

—则sinND4E的值为（）

B.T

.5

【题型2网格中求锐角三角函数值】

【例2】

5.如图，网格中的点力、8,C、。都在小正方形顶点上，连接48、CO交于点P,则N8PC

的正切值是（）

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A.2B.1C.在D.空

223

【变式2-1］

6.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长为1,点力,B,C均在格点上，D是4B

与网格线的交点，则初〃岑G的值是.

【变式2-2］（2025•浙江宁波•模拟预测）

7.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形

的一个角/力。8=60。，点4从C都在格点上，则C0S//8C的值是.

【变式2-3］（2025•江苏无锡•二模）

8.如图，在4x3的网格图中，点力、B、C、。都在小正方形的顶点上，AB、CO相交于点

则sin/或。的值是.

【题型3灵活运用已知条件解直角三角形】

【例3】（24-25九年级上•吉林长春•期末）

试卷第6页，共18页

9.如图，在△4?C中，ZC=45°,4=60。，AD=\.按以下步骤作图：①分别以点8和

点C为圆心、大于;8c的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交4C

c.G+1D.百

【变式3-1]（24-25九年级下•陕西西安・期中）

10.如图，在&4BC中，AB=5,=；,tan/8=g,则SC的长为（）

A.2亚B.3C.2D.V10

【变式3-2]（2025•黑龙江大庆•中考真题）

11.如图，Rta/IBC中，48C=90。，NA4c=60。，AB=2.在力8和力。上分别截取

AM,AN，使AM=AN.分别以例,N为圆心、以人于;MN的长为半径作弧，两弧在/BAC

内交于点凡作射线片尸交4c于点。，则点。到力。的距离为一.

【变式3-3]（2025・陕西咸阳・模拟预测）

12.如图，在△/8C中，Z5=45°,5C=3,tanC=-»则中线力。的长为（）

2

A.75B.2C.]D.—

22

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【题型4解双直角三角形】

【例4】（24-25九年级上•山东青岛・期中）

13.如图，将三角尺/8C和三角尺。E/叠放在一起，直角边4C与。石完全重合，已知力3

长为16cm,若三角尺。所沿C8方向移动，此时测得08长是6cm,则移动距离CO是

（）

A.2cmB.56cmC.（5。-3）cmD.（8百一5）cm

【变式4-1]（24-25九年线卜・陕西西安・期末）

14.如图，在RtZ\/18。中，ZJCB=90°,48的垂直平分线交4C与点区若

【变式4-2]（2025•山东青岛•中考真题）

15.如图，在三角形纸片。中，N8=57。，ZC=38°,将纸片沿着过点力的直线折叠,

使点8落在4C边上的点£处，折痕力。交BC于点。；再将纸片沿着过点E的直线折叠，

使点。落在8C边上的点G处，折痕EF交BC于息F.下列结论成立的是（）

A.DG=EGB.GE1AE

C.ZDAE=42°D.DE=IGF

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【变式4-3]（2025•安徽宣城•一模

16.如图，在中，AB=AC=\2,4C=10,点Z）为5c中点，点P以每秒1个单位

的速度从“出发沿4fC运动.当△尸CO为等腰三角形时，，的值为（）

行或18B.或18或19

6

C.L或18或19或二-D.二或18或19或20

66

【题型5在四边形中解直接三角形】

【例5】（2025・湖南娄底•三模）

17.如图，在矩形44CQ中，4。=248=8,瓦尸分别为/1。,8。边上的点，且8b=3,将矩

形/4CD沿直线"折叠，得到四边形以点48的对应点分别为点（点"落在

力。上方），连接CN,当CM"三点共线时，力E的长为（）

【变式5-1]（2025・山东聊城•三模）

18.如图，在四边形力8c。中，AE=BE,DF=FB,DF1CE,AF//DC,

tan/48O=l，EF=2,则8c的长为（）

A.372B.472C.2百D.4>/5

试卷第9页，共18页

【变式5-2］（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）

19.如图，四边形为边长为4的正方形，点£为力。的中点，连接引T并延长至点R

4

连接力尸，连接尸。并延长交8C延长线于点G,若，则CG的长为

【变式5-3］（2025•河南商丘•二模）

20.已知：如图，在a/lS。中，/胡。二90。,。为线段力。上一点，且4B=AD,E为线段BC

的中点，连接80、ED,延长“力到点尸，使得力尸=切，连接。尸，过点8作。尸的平行线

交。力的延长线干点G.

（I）四边形8DFG是正方形吗？请说明理由；

（2）若tan/8C/l=|,CO=2,求线段。七的长度.

【拔尖篇】

【题型6构造直角三角形求锐角三角函数值】

【例6】（2025•黑龙江绥亿•模拟预测）

21.在平行四边形488中，尸是力。的中点，点E在射线8c上，且CE=；4C,连接

EF.若48=4,4D=6,NB=60。,则tanN尸EC的值为.

【变式6・1］（24-25九年级上•山东淄博•期末）

22.如图，在△力中，4cs=90。，40=20，8C=6,8是45边上的中线，则cosN/OC

的值是（）

试卷第10页，共18页

A

D

-----------------------

A20下「5c3亚

A.-B.C.-D.

7777

【变式6-2]（24-25九年级上•四川资阳•期末）

23.如图，在平面直角坐标系中，四边形0/4。的边OC在x轴上，。力在y轴上且

AB//OC,线段。力，力5的长分另IJ是方程/一9》+20=0的两个根（0A<AB）,P、。分别

为04、0C上两点，。。=5,将△尸。。翻折，使点。落在边力8上的点。处，则

【变式6-3]（2025•江苏南通•模拟预测）

24.如图，正方形力班?。中，将边4c绕点8逆时针旋转至即，连接CE,DE,若

ZCED=90°,则sin/ECD的值是（）

【题型7等角转换法求锐角三角函数值】

【例7】（2025•四川乐山•一模）

25.如图，点E是矩形ABC。中8边上的一点，ABCE沿BE折叠为4BFE,点尸落在力。

上.若NDFE的大小为a,且满足=」，则tan/8EC的值为______.

cosa+2sina10

试卷第11页，共18页

【变式7-1]（2025•山西吕梁•三模）

26.如图，在四边形49CQ中，AB=BC,ACLCD,B。平分/ZQC,4c与8。相交于

点E,若CQ=3,JC=4,则线段8f的长为.

【变式7-2]

27.如图，在RlZ\/8C中，/。力8=90。,力8=力。，点。为斜边4C上一点，且BD=3CD,

将△48。沿直线力。翻折，点5的对应点为8',则sin/C9。二.

【变式7-3]（2025•湖南岳阳一模）

28.如图，已知点C是直线/外一定点，48是直线/上的动线段，AB=5,连接4C、BC,

*以=15.求当力C+8C取最小值时sin/C历1的值.小聪在解题过程中发现：“借助物理学

科的相对运动思维，若将48看作静线段，则点。在平行于直线/的直线上运动”.请你参考

小聪的思路求当/1C+5C取最小值时sin/C%=.

C

试卷第12页，共18页

【题型8巧设未知数解直角三角形】

【例8】（2025・广东深圳•噢拟预测）

29.在等腰中，AB=AC,。是4c上一点，过点。作OEX力。交力C延长线于点

74RD?AC

E,若tanN84C=§,胃=g则痣的值为_______

7AB5CE

【变式8-1]（2025・四川广元•中考真题）

30.四边形力8。。中，4C与8。交于点0,0是4c的中点，80=2。。，已知48=4,力。=2,

tanZJCD=—,则/C的长为.

5

r

【变式8-2]（24-25八年级下•北京•期末）

31.如图1,在中，/8。/=90。，/B=5,将其分割成I、II、HI三部分，然后再拼

成如图2的菱形P0MN（不重叠、无缝隙），若NH-PGA,则。〃的长为.

【变式8・3]（24-25九年级下•贵州贵阳・期中）

32.如图，在菱形48C。中，过顶点。作。E_L18,DF上BC,垂足分别为，F,连结

EF.若8s4=；,△血冲的面积为4,则菱形力AC'。的面积为.

试卷第13页，共18页

D

【题型9构造直角三角形进行线段或角的计算】

【例9】（24-25九年级上•重庆•期中）

33.如图，点。是外一点，DB=DC,44与相交于点E,/BDC=NBAC,连

接。力，若4C=4,DA=后,tanADBA=^,则。8=.

【变式9・1】

34.如图，在△力8c中，AB=AC=4,cosB=-8。是中线，将△/8C沿直线8。翻折

4f

后，点、A落在点、E,那么CE的长为.

【变式9-2]

35.如图，在中，ZABC=90°,48=3,AC=5,。和的平分线相交

于点Q,过点、D作DE"AC交BC于点、E,那么。£的长为.

试卷第14页，共18页

A

【变式9・3】

36.如图.在AABC中，ZACB=6O°,AC=1,D是边AB的中点，E是边BC上一点.若

DE平分aABC的周长，则DE的长是.

【题型10解直角三角形的应用】

【例10】（2025・重庆・中考真题）

37.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，

A,B,C,。在同一平面内.4是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于力的正东方向

10千米的4处，乙无人机位于/的南偏西30。方向20千米的。处.两无人机同时飞往。处

巡视,。位于C的正西方向上,8位于。的北偏西30。方向上.（参考数据：&"41，6"73,

（I）求8。的长度（结果保留小数点后一位）:

（2）甲、乙两无人机同时分别从8,D出发沿BC,往C处进行巡视，乙无人机速度为甲

无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无

人机飞离8处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？

试卷第15页，共18页

【变式10-1](2025・河南•模拟预测)

38.举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器

人.如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形

ABCD,=伸缩臂M=R7=3m,点G和点E在同一铅垂线上(即_L力。)，

ZF=110°,伸缩臂G”的最大长度为9m,图中的点均在同一竖直平面内，GH//EF.当

伸缩臂G〃达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点〃到地面的距离.(参考数据：

sin350»0.57,cos35°0.82,tan35°«0.70)

39.如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点力处，让无人机

飞到点。处，力。与底板群平行，测得力。=11.6米，此时在点。处乂测得坡道48上的点C

的俯角为26.6。.接着让无人机飞到点E处，DEJ.AD,CE与底板8H平行，测得QE=1.8

米.

(1)求坡道48的坡度；

(2)已知地面。4、地下车库的顶板尸G都与底板群平行且它们到底板群的距离相等，无人

机从点/飞到点P处，AP1AD,测得力。=16.4米，此时在点尸处测得点尸的俯角为45。,

在不考虑其他因素的前提卜.，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由.

(参考数据：sin26.60*045,cos26.6°*0.89,tan26.6°«0.5)

试卷第16页，共18页

【变式10-3]

40.为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下:

(1)测量坡角

如图1,后山一侧有三段相对平直的山坡48,BC,CD,山的高度即为三段坡面的铅直高度

BH,CQ,。/?之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小.

如图2,同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端力处，直杆沿坡面方向

放置，在直杆"N另一端N用细线系小重物G,当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆

夹角。的度数，由此可得山坡48坡角夕的度数.请直接写出/夕之间的数量关系.

(2)测量山高

同学们测得山坡48BC,CZ＞的坡长依次为40米，5()米，40米，坡角依次为24。,30。,45。：

为求，小熠同学在作业本上画了一个含24。角的RtATKS(如图3),量得

KT^5cm,TS»2cm.求山高。尸.(&=1.41，结果精确到1米)

(3)测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法.

图4图5

如图4,5,在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当与铅垂线NG重合时，转动

直杆NP,使点N,P,。共线，测得乙WVP的度数，从而得到山顶仰角4，向后山方向前

进40米，采用相同方式，测得山顶仰角⑸；画一个含4的直角三角形，量得该角对边和另

一直角边分别为卬厘米，A厘米，再画一个含△的直角三角形，量得该角对边和另一直角

试卷第17页，共18页

边分别为。2厘米，4厘米.已知杆高MN为1.6米，求山高力/工（结果用不含昂儿的字母

表示）

试卷第18页，共18页

1.如

6

【分析】本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角

函数的定义求解C0S/Q82的值.本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定

义，熟练掌握这些知识是解题的关键.

【详解】解：设"=3x,

四边形月6C。是菱形，

二.AD=AB=3x,

BE=gAB,

BE=x,

DE1AB,

在Rt△/DE中，AE=AB—BE=3x—x=2xt

由勾股定理可得DE=JAD?-AE?=J（3»-（2»=6,

在RS8OE中，BD7DE2+BE2=J（逐+白=瓜,

,/npr_BE-%_娓

..cos/DBE==―=—9

BDV6x6

故答案为：业.

6

41

2.y##l-

【分析诜根据矩形的性质得8C=4。=5,CQ=48=3,再根据折叠的性质得肝=力。=5,

EF=DE,在RtA/18”中，利用勾股定理计算出8产=4,则C/=8C—8尸=1,设CE=x,

则。E=E/=3-x,然后在RsEb中根据勾股定理得到Y+I2=（3-X）2,解方程即可得到

x,进一步得到EE的长，再根据正切数的定义即可求解.

【详解】解：•.•四边形48C。为矩形，

：.BC=AD=5,CD=AB=3,NB=NC=90。,

•.•矩形48C。沿直线4E折叠，顶点。恰好落在8c边上的歹处，

AF=AD=5,EF=DE.

.♦.在RtdBF中，BF=ylAF2-AB2=4，

.­.CF=5C-5F=5-4=1,

答案第1页，共47页

设CE=x,则"*=OE=CO-CE=3-x

•.•在RSECF中，CE2+FC2=EF2，

.4

.,.x2+l2=(3-x),解得x=3，

:.C*E=—4,

CE4

tanZEFC=—=-.

FC3

4

故答案为：§

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形

状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的

定义.

3.A

【分析】设等边△力8c的边长为。，则48=8C=/lC=a.根据等边三角形的性质可得

AD=BD=^a,从而可由勾股定理求出。。=且〃.根据矩形的性质又可得出

22

AE=CD=^-a,4D=CE=ga,/历IE=90。，即又可利用勾股定理求出BE=^a.过

222

点。作CG_L8E于点G,由Sa8a：=gBECG=!cEME,可得出。6=叵。，进而由勾

2214

股定理可求出BG=^a,最后由余弦的定义即可求解.

14

【详解】解：设等边△48。的边长为小则44=8C=4C=。.

-CDLAB,

：.AD=BD=-AB=-a,/ADC=/BDC=90。，

22

-CD=^AC2-AD-=—a.

2

•••四边形力力8是矩形，

­•AE=CD=—a,AD=CE=-a/BAE=90。，

22t

•••BE=dAB'+AE?=­a.

2

如图，过点C作。G_L4E于点G,

答案第2页，共47页

SAoctj=-2BECG=2-CEAE,

.@1V3

••——axCG=­。a»

222

V21

••CG=-----a>

14

_________S万

:.BGM/BC^CG2=±a,

14

5手

%s/C8d也=五二4•

BCa14

故选A.

【点睛】本题考杳等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，求角的余弦值.正确作出辅

助线是解题关键.

4.C

【分析】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，根据折登的性质，矩形的性质，得到

AE=CE,设4)=x,CO=2x,AE=CE=y,则：DE=2x-y,勾股定理求出KN之间的

数量关系，再根据锐角三角形的定义，进行求解即可.

【详解】解：•.•矩形Z8CZ),悬=，

.-.ZD=90°,AB//CD,设力。=乂。=2工，

:.ZACD=NBAC,

•・•折叠,

.*.ZEAC=ZBAC,

ZEAC=ZECA,

:.AE=CE,

ig;AE-CE-y,则：DE=2x-y,

在RS/QE中，AE2=AD2+DE2，

答案第3页，共47页

.-./=x2+（2x-y）2,

4

解得：x=0（舍去）或x=W

:.DE=2x-y=^y,

3y人

,■,sinZDJ£=—=^-=-;

AEy5

故选C.

5.A

【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接跖、AE,

ZBDC=ZDBE=ZBED=AAED=45°,由平行线的性质得N3PC=N/1BE,由勾股定理求出

AE、8E的长，由正切函数求出tanNW8E的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得

/BPC=/ABE、构建百角二角形求解是解题的关键.

由正方形的性质得：

Z.BDC=Z.DBE=/.BED=Z.AED=45°,

/.BE//CD,NAEB=900,

/BPC=NABE,

：.AE=yl22+22=272»

BE7nc=V2，

.•.tan/"E=M=平=2,

BEV2

tanZ.BPC=2；

故选：A.

6.在

5

答案第4页，共47页

【分析】根据勾股定理逆定理可得A48C是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于

斜边的一半可得。结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得

NB’NADC,由此可得sin幺型=sin4.

22

【详解】解：根据题意由勾股定理得:

AC=y/22+\2=A/5,J^=732+42=5,=>/42+22=2^,

••.AB2=AC2+BC2,

：.ACLBC,zC=90°,

结合网格可知D分别为AB的中点，

:・CD=AD=DB,

:.乙B=(DCB,

又乙DCB=cADC,

.,"B’NHDC,

2

.ZADC.nAC也

•••sin---------=sin8=-----=——

2AB5

故答案为：I.

5

【点睛】本题考杳解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性

质.关键是得出NB=g//lOC.

72件

/•---

7

【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加

辅助线构造直角三角形解决问题.

如图，连接£力，EC,证明/力月。=90。，E、。、8共线，再根据cos/48C=r解题即

AB

可.

【详解】解：如图，连接£4,EC,

设菱形的边长为。，由题意得4E/=30。，NBEF=60°,AE=&i,EB=2a,

答案第5页，共47页

/.Z/IEC=90°,

则4B=J7a,

•••/ACE=ZACG=2BCG=60°,

：.NECB=180°,

•••E、C、A共线，

在Rl△月后6中，

cos/ABC=些=华=也

ABy/7a7

故答案为:

o76

10

【分析】本题考杳了解百角二角形及勾股定理,根据题上的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.连接。/，CF,过点尸作/G_LCQ,垂足为G,先利用勾股定理求

出C。和。尸的长，再利凡面积法求出WG的长，然后在RL^QPG中，利用锐角三角函数的定

义求出sin"DG的值，最后根据题意可得：AB//FD,从而可得NBED="DG,即可解答.

【详解】解：如图：连接。尸，CF,过点〃作/G_LCQ,垂足为G,

由题意得：CQ=6+22=5DF=Vl2+32=VlO»

△DCF的面积=3x3」x3x2-」x2xl」x3xl

222

/.-CDFG=-,

22

•••4SFG=7,

・FC-1^

•*Ft/一$，,

答案第6页，共47页

述/-

在中，“曲=”=三=逑，

DFV1010

由题意得：AB//FD,

4BED=Z.FDG,

sinABED=sinNFDG=—,

10

故答案为：述.

10

9.D

【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.由作图过程可知，直线MN为线段8c的垂直平分线，可得8。=。。,

则NC=NQ8C=45。，得出乙4。8=NC+ND8C=90。，在RtZ\48。中，可得

8O=4D・tan600=JJ，即可得CZ)=JJ.

【详解】解：由作图过程可知，直线MN为线段8C的垂直平分线，

BD=CD,

AZC=ZD5C=45°,

:"ADB=NC+NDBC=90°.

在RtAABD中，tanZJ=tan60°==\[3,

AD1

•••二百，

•••0)=6

故选：D.

10.D

【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点。作于点。，设4。=》，则

80=5—x,根据tan//=4，tan^5=-,得到CO='x=L(5-x),求出x=2,进而

2323

得到。。=1,4。=3,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：过点C作CD148于点O,

C

设=贝|J8"=3-X,

答案第7页，共47页

vtan/力=—tan/B=—

23

CD_1CD_1

••茄》/一§，

CD=—x=—（5-x）,

x=2,

CD=1,BD=3,

•••BC=4BD2+CD?=VlO，

故选：D.

11.汉

33

【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点.由作图可

知，平分/历1C,求得DG=DB,ZBAD=-ZBAC=30°解直角三角形即可求解.

2t

【详解】解：作OG_L4C于点G,则点。到4。的距离为QG的长，

A

由作图可知，力。平分4C,

•••//8。=90。，

DG=DB,

•••RtZ\48C中，ZJ5C=90°,Z5/fC=60°,

.•.ZBAD=-ZBAC=30°

2f

AB=2,

•••DB=ABtanNBAD=.

3

2VT

•••DG=DB=—.

3

故答案为：也.

3

12.D

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关犍.

过点力作月EL8C于点七，得到=然后解Rt△4EC,得至UCE=24E,然后根据线

答案第8页，共47页

段和差以及三角形中线得到8。=。。=1则再对Rt"。石运用勾股定

理求解即可.

【详解】解：过点4作于点E,

•••/8=45°,

.•・△/也七是等腰直角三角形，

BE—AE，

'：tanC=—,

2

AE\

----=—,

CE2

:.CE=2AE,

BC=3AE=3,

：.AE=RE=]

•・F。是中线，

3

BD=CD=-,

2

:.DE=BD-BE=-

2

.•.Rh/o七中，AD=>1AE2+DE2=—.

13.C

【分析】由题意知，EF/!BC,则/尸=45。，如图，作。M_L于〃，则

8c=48cos30°,8〃=O8-cos30°,=(95sin30c,DM="",根据

tan450

CD=BC-DM-BM,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，EF//BC,

.••/8。。="=45。，

如图，作OWJ_8C于M,

答案第9页，共47页

••-5C=J5-cos30°=16x—=8A/3cm,=O5cos30c=6x—=3>/3cm,

22

OM=OB-sin300=3cm,

OM

:.DM=------=3ocm»

tan45°

.•.CO=8C-OM-8M=8VJ-3-3G=（5G-3）cm,

故选：C.

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦等知识.熟练掌握平移

的性质,平行线的性质，正切.正弦,余弦是解题的关犍.

14.2

4

【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出N8=ND",

进而得出的正切值，再结合8c的长即可求出4C的长，进一步得出48的长度，进而得

出4。的长，最后在RS/QE中，求出力£的长即可解决问题.

【详解】解:由题知,

vZJC5=90°,DEIAB,

•••NB+N4=ZDEA+//=90°,

:.NB=ZDEA,

4

tan5=lanZDEA=—,

又•:BC=6,

•••AC=8,

•••"=府+82=10,

•••DE•垂直平分48,

.-.AD=-AB=5,NEON=90。，

2

AD

在RtZi。"中，lanZDEA=—,

答案第10页，共47页

54

:.---=—

DE3

：.DE=—

257

：.CE=AC-AE=8——=-.

44

故答案为：—.

4

15.A

【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三

角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题

的关键.根据△力。£是由△48。翻折得到可求解/D4E的度数，由此判断C选项；根据翻

折前后角度的求解，可求解/EDG与NOEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解

乙4EG的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判

断D选项.

【详解】解：C选项，在△48C中，N8=57。，ZC=38°,

ZBAC=180。-57。一38°=85°,

•••LADE是由4ABD翻折得到，

£DAE=ADAB=—=42.5°,故C选项错误；

2

A选项，•••△4QE是由翻折得到，ND4E=NDAB=42.5。,

:.ZAED=N8=57°,

•••ZADE=Z.ADB=180°-57°-42.5°=80.5°,

：.4EDG=1800-NADE-AADB=180°-80.5°x2=19°,

•••&EFG是由&EFC翻折得到，

.•.NEGF=NC=38。，

."EGD=180°-NEGF=180°-38°=142°,

在AEGD中,Z.DEG=180°-142°-19°=19°,

•:NEDG=NDEG=\90,

:.DG=EG,故A选项正确；

B选项,vZAED+Z.DEG=57°+19°=76°,

答案第11页，共47页

BP乙4EG=76°,

.•.GE与力£不垂直，故B错误；

D选项，过点6作6加_1,。£交OE于点“，如图,

假设OE=2G/,

••・&EFG是由&EFC翻折得到，

.•"EFC=NEFG=90。,

•••DG=EG,

・••△QGE为等腰三角形，

-GMIDE,

；.DM=EM,BPDE=2E.W,

:・GF=EM,

w，

在RaEMG中，sinZD£：G=sinl9o=--,

EG

EP

在Kt△上/G中，sinZEGF=sin38°=——，

EG

•••sin19”sin38。，

:.MG手EF,

又。EM=dEG?-MG，=GF=(EG?-EF2，与已知不符，故D选项错误.

故选：A.

16.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在山上和力。

上讨论，然后根据等腰三侑形的性质和解直角三角形的应用求解即可.

【详解】解：连接4。，

答案第12页，共47页

A

二AD-LBC,BD=CD=5,

①当点。在历