第十六章 整式的乘法 单元测试卷-2025-2026学年人教版八年级数学上册

整式的乘法单元测试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列运算结果正确的是（）

A.a-a=aB.a3*a=aAC.(a2)2=a5D.(ab)2=ab2

2.若(x+2)(x-3)+〃!¥+〃，则"?+〃的值为()

A.-6B.-1C.-7D.7

3.若（x・〃）（f+3x-2）的展开式中不含x2项，则常数a的值为（）

A.0B.3C.2D.-2

4.下列各式中，计算正确的是（)

A.热/二心B.

C.(a5)2=46D.(-2xy)3=-6x3y3

5.若。=2,"=3,则//3y=()

A.108B.54C.36D.31

6.下列各式中，能用平方差公式计算的是（)

A.(-a+b)(-a-b)B.Ca+b)(a+b)

C.(-a-b)(a+b)D.(a-b)(2a+b)

7.如图，将一边为机，另一边分别为mb,c的三个长方形拼在一起组成一个

新长方形，用不同的方法表示新长方形的面积可以说明下列等式成立的是

()

ab

m

A.m(。十。+c)=ina-^mb+mcB.(a十人)m=(。十c)in

C.a(〃+/?+c)=cr^ab+acD.ma+mh+mc=t72+/?2+c2

8.（-32。25.合2026的计算结果是（)

_5

A.-1B.

-4

。iD.(_*

9.一个长方形的面积为(6a庐-4/8),它的长为2而，则它的宽为(

A.3b-2a2B.3b2+2aC.3^-2。D.3b-2a

10.设小b为实数,多项式(x+〃)(2r+b)展开后x的一次项系数为p,多项

式(2x+a)(x+b)展开后工的一次项系数为仍若p+q=6,且p,均为正整

数，则()

A.斜与f的最大值相等，"与孩的最小值也相等

bb

B."与三的最大值相等，必与f的最小值不相等

bb

C."与?的最大值不相等，。力与?的最小值相等

bb

D.而与三的最大值不相等，而与E的最小值也不相等

bb

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.计算3而・2々的结果是.

12.若ab2=-1,则ab(。护-b)的值为.

13.长方形的面积是6〃2-3".若一边长是3〃，则另一边长是.

14.某农户租两块土地种植沃柑.第一块是边长为卬〃的正方形，第二块是长为

(〃+10)m,宽为(〃+5)m的长方形，则第二块比第一块的面积多了

nv.

15.4个数mb,c,d排列成［，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法

则为：°9=〃・如若仔］彳“+寺=13,则x=.

cdlx+1x-2\--------------------

16.阅读材料：计算：

(2+1)X(2?+1)X(24+1)

=(2-1)X(2+1)X(22+1)X(2中)

=［(2-1)X(2+1)JX(22+1)X(2，+1)

=1(22-1)X(22+1)JX(24+1)

=(24-1)X(24+1)

=28-1

=255

运用上述方法求(1+》X（1+点）X（1+玄）X（1+专）+上=

210

三、解答题（共72分）

17.（每小题4分，共8分）计算:

(1)a*aJ-2(a?)4+(-2a4)2；

(2)(-1)x(-1)2x(_1)3-

18.（6分）已知（x+I）?+|y-=0,求式子（・向严2+3乃川）+3入）声+1的值（〃

为正整数）.

19.（8分）如图,某市有一块长为（3。+8）米,宽为C2a+b）米的长方形地块,

规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建•座雕像.

（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）

（2）求出当。=3,〃=2时的绿化面积.

20.（8分）对于整数小b定义运算：4G）方=/沙（其中“〃为常数），如302

=3咏2〃.若存在一个实数％,使得3G）1=女，32m+3〃=K.

（1）求3”的值（用含攵的代数式表示）；

（2）求证：〃2=〃.

21.（8分）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准

备在一个长为（4〃+3方）米，宽为（2〃+3〃）米的长方形草坪上修建两条宽为

〃米的通道.

（1）通道的面积是多少平方米？

（2）剩余草坪的面积是多少平方米？

22.（8分）小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：（3户〃）（Zr+力），由于小

马抄错了。的符号，得到的结果为61-17x+12；由于小睿漏抄了第二个多项

式中x的系数，得到的结果为3『-5x-12.

（1）求出访人的值；

（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果.

23.(8分)定义：L(4)是多项式A化简后的项数，例如多项式A=/+2x-3,

则L(A)=3.一个多项式A乘多项式8化简得到多项式。(即C=AX8),

如果L(A)〈L(C)WL(A)+1,则称8是A的“好多项式”，如果L(A)

=L(C),则称8是A的“极好多项式”.例如多项式A=f+2x・3,B=x-1,

则。=炉+/-51+3,则L(A)=3,L(C)=4,3W4W3+1,所以5是A的

“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”.

(1)若A=x-4,B=x+5均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？

是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；

(2)若A=x-3,8=f+ca+9均是关于x的多项式，且8是4的“极好多项

式”，求。的值.

24.(8分)在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单.

例如，在计算(x-y-3)(尤-＞，+3)时就可以咨工-y看成一个整体，式子转

化为：(X-)，)2-32=«-4，+产-9.请借助整体思想完成：

(1)(f+V+2)(7+产-2)=77,求f+y2；

(2)已知(x+2024)2+(x+2026)2=100,求x+2025.

25.（10分）有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、

形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感

悟代数和几何内在的一致性.如图1是由两个边长分别为例，〃的小正方形和

两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式:

（m+n）2=nr+lmtr+n2.

（1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a,b,c,且aVhVc）和

一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出〃、。、c满足的

等量关系式；

（2）如图2,在（1）的条件下，若a+b=7,c=5,求阴影部分的面积；

（3）如图3,以（1）中的mb,c为边长作三个正方形，并将以〃，b为边

长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1,

求四边形4KC。的面积.

图1图2图3

参考答案

1.下列运算结果正确的是()

3342522

A.a-a=aB.a*a=aC.(d)=aD.(ab)=ab

【分析】根据合并同类项法则、同底数察的乘法法则、察的乘方与积的乘方

法则分别计算判断即可.

【解答】解：A、/与-。不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B、/・〃=",故此选项符合题意；

C、(〃3)2=/，故此选项不符合题意；

。、Cab)2=a2b\故此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了合并同类项、同底数索的乘法、塞的乘方与积的乘方，

熟练掌握运算法则是解题的关键.

若2则〃的值为()

2.(x+2)(x-3)=x+nix+nfm+

A.-6B.-1C.-7D.7

【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据题意得出m=-1,〃=-6,

即可求解.

【解答】解：(x+2)(x-3)=/-3x+2x・6=f・x-6,

*.*(x+2)(x-3)=.F+〃吠+〃,

m=-1»/?=-6,

，/九+〃=-1+(-6)=-7,

故选：C.

【点评】本题考杳了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.若(x-a)(『+3x-2)的展开式中不含/项，则常数。的值为()

A.0B.3C.2D.-2

【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项系数等于0,再解方程即可.

【解答】解：:多项式(x-67)(X2+3X-2)=/+(3-a)♦+(-3a-2)x+2a

不含f项，

.*•3-。=0,

解得。=3.

故选：B.

【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知

道多项式中的每个9项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生

灵活运用知识的能力.

4.下列各式中，计葬正确的是()

A.4z2+tz4=^6B.a3*a3=2a3

C.(a3)2=a6D.(-2xy)3=-6,好炉

【分析】利用合并同类项，同底数塞的乘法，累的乘方与积的乘方的运算法

则分别对各项进行运算即可.

【解答】解：A、/与/不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；

B、。3・〃3=/+3=〃6,原选项计算错误，不符合题意；

C、(〃3)2=〃6,原选项计算正确，符合题意：

D、(-2。)3=-83炉，原选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查客的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数塞的乘法，熟

练掌握运算法则是解题的关键.

5.若〃=2,足=3,则卢3y=()

A.108B.54C.36D.31

【分析】利用同底数累的乘法和累的乘方的计算性质进行计算即可.

【解答］解："=2,丁=3,

・••油网'=0・冷=3)2・(/)3=22x33=4X27=108,

故选：A.

【点评】此题主要考查了事的乘方和同底数事的乘法，关键是掌握计算公式

并能熟练应用.

6.下列各式中，能用平方差公式计算的是()

A.(-a+b)(.-a-h)B.(a+b)Ca+b)

C.(-a-b)(a+b)D.(a-b)(2。+/?)

【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，

即可得出答案.

112

【解答】解：A、(-〃+〃)(-a-力)=(-〃)2-b=a-bf能用平方差公

式进行计算，选项符合题意；

8、(a+b)(a+b)=(a+b)2,不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意；

C、(-a-b)(〃+尻)=-(a+b)2,不能用平方差公式进行计算，选项不符

合题意；

D、(a-/?)(2a+b)中。与2。的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差

公式计算，选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平

方公式的特点是关键.

7.如图，将一边为“2.另一边分别为a,b,C的三个长方形拼在一起组成一个

新长方形，用不同的方法表示新长方形的面积可以说明下列等式成立的是

()

abc

A.tn(a+b+c')=nia+mb+nicB.(a+b)m=(〃+c)m

C.aCa+b+c)=a2+ab+acD.fna+fnb+mc=a2+b2+(r

【分析】用不同的方法表示长方形的而积即可得出结果.

【解答】解：m(〃+/?+(?)=nia+mb+mc,

故选：A.

【点评】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图

形之间面积的数量进行求解.

8.(-射。25.。严6的计算结果是()

【分析】先将(力2026变形，然后根据积的乘方的逆运算进行计算.

4

5

55

2025-2()2X-

【解答】解：原式=(Y)x44

=(一"》f

一一J因

故选：B.

【点评】本题考查积的乘方的逆运算，关键是正确变形.

9.一个长方形的面积为(64/?2-4〃2/J),它的长为2必，则它的宽为()

A.3b-levB.3/+2。C.3护-2aD.3b-la

【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.

【解答】解：由题意可得：一个长方形的面积为(6岫2・4/〃)，长为2",

・•・宽为：(6^2-4a2b)+2ab,

，经计算得：宽为3b-2a,

故选：D.

【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键.

10.设a,b为实数,多项式(x+a)(2x+b)展开后x的一次项系数为p,多项

式(2x+a)(x+Z?)展开后x的一次项系数为伙若P+q=6,且p,q均为正整

数，则()

A.与三的最大值相等，。人与三的最小值也相等

bb

B."与价最大值相等，油与油最小值不相等

bb

C.而与三的最大值不相等，岫与三的最小值相等

bb

D.而与三的最大值不相等，面与曲勺最小值也不相等

【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出〃，必再分

析即可.

【解答】解：(x+a)(2x+b)

=2X2+Z?X+2OX4-67Z7

=2x2+(b+2a)x+ab,

⑵+〃）（1+/?）

=l^+lbx+ax+ab

=2X2+(2b+a)x+ab，

，・,多项式（x+4）C2x+b）展开后x的一次项系数为p,多项式（2x+a）（x+b）

展开后工的一次项系数为十

：・p=b+2a,q=2b+a,

,:p+q=6,且p,q均为正整数，

.\b+2a+2b+a=6f

整理得：a+b=2.

又p=b+2a,q=2b+a,

*t•/?—tz+2»g=b+2.

:・a=p-2,b=q-2.

/.nh=(/)-2)(q-2)=pq-2(〃+q)+4=〃(6-/))-2X6+4=-p2+6p-

8=-(p-3)2+1.

♦・・p,q均为正整数,

・•・〃的取值为1,2,3,4,5.

ab的最大值为1,ab的最小值为-3.

：a=p-2,b=q-2,

.ap-26-q-24-q-q+2-2+42

(q产2).

bq-2q-2q-2q-2F2

・・p,q均为正整数,

•・4的取值为I,2,3,4,5.

率最大值为L；的最小值为-3.

故选项A正确，符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了整式的变形，解题时要能熟悉整式的相关变形，注

意学会将未知转化为已知去解决.

11.计算3ab•2a的结果是6cFb..

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，运算可得到结果.

【解答】解：3ab♦2a=6a2b.

故答案为：6a2b.

【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

12.若cilr=-1,则ab(〃护・b)的值为2.

【分析】先根据单项式乘单项式的运算法则计算，再代入求值即可.

【解答】解：,・・以2=-1,

22222

ab(加-Z?)一ab=(ab)-ah=(-1)-(-1)=1+1=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

13.长方形的面积是82-3".若一边长是3a,则另一边长是2a-b.

【分析】先列式再计算即可.

【解答】解：(6/-3")+3a=2a・b，

故另一边长是2〃-上

故答案为：2a-h.

【点评】本题考直了整式的除法，解题的关键是掌握整式是除法法则.

14.某农户租两块土地种植沃柑.第一块是边长为a〃z的正方形，第二块是长为

(a+10)〃7,宽为(〃+5)/〃的长方形，则第二块比第一块的面积多了(15〃+50)

m2.

【分析】先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可.

【解答】解：由题意得：(10)(a+5)-cr

=〃2+5a+10〃+50-a2

=a2-。2+5。+10。+50

=(15«+50)nr,

・・・第二块比第一块的面积多了(15〃+50)加，

故答案为：(15a+50).

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多

项式法则和合并同类项法则.

15.4个数小b,c,d排列成J|,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法

则为：。b,=ad-be.若匕彳”+寺=13,则尸.

cd1%4-1x-21-2—

【分析】根据题意可以将=13转化为方程,从而可以求得x的值.

【解答】W：V-4=13,

XIJLX/I

・•・(x-2)(x-2)-(x+3)(x+1)=13,

21

x-4x+4-x-4x-3=13f

~8x—12,

解得，x=-1，

故答案为：-1.

【点评】本题考查多项式乘多项式、解一元一次方程，解题的关键是明确题

意，会解一元一次方程的方法.

16.阅读材料：计算:

(2+1)X(22+I)X(24+1)

=(2-1)X(2+1)X(22+1)X(24+1)

=[(2-1)X(2+1)]X(22+1)X(24+1)

=[(22-1)X(22+1)]X(24+1)

=(24-1)X(24+1)

=28-1

=255

运用上述方法求（1+^）x（1+场）x（1+玄）x（1+pj）十=2

【分析】通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以1-今利

用平方差公式逐步化简，最终得到结果.

（lT）x（l+；）x（l+3）x（l+；）x（l+4）1

［解答］解：原式二一-——-——F——d——也十金

22

（1一点）X（1+^）X（1+j）X（l+3）।1

=i+/

22

（1-j）x（l+$）x（l+%）i

(X)x(l号)1

I+21

1十15

22Q

=2(1一击)+击

91.1

=2-产+产

=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键.

17.计算：

(1)era1-2(a2)4+(-24)2；

(2)(-1)x(~|)2x(-1)3.

【分析】(I)先算同底数幕的乘法，幕的乘方和积的乘方，再合并：

(2)利用同底数幕的乘法法则计算即可.

【解答】解：(1)原式=〃-2*+448=3心；

(2)原式=(一》6=(.

【点评】此题考查了同底数基的乘法，塞的乘方和积的乘方法则，解题为关

键是掌握以上运算法则.

18.已知Q+1)2+|y-刍=0,求式子(-/严2+3乃尹)4-3xy,,+1的值(〃为正

整数).

【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计

算即可.

【解答】解：,・•(%+1产+|y-，=0,

1—0>y-2=0,

-1,y=

/.(・x2y,+2+3W)+3孙”+1

=-ixy2+x2+1

•3

-|x(-l)x(l)2+(-l)2+l

25

=12-

【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0,则这几个非负

数分别等于0,并正确得出未知数的值是解题的关键.

19.如图，某市有一块长为（3〃+b）米，宽为C2a+b）米的长方形地块，规划

部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.

（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）

（2）求出当。=3,/?=2时的绿化面积.

【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积；

（2）代入〃=3,〃=2计算即可.

【解答】解：（1）阴影部分的面积=（3。+8）（2"力）-（。+〃）2

=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b1

=5层+3曲

（2）当a=3,Z?=2时，原式=5X32+3X3X2=63（平方米）.

【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项

式与多项式相乘，元用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再

把所得的积相加.

20.对于整数mb定义运算:（其中〃7,〃为常数），如3③2=3加X

2”.若存在一个实数3使得3合1=攵，32加+3〃=£

（1）求3m的值（用含我的代数式表示）；

（2）求证：m=n.

【分析】（1）根据题目定义的运算，计算即可求解；

（2）利用鬲的运算法则计算即可.

【解答】（1）解：・；381=3'"X3=3

・・・3'”=总

(2)证明：・.・3223n=32M*33〃=(3加)2x(3〃)3

^2MJ+3,J—E5—（3加）5.

(3,n)2X(3")3=(3加)5,

/.(3〃)3=(3，“)3

・・.3"=37

m=n.

【点评】本题考查嘉的运算，熟练运用幕运算法则是解决本题的关键.

21.如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个

长为（4。+3〃）米，宽为（2〃+38）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通

道.

（1）通道的面积是多少平方米？

（2）剩余草坪的面积是多少平方米？

«--------4。-35-------->

【分析】（1）根据通道的面积=两个长方形面积-中间重叠部分的正方形的

面积计算即可.

（2）根据剩余草坪的面积=大长方形面积・通道的面积计算即可.

【解答】解：（1）6（2。+3万）+b（4a+3b）-b2

=2ab+3b2+4ah+3b2-b1

=6ab+5bl（平方米）.

答：通道的面积是16"+5序）平方米.

(2)(4。+3力)(2。+3〃)-(6而+5店)

=8万+6如12如泌2-6ab-5b1

=8/+12出升4〃（平方米），

答:剩余草坪的面积是（8/+12H+4/）平方米.

【点评】本撅考杳多项式与多项式的乘法法则，解撅的关键是学会用分割法

求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型.

22.小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：(3x+a)(2x+8),由于小马抄错

了。的符号，得到的结果为6f・17%+12；由于小睿漏抄了第二个多项式中x

的系数，得到的结果为3f-51-12.

(1)求出〃的值；

(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.

【分析】(1)根据多项式乘以多项式法则即可求出。与b的值；

(2)正确求出。与匕的值后，利用多项式乘以多项式法则即可求出答案.

【解答】解：(1),・,小马抄错了。的符号，得到的结果为17.计12,

(3x・〃)(2x+b)=6A2-17x+12,

：.3b-2a=-17；

・・•小睿漏抄了第二个多项式中丫的系数，得到的结果为3~-5丫-12,

(3x+a)(x+b)=3^-5x-12,

.\a+3b=-5,

解e/工”，得｛工，

.•.a=4,b=-3；

(2)・・・。=4,b=-3,

・・・(3x+4)(2A-3)

=6x2-9x+Sx-12

=6x2-x-12.

【点评】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以

多项式法则，本题属于基础题型.

23.定义：L(A)是多项式A化简后的项数，例如多项式A=f+2x-3,则L(A)

=3.一个多项式A乘多项式8化简得到多项式C(即C=AX8),如果L(A)

SL(C)WL(A)+1,则称8是A的“好多项式”，如果L(A)=L(C),

则称3是4的“极好多项式”.例如多项式4=/+〃-3,Z?=x-1,则C=M

-5x+3,则L(A)=3,L(C)=4,3W4W3+1,所以B是A的“好多项式”,

但B不是A的“极好多项式”.

(1)若A=x-4,B=x+5均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？

是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；

(2)若4=x-3,8=f+ax+9均是关于x的多项式，且8是A的“极好多项

式”，求。的值.

【分析】(1)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判

断；

(2)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于。的

方程，解方程即可求解；

【解答】解：(1)3是4的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由

如下：

(x-4)(x+5)

=x2-4x+5x-20

=~+什20,

VJ^+X-20的项数比A的项数多1项,

・・・8是4的“好多项式”，不是A的“极好多项式”；

(2)(x-3)(f+ax+9)

=2+加+9工-3X2-3ax-27

=2+(6r-3)/+(9-3〃)x-27,

•・,〃是人的“极好多项式”，

・・・。-3=0且9-3。=0,

解得『3.

【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”

的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键.

24.在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单.

例如，在计算(x-y-3)(A-JH-3)时就可以将x-y看成一个整体，式子转

化为：氧-)，)2-32=/-20，+产-9.请借助整体思想完成：

(1)(f+V+2)(f+y2_2)=77,求f+y2；

(2)已知(x+2024)2+(x+2026)2=100,求x+2025.

【分析】(1)利用整体思想结合平方差公式运算求解即可；

(2)利用整体思想结合完全平方公式运算求解即可；

【解答】解：(1),?(『+)12)(f+V-2)77,

由平方差公式，得〔^+尸)2・4=77,

・・・(F+y2)2=81,

,•,/以)，)，2》()，

AX2+/=9；

(2)(x+2024)2+(x+2026)2=100,即G+2025-1)2+(戈+2025+1)2

=100,

由完全平方公式展开，得(x+2025/-2(x+2025)+1+(x+2025)2+2(x+2025)

+1=100,

：.2(x+2025)2=100-2,即(x+2025)2=49,

.•・x+2()25=±7.