第四章 整式的加减（讲义）-2024七年级数学上册（人教版）原卷版

第四章整式的加减（举一反三讲义）全章题型归纳

【人教版2024]

■题型归纳

【培优篇】............................................................................3

【题型1整式及整式有关的概念】................................................................3

【题型2（合并）同类项】.......................................................................4

【题型3去（添）括号】.........................................................................4

【题型4整式加减运算与化简求值】..............................................................4

【拔尖篇】............................................................................5

【题型5整式加减中的无关项问题】..............................................................5

【题型6整式加减中的多结论问题】..............................................................6

【题型7整式加减的实际应用】..................................................................7

【题型g行绝对值有关的化简】..................................................................8

【题型9探索与表达规律（数字变化类）】........................................................9

【题型10探索与表达规律（图形变化类）】........................................................10

举一反三

知识点1单项式

1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单

项式.

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.

3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.对于一个非零的数，规定

它的次数为。.

次数2+3=5

早

系数

知识点2多项式

1.定义：几个单项式的和叫作多项式.

2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项,其中不含字母的项叫作常数项,一个多项式含

有儿项，就叫几项式.

3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数.

知识点3整式

L定义：单项式与多项式统称整式.

2.单项式、多项式与整式的关系如图所示.

3.判断整式、单项式及多项式的方法

（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；

（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；

（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式.

知识点4同类项

所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.

知识点5合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项,叫作合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系

数的和，字母连同它的指数丕变.

合并同类项的一般步骤：

知识点6去括号

1.去括号方法

一般地，i个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的型二项，再把所得

的积相加.如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如臭括号外的乘

数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

2.依据：分配律4（什C）=4〃+4C.

3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.

知识点7整式的加减

整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一

化、二代、三计算”.在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做.例如,

—2,—3x4-5x-7x4-6）=-2（-4x+6）=8%—12.

【培优篇】

【题型1整式及整式有关的概念】

【例1】（24-25七年级上•河南商丘•期中）多项式（m-4）/m-2|+x-5是关于x的二次三项式，则?n取值为

（）

A.0B.4C.4或0D.-4或1

【变式1-1］（24-25七年级上•河南驻马店•期中）下列式子：一；，g-n,-5%2y3,2肛2,与，_L,其中

3322—X

属于单项式的是,属于多项式的是,属于整式的是.

【变式1-2］下列说法中正确的是（）

A.多项式一亭的常数项是不二次项的系数是-:

444

B.单项式—57rxy2z3的系数和次数分别是一5,7

C.］不是单项式

*2342

D.把％3+xy-y+2%2y按V的降累排歹|J为-y3+Xy2+/+2xy

【变式1-3】已知多项式一7。小L+5岫2-1（m,九为正整数且a的指数不相同）是按a的降幕排列的四次三

项式，则（一九）皿的值为（）

A.-1B.3或一4C.一1或4D.-3或4

【题型2（合并）同类项】

【例2】（24-25九年级下•河南周口•阶段练习）若关于》的单项式正与岫2。24相加等于0,则次九

【变式2-1]（24-25七年级上•全国•期末）下列各组式子中是同类项的是（）

A.ac^jabB.3a与5a?C.3ab2^5a2bD.a2b与—ba?

【变式2-2]（24-25七年级上•北京•期中）请写出一个与为同类项的整式：.

【变式2-3】已知-5。2，〃匕和8a6户-〃是同类叽则下列各组中的单项式是同类项的是（）

A.-”y与）2ynB.2/-1、2与ooi无2y"

C.%3y4与一4%m+ly〃+2D.—%2my4与6”yn+l

【题型3去（添）括号】

【例3】(24-25七年级上•河北衡水•阶段练习)下列去括号正确的是()

A.a+(b+c)=ab十cB.a2—[—(—a+5)]—a?—a-b

C.a+2(b-c)=a+2b-cD.a-(b+c-d)=a-b-c-^-d

【变式3-1]已知x=l；,y=z=p则x-(-y)+(-z)=________

326

【变式3-2]已知%—()=x—y-z,则括号里的式子是()

A.y—zB.z-yC.y+zD.-y-z

【变式3-3】已知/+2xy=4,y2+xy=5,则2M+3xy-y2=.

【题型4整式加减运算与化简求值】

【例4】（24-25七年级匕上海•期中）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例

如：在图1中，即5+6=11,若a,b满足m一3|+（b+l）2=0,则图2中），的值为.

图I图2

【变式4-1]（24-25七年级上•陕西宝鸡•阶段练习）计算.

（l）2（x2-2xy）-3（y2-3xy）；

(2)(-x2+2xy-y2)-2(xy-3x2)+3(2y2-xy).

=5x2—3xy+5y2

【变式4-2](24-25七年级匕贵州遵义・期中)设时=%2+4小之一3,N=2x2+4mx-2,那么M与N的

大小关系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

【变式4-3](24-25九年级上•江苏南通・期中)已知3/一4xy+7y2-2m=一17,x2+5xy+6y2-m=12,

则式子/一14xy-5y2的值为()

a-c41.7「7

A.-41B.——C.--D.-

222

【拔尖篇】

【题型5整式加减中的无关项问题】

【例5】(24-25七年级上•江苏南通•期中)关于X,y的多项式+ax—y+b与多项式bx?—3K+6y—3的

差的值与字母工的取值无关，则代数式3(。2一2ab-7)-(4a2+ab+/)的值为.

【变式5-1](24-25七年级上•吉林・期中)若关于x、y的多项式8(%2-3盯一y2)-2(/+小X、+2y2)化

简后不含xy项，则m=.

【变式5-2](24-25七年级上•山东日照•期末)已知含字母m,n的代数式是：3[m2+2(n2+mn-3)]-

3(m2+2n2)—4(mn—m—1).

⑴化简这个代数式.

(2)小明取m,n互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0.那么小明所取

的字母n的值等于多少？

⑶聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值恒

为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？

【变式5-3](24-25七年级上•广东韶关•阶段练习)阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务.

一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简TQ-1)+3(%-4)+5"时，发现系数“广

被墨迹污染了，下面是她俩的对话：

小红：小英，我想，被墨迹污染的系数7是-4

小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！……

任务：

⑴根据材料中小红的话，化简式子7。-1)+3(%-4)+5.

⑵根据材料中小英的话，求这道问题中的系数7〃及该式子的结果.

【题型6整式加减中的多结论问题】

【例6】（24-25七年级上•浙江宁波・期末）如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五

个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙.若

想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：

甲说：只需要知道①与③的周长和；

乙说：只需要知道①与⑤的周长和；

丙说：只需要知道③与④的周长和；

丁说：只需要知道⑤与①的周长差；

下列说法正确的是（）

A.只有甲正确B.甲和乙均正确C.乙和丙均正确D.只有丁正确

【变式6-1]（24-25六年级上•山东烟台・期末）关于X,,，的单项式，若x的指数与），的指数是相等的正整数,

则称该单项式是“等次单项式〃.给出下面四个结论：①-5/y3是“等次单项式”；②“等次单项式〃的次数可

能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式〃的和一定是“等次单项式J④若五个"等次单项式”的次数均不

高干8,则它们中必有同类项.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①④C.①②④D.①③④

【变式6-2】有依次排列的两个整式：x,x+3,对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将

所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：”,3.+3,这称为第一次操作；将第一次操作

后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推.通过下列实际操作，

①第一次操作后的整式串为：x,3-x,3,x,x+3；

②第二次操作后，当了<-3或%>3时，所有整式的积为正数；

③第四次操作后的整式串共有19个整式；

④第2022次操作后，所有整式之和为2无+6069；上述结论中，正确的是（）

A.①②B.①③C.①④D,②④

【变式6-3]（24-25七年级下•山东青岛•期末）有依次排列的2个整式：％+y,x-y.

将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式3x+y,称为第一次操作；

将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式5%-y,称为第二次操作；

将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式llx+y,称为第三次操作，

以此类推，下列说法：

①第六次操作得到的整式为85x-y；

②第20个整式中含%项的系数的2倍与第21个整式中含x项的系数之差为1；

③第2025个整式和第2026个整式中含工项的系数之和等于22。25.

其中正确的有—.

【题型7整式加减的实际应用】

【例7】（24-25七年级上•江苏南通•阶段练习）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月

缴纳）：

用户月用水量单价

不超过12立方米的部分a元/立方米

超过12立方米但不超过20立方米的部分1.5a元/立方米

超过20立方米的部分2a元/立方米

⑴某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）

⑵设某户月用水量为几立方米，当a=2.5时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立

方米（列方程求解）？

⑶当Q=2时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，己知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水

“立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含％的式子表示）

【变式7-1]（25-26七年级上•全国•随堂练习）某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过15m3,

每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元.若该地区某家庭上月用水量为20m3,则应缴水费多少元？

【变式7-2]（24-25七年级上•广东韶关•阶段练习）项目式学习.

【主题】剪纸.

【素材】一张边长为a的正方形纸片、剪刀等.

【操作】从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5〃的图案（如

图2）,再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）.

h

⑴求新长方形的周长（用含有Q,b的代数式表示）；

⑵求美术字"5〃的图案的周长（用含有Q,匕的代数式表示）；

⑶若。=8,剪去的小长方形的宽为1,求新长方形的周长和美术字的图案的周长.

【变式7-3]（24-25七年级上•福建莆田•期末）在小学，我们知道像12,27,36,45,108,...这样的自然数

能被3整除.一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.事

实上，我们可以证明这个结论的正确性.

以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为适，于是林=10a+

b=9a+（a+b）,显然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+（a+b）,就能被3整除，

即诬能被3整除.

根据上述材料，解答下列问题：

⑴下列各数中，能被3整除的有（填序号）

①25：@225：@1025.

（2）用含a、b、c的代数式表示三位数次二（其中Q是百位数，b是十位数，c是个位数）；

⑶类比上述的过程，尝试说明：如果•个三位数而的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9

整除.

【题型8与绝对值有关的化简】

【例8】（24-25七年级下•重庆•开学考试）x是有理数，优一5|+归一7|+氏+6|+氏-9|的最小值

是.

【变式8-1]（24-25七年级上•全国•期末）己知a,b,c在数轴上的位置如图所示,所对应的点分别为A,B,

C.化简：|a+b|-2|c—〃一|c—Q|=.

CBA

-ch6a

【变式8-2]（24-25七年级上•北京・期中）1.己知,有理数叫力、c在数轴上的位置如图所示,

c0ab

（1>化简：|3a+—|c-2a|+|c+2b|=；

（2）若a,c两数的倒数是他们自身，当％的范围是时，-a|+-c|有最小值，最小值为.

（3）在（2）的条件下，若未知数X、y满足（|x-a|+|x—3|）（|y-2|+|y-c|）=6,则代数式％+2y的最

大值是.

【变式8-3]（24-25七年级上•安徽滁州•期中）有理数小仇c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结

论：@abc>0；②Q-b+cVO；③乎+与+手=-1：④|。+川一俗一。|+|。一。|=一2<:其中正确结

论的个数是（）

IIII»

bc0a

A.4个B.3个C.2个D.1个

【题型9探索与表达规律（数字变化类）】

【例9】在“点燃我的梦想，数学皆有可衡〃数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对

依次排列的两个整式/〃，〃按如下规律进行操作：

第1次操作后得到整式中切，〃，n-m；

第2次操作后得到整式中〃?，〃，n-m,-m；

第3次操作后...

其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动

命名为"回头差"游戏.

则该"I川头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（）

A.m+nB.inC.n-mD.2n

【变式9-1]（24-25七年级上•福建三明•期中）有一列按规律排列的代数式：b,2b-a,3b-2a,4b-3a,

5b-4a.......相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第4个代数式的值为8,则前7个代数式的和为（）

A.28B.56C.84D.112

【变式9-2】借助符号，数学语言变得简洁明了.例如可用代数式？一W+嗒来表示“左丁二，三J〃（题

’227丁一丙二甲一乙一

目选自1905年清朝学堂课本）.观察其中的规律，将"」」JL三T三〃化简后得（）

四乙一甲一乙-

A.一贮+/B.巨+从C.—g+廿D.贮+廿

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