多边形与平行四边形（6大考点42题） （第01期）-2025年中考数学试题分类汇编解析版

专题19多边形与平行四边形（6大考点，精选42题）

考点概览

考点1多边形的内角和与外角和

考点2平行四边形的性质

考点3三角形的中位线

考点4平行四边形的判定

考点5平行四边形的性质与判定

考点6以平行四边形为载体的压轴问题

考点1多边形的内角和与外丽

1.（2025•北京•中考真题）若一个六边形的每个内角都是X。，则x的值为（）

A.60B.90C.120D.150

【答案】C

【分析】本题考查了多边形内角和公式，即（九-2）X180。，其中九为边数，利用多边形内角和公式及正多边

形的性质求解即可.

【详解】解：•・•一个六边形的每个内角都是“。，

，每个内角的度数为:x°=（6-2）x180。+6=120。，

故选：C.

2.（2025•甘肃兰州•中考真题）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正

六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中418。的大小是（）

图1图2

A.90°B.120°C.135°D.150°

【答案】D

【分析】本题考杳了正多边形的内角和.根据正三角形的每个内角为60。，正方形的每个内角为90。，求解

即可.

【详解】解：正三角形的每个内角为苧=60。，正方形的每个内角为邛=90。，

34

・・・〃8。=60。+90。=150°,

故选：D.

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3.（2025•四川遂宁•中考真题）已知一个凸多边形的内角和是外用和的4倍，则该多边形的边数为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】A

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键，

根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可.

【详解】解：设这个多边形的边数为〃，根据题意可得：（n-2）x180°=4x3600

解方程，得n=10

因此，该多边形的边数为10，

故选：A.

4.（2025・四川自贡・中考真题）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则a+/?=（）

【答案】B

【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公

式牯解题的关键.先根据正多边形每个内角为180。-%，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合

n

四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案.

•・•正六边形与正方形的两邻边相交，

：.LA=90°,zfi=180°--=120%

6

Vzl+Z-2+Z.A+Z.B=180°,Z1=a,42=0,

Azi+42=360°—90°-120°=150°,

：.a+p=Z1+Z2=150°,

故选：B.

5.（2025・云南•中考真题）一个六边形的内角和等于（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

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【答案】c

【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握71边形内角和为⑺-2）x180。是解题的关键.

根据多边形的内角和公式直接计算即可.

【详解】解：由题意得：（6-2）x180°=4x180°=720°,

故选：C.

6.（2025•江苏扬州•中考真题）若多边形的每个内角都是140。，则这个多边形的边数为.

【答案】9

【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于360。是解题关键.先

求出这个多边形的每个外角都是40°,再根据多边形的外角和等于360。求解即可得.

【详解】解：•・•这个多边形的每个内角都是140。，

，这个多边形的每个外角都是180°-140°=40°,

，这个多边形的边数为360°+40°=9,

故答案为：9.

7.（2025・四川成都・中考真题）正六边形户的边长为1,则对角线人。的长为.

【答案】2

【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接AC,求出

正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，进而推出△4CD为含30度角的直角三角形,

进行求解即可.

【详解】解：连接AC,

A

D

•・•正六边形4BCDEF,

：.AB=BC=CD=1,乙ABC=乙BCD=Z.CDE=-x(6-2)x180°=120°,

6

：./RCA=/RAC=30°,

.,.^CD=120°-30°=90°,

•・•正六边形为轴对称图形，

：.£CDA=^CDE=60°,

2

C.LCAD=30°,

：.AD=2CD=2：

故答案为：2.

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8.（2025•湖南长沙•中考真题）如图，五边形ABCDE中，=120。，乙C=110。，LD=105°,则

【答案】205

【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可.

【详解】解：多边形的内角和为180。x（n-2）,

.••五边形为BCQE的内角和为180°x（5-2）=540°,

+NE=540°-zfi-zC-zD=540°-120°-110°-105°=205°,

故答案为：205.

9.（2025・吉林长春・中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图,

【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：180。-警二108。,

再进一步求解即可.

【详解】解：•・•正五边形的每一个内角为：180。-平=108。，

Aza=360°-3x108°=36°,

故答案为：36

10.（2025・吉林・中考真题）如图，正五边形A8CDE的边A8,OC的延长线交于点R则”的大小为度.

【答案】36

【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出

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乙FBC、4FC8的度数，再利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：五边形4BCDE是正五边形，

：,z.FBC=Z.FCB=亭=72°,

：,LF=1800-Z,FBC-乙FCB=36°,

故答案为：36.

11.（2025•江西・中考真题）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为度.

【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据〃边形的内角和公式6-2）x180。进行计算即可.

【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形，

六边形的内角和为（6-2）X180°=720°,

故答案为：720.

12.（2025•湖南•中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形

为正八边形，连接AC,BD,AC与8。交于点M,^AMB=

【答案】45

【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根

据正多边形内角计算公式求出41BC=乙BCD=135。，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出

乙BCA,iCBD的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案.

【详解】解：•・•八边形A8CDE尸GH是正八边形,

\LABC=乙BCD=18。：*-2)=135。，AB=BC=CD,

180°-z4gC

：.LBCA=Z.BAC=22.5。,

2

同理可得“BD=22.5°,

=乙CBD+乙BCA=45°,

故答案为：45.

13.（2025•山东烟台•中考真题）【问题呈现】

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如图1,已知P是正方形4m2心力4外一点，且满足乙「4力2+4P北42=180。，探究P41，PA2,P4三条线

段的数量关系.

小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：如图2,构造与△P4〃2全等，从而得出PA1+P为与P心的数量关系；

思路二：如图3,构造与43A2全等，从而得出P4+P4与P&的数量关系.

（1）请参考小颖的思路，直接写出Pa+/M3与尸力2的数量关系:

【类比探究】

（2）如图4,若P是正五边形4为力3力445外一点，且满足乙PA142+4PA3A2=180°,PAJ=11,PA3=49,

求P42的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°«0.81,sin72°«0.95,cos54°«0.59,cos72°«0.31）；

【拓展延伸】

（3）如图5,若P是正十边形为庆…4o外一点，且满足"4-+“4力2=180。,则P&,PA2,P公三

条线段的数量关系为（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.

【答案】（1）PAX+PA3=V2PA2；（2）37.0；（3）PAX+PA3=2PA2-sin720

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握

以上知识是解题的关犍；

（1）根据思路一：构造△。/必与a全等，从而得出△力2PQ是等腰直角三角形，即可PA1+P力3与P^2

的数量关系；

（2）在射线P4上截取&Q=P%，连接力2<?，过点42作于点7，同（1）得△Q43%空

贝此P712Q=24遇243=108。，AP=AQ,nJWzP/lr=~/.PAQ=54°,根据尸50.8,

22222cos540.59

即可求解；

（3）同（2）的方法，即可求解.

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【详解】（1）PAX+PA3=y/2PA2

如图2,在射线P&上截取&Q=P4,连接&Q，

图2

,•*Z.PA^A2+Z.P/13^2=180°,Z.QA2A2+44243P=180

Z/42^1

'又,:四边形力1/24344是正方形，

••1—^2^3)

，△QA3A2=△PAlA2,

.\Z.AIA2P=Z-A3A2Q^A2P=A2Q

又；四边形4&A3A4是正方形，

遇2人3=90°

：.Z.PA2Q=90°,

•••△A2PQ是等腰直角三角形，

:・PQ=PA3+A3Q=PA3+PAl=y[2PA2

故答案为：PA,+PA3=V2PA2.

(2)解：正五边形的一个内角为牝学”二108

如图4,在射线弘3上截取&Q=P4i，连接&Q，过点必作427，PQ于点T

同理可得^Q%%=△PA]A2,

LPA2Q—ZTlj/12^3=108°,A2P=A2Q

：.Z.PA2T=^PA2Q=54°

•・・P/41=11,PA3=49,

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，PQ=PA3+A3Q=PA3+PAX=60

：.PT=^PQ=30

・n/iPT30m

••PA=——«--®37.0;

2,sin5400.81

（3）如图，在射线尸43上截取&Q=P4,连接必。，过点力2作&T，PQ于点7

（10-2）x180°=144O

：.Z.PA2T=^PA2Q=72°

.PT30_

..PnA=—―«—«50A.8o

2“cos5400.59

，：PQ=PA3+A3Q=PA34-PAX

，PT=4PQ=XP4+P43）

PT3（「41+户力3）口门

・"&=赤=即P4+%=2P力2572。

故答案为:PA1+PA3=2PA2-sin72°.

考点2平行四里边形的性质

14.（2025・贵州•中考真题）如图，在仁L4BCD中，IB=3,BC=5,/ABC=60。,以A为圆心,AB长为半径作

A.5D.4C.3D.2

【答案】D

【分析1本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到A8=进而推出△A8E为等边三角形，得到

BE=AB=3,再根据线段的和差关系进行求解即可.

【详解】解：根据作图可知：AB=AEt

'：LABC=60°,

•••△4BE为等边三角形，

：.BE=AB=3,

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：,CE=BC-BE=5-3=2,

故选D.

15.（2025•贵州•中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个若41=70。,

则乙2的度数是（）

A.20°B.70°C.80°D.110°

【答案】B

【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果.

【详解】解:•:口ABCD,

：.AD||BC,

工42=Z1=70°；

故选B.

16.（2025•湖北•中考真题）如图，平行四边形力BCD的对•角线交点在原点.若力（-1,2）,则点C的坐标是（）

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四

边形的对称性可知点A与点C关于坐标原点。中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答

案.熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键.

【详解】解：•・•平行四边形4BCD的对角线交点在原点，

：.0A=OC,

•••点4与点。关于坐标原点。中心对称，

点A的坐标为力（-1,2）,

.♦.点C的坐标是（1,一2）,

故选：C.

17.（2025・河北•中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为儿若九为整数，则"的

值可以为.（写出一个即可）

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【答案】2（答案不唯一）

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出1<几<7,

进而写出一个整数解即可求解.

【详解】解：依题意，4-3<n<4+3

1<n<7,

,・力为整数,

,九可以是2,3,4,5,6

故答案为：2（答案不唯一）.

18.（2025・新疆•中考真题）如图，在口48。。中，上88的平分线交力8于点，若4。=2,则BE=

【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到力B||CD,4D=8C=2,

得到匕DCE=4CE8,角平分线的定义，得到乙DCE=Z8CE,进而得到乙8CE=乙班?。，进而得到BE=BC

即可.

【详解】解：■:口ABCD,AD=2,

：.AB||CD,AD=BC=2,

：.z.DCE=ACEB,

•・28CD的平分线交/B于点E,

:•乙DCE=LBCE,

:.乙BCE=LBEC,

：.BE=BC=2；

故答案为：2.

19.（2025•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，在口/WCO中，BC=2AB=8,连接47,分别以点4。为圆

心，大于的长为半径作弧，两弧交于点£F,作直线EF,交4。于点M,交BC于点N,若点N恰为BC

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【答案】4V3

【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明/3力。二90。是

关键.连接力N,证明△48N是等边三角形，MAN=CACN,得到=zB/lN+4CAN=90。，根据勾

股定理即可求出答案.

：.AN=CN,

丁点N恰为8C的中点，

：.BC=2BN=2CN,

*：BC=2AB=8,

：.BN=CN=AB=4,

：,BN=AN=AB=CN=4f

，△力8N是等边三角形，/.CAN=Z.ACN,

：.z.BAN=乙ABC=Z.ANB=60°,

■:乙CAN+乙ACN=乙ANB,

：,/.CAN=Z,ACN=-Z.ANB=30',

2

：.LBAC=乙BAN+乙CAN=90°,

：.AC=y/BC2-AB2=V82-42=473.

故答案为：4V3.

20.（2025•甘肃平凉•中考真题）如图，把平行四边形纸片48CD沿对角线力。折叠，点8落在点B处，BC^AD

相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若48=6cm,则4。=cm.

【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三用形的性质和30度角的直角三角形的性质等

知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；

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根据等边三角形的性质可得ND=^DCE="ED=60°,根据折叠的性质和平行四边形的性质可得NEAC=

△E&4,结合三角形的外角性质可得，E4C=NEC4=30。，进而得到，DC4=90。，再利用30度角的直角三

角形的性质即可得解.

【详解】解：•••△CDE为等边三角形，

=Z.DCE=Z.CED=60°,

•・,折叠,

・"B&4=Z-ECA,

••NBCD是平行四边形，

:・AB=CD=6,AD||BCt

：,z.EAC=Z.BCA,

：.^EAC=^ECA,

'：LEAC+Z.ECA=乙DEC=60°,

：.AEAC=Z-ECA=30°,

：,^.DCA=90°,

：.AD=2CD=12cm；

故答案为：12.

21.（2025•甘部中考真题）如图，把平行四边形纸片48CD沿对角线力。折叠，点8落在点B处，BC^AD

相交于点£,此时△<?/）£1恰为等边三角形.若A8=6cm,则力。=cm.

【答案】12

【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠得到NBS=

乙EG4,平行线的性质，得至।此区4。二4BC4,进而得至।叱64C=2EC4等边三角形的性质，结合三角形的

外角推出乙4CE=4a4E=30°,进而得到41co=90。，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到｛0=

2CD即可.

【详解】解：•・•折叠，

：.z.BCA="C4,

•・•平行四边形纸片4BCD,

•\AD||BC,CD=AB=6cm,

,,LEAC=z.FC/1,

：.LEAC=Z.ECA,

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•••△CED为等边三角形，

:“CED=Z-ECD=60°,

'：LEAC=Z.ECA,Z.CED=乙EAC+Z.ACE=60°,

：^ACE=/-CAE=30°,

：,z.ACD=Z.ACE+Z.DCE=90°,

:・AD=2CD=12cm；

故答案为：12

22.(2025•四川宜宾•中考真题)如图，点E是平行四边形力BCD边CD的中点，连接力E并延长交BC的延长线

于点凡AD=5.求证：△力DE三△尸CE,并求BF的长.

【答案】见解析，10

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到BC=

AD=5,BCIIAD,则由平行线的性质可得4ER7="4D,Z-ECF=4ED力，再证明CE=DE,即可利用AAS

证明△4DE三则可得到CF=4)=5,据此可得答案.

【详解】证明：•・,四边形ABC。是平行四边形，

：.BC=AD=5,BCIIAD,

：,z.EFC=Z-EAD,4ECF=4EDA,

丁点E是平行四边形A8CD边CD的中点，

：,CE=DE,

：.AADEMFCE(AAS),

：,CF=AD=5,

・・・BF=8C+CF=5+5=10.

考点3三角形的中位线

23.(2025•广东•中考真题)如图，点O,E.尸分别是△各边上的中点，Z-A=70°,贝此£7加=()

【答案】C

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【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到。E，。尸是AABC的中位线，得

到DEII力C,DFIIAB,然后根据平行线的性质求解即可.

【详解】•・,点。，E,F分别是△ABC各边上的中点，

・・・DE,D尸是△力BC的中位线

：.DEIIAC,DF||AB

:.乙DEB=^A=70°

VDFIIAB

：.^EDF=Z.DEB=70°.

故选：C.

24.（2025・河南・中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△48。的三个顶点均在网格线

的交点上，点。、E分别是边C4与网格线的交点，连接DE,则DE的长为（）

A.1B.1C.V2D.V3

【答案】B

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△ABC的中位线是解题关

键.取格点G、H,由网格的性质可知，EGWCH,得到嵋=*=；,*=?=；，进而证明是的中

ABAH2ACAH2

位线，即可求解.

【详解】解：如图，取格点G、H,

由网格的性质可知，EGWCH,

•.•AD_=AG_=2—_=1-,AE_=AG_=2—=一,

A3AH42ACAH42

•••。、E分别是4B、4c的中点,

DE是△48C的中位线，

:.DE=-BC=1,

2

故选：B.

25.（2025・山西•中考真题）如图，在平行四边形4BC。中，点。是对角线4c的中点，点E是边/D的中点，连

14/42

接0E.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（）

A.OE=\ADB.OE=\BC

22

C.OE=-ABD.OE=-AC

22

【答案】c

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得。E=进而

由平行四边形的性质得。石二^4丛即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：•・•点。是对角线47的中点，点E是边的中点，

・・・0E是△4CD的中位线，

：,OE=^CD,

;四边形48CD是平行四边形，

:.AB=CD,

：.OE=^AB,

故选：C.

26.（2025•黑龙江•中考真题）如图，在中，上8=90。，点。、E分别在边A6和8C上，且40=4,

CE=3,连接。E,点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN,则MN的长度为（）

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构

造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键.

过点C作CGII4D,连接DM并延长交CG于点G,连接EG,可证△GMCsADMA（ASA）,可得CG=AD=4,GM=

DM,再根据平行线的性质得NGCE=90。，即得GE=VCG2+CE2=5,最后根据三角形中位线的性质解答

即可求解，

【详解】解：如图，过点C作CGIIA。，连接OM并延长交CG于点G,连接EG,

15/42

A

：.z.GCM=/-A,

•・•点M是AC的中点，

：,CM=AM,

又・；4GMC=4DM4

•••△GMC三△DMA(ASA),

CG=AD=4,GM=DM,

,：CG\\AD,48=90。，

：.LGCE=180°-zC=90°,

VCE=3,

：.CE=y/CG2+CE2=V42+32=5,

•・・GM=DM,点N是DE的中点，

••・A/N是△DEG中位线，

・,.A/N=：GE="

22

故选：A.

27.(2025・青海•中考真题)如图，在菱形ABC。中，BD=6,E,"分别为力B,8C的中点，且EF=2,则菱

形HBCD的面积为.

【答案】12

【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由E，尸分别为4B,BC的中点，得EF=g4C=2,

所以4C=4,然后根据菱形力88的面积为;BOX”1即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键.

【详解】解：・・任，户分别为力从8c的中点，

：,EF=^AC=2,

2

工AC=4,

16/42

•・•四边形/BCD是菱形，

，菱形力8C。的面积为x/lC=1x6x4=12,

故答案为：12.

28.（2025•江苏扬州•中考真题）如图，在△ABC中，点。，E分别是边”，8C的中点，点/在线段DE的延长

线上，且4BR?=90。，若力C=4,BC=8,则。尸的长是.

【答案】6

【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的

中位线定理是解题关键.先根据三角形的中位线定理可得DE=；AC=2,再根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半可得Er=；BC=4,然后根据OF=DE+EF求解即可得.

【详解】解：•・・在△/BC中，点0,E分别是边BC的中点，AC=4,

：,DE=^AC=2,

2

=90°,BC=8,

・・・E尸=：8C=4,

2

:・DF=DE+EF=6,

故答案为：6.

29.（2025•湖南•中考真题）如图，在△ABC中，8c=6,点E是AC的中点，分别以点A,B为圆心，以大于“8

的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交力8于点D,连接DE,则DE的长是.

【答案】3

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得MN

垂直平分AB,则点。为48的中点,，据此可证明t是△ABC的中位线，则可得到。E=；8C=3.

【详解】解:由作图方法可得MN垂直平分力以

・••点。为48的中点,

又丁点E是/C的中点，

17/42

，DE是△48C的中位:线，

：.DE=-BC=-x6=3,

22

故答案为：3.

30.（2025•四川广安•中考真题）已知△4BC的面积是1.

（1）如图1，若。，E分别是边BC和4c的中点，4。与8E相交于点R则四边形CDFE的面积为.

⑵如图2,若M,N分别是边BC和AC上距离。点最近的6等分点，与BN相交于点G,则四边形CMGN

的面积为.

【答案】5H

【分析】（1）连接OE,可证明DE是△4BC的中位线，得到0EII48,DE=^AB,证明△COEsZkCBA,可

得鬻=偌）2=$则进而可得SMDLSMDE/证明〜凡得到笫=黑=5

则可得到泮'部贝达△的二、据此可得答案：

S&BDEBE312

（2）连接MN,证明△CMNCBA,得到等丝=（空丫=；，吧=器=工，乙CMN=Z.CBA,则可证明MN||

S^ABC\BCJ36ABDC6

AB,S&CMN=77；再证明:=等=5,得到SaBMN=77；证明△MNG-△ABG,得到翳==g,则;W=

Jb、4CMNCMSblibAbb、公BMN

器W则SMNG=言,据此可得答案.

【详解】解：（1）如图所示，连接DE,

,:D,E分别是边BC和4C的中点,

二•DE是△A8C的中位线，

：.DEIIAB,DE=\AB,

:.&CDE-△CBA,

2

.•—=（竺）2=（绡=L

18/42

•••△RBC的面积是1,

，S△3=［；

•・•。是8C的中点，

:・SdBDE=S4CDE=:；

*：DE||AB,

：・2DEFFABF,

・EFDEi

••———,

BFABAB2

：.BF=2EF,

：,BE=BF+EF=3EF,

.SMEF_竺_EF_1

S"BDEBE3EF3

:・S&DEF=*

‘S四边形CHE=S^DEF+SMDE=1+五=?

故答案为：:；

«5

（2）如图所示，连接MN,

图2

VA/,N分别是边BC和北上距离C点最近的6等分点，

・・・CM=；8C,CN=yAC,

66

•CMCN1

••-—~—9

CBCA6

又

.••△CMN〜ACBA,

：2=㈡丫=隹）、之"=生=挺J,"MN=

S△ABC\BCI36/15BCBC6

：.MNIIAB,

•••△ABC的面积是1,

•"△CMN=点

•・•"是BC靠近点C的六等分点，

・8M_

••1—o,

CM

19/42

•S&BMN_迫_5

SMMNCM

・c_5

••'△BMN=布:

,:MN||AB,

.••△MNG〜AABG,

.,.—NG=-M--N=1

BGAB6

:・BG=6NG,

:・BN=BG+NG=7NG,

•S&MNG___NG_1

•,SABMN~~BN~7NG~7f

四边形.GN=SdMNG+S^CMN=^X1+^=^+^=7T，

故答案为：弟

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形

是解题的关键.

考点4平行四边形的判定

31.(2025•北京•中考真题)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,4C的中点，DF1BC,垂足为尸，点G

在。£的延长线上，DG=FC.

A

⑴求证：四边形。尸CG是矩形；

(2)若48=45。,DF=3,DG=5,求BC和4c的长.

【答案】(1)见解析

(2)BC=8,AC=2^10

【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解

题的关键.

(1)由三角形中位线定理可得DEIICF,即DGIICF,则可证明四边形。尸CG是平行四边形，再由DF1BC,

即可证明平行四边形DFCG是矩形；

(2)求出CF=5,解Rt△BDF得到BD=3dLBF=3,则8c=B"+CF=8：由线段中点的定义可得力8=

2BD=6V2：过点力作AH18C于〃，解Rt△得到力，=6,BH=6,则CH=BC-BH=2,再利用

勾股定即可求出47的长.

20/42

【详解】(1)证明：LQ,E分别为48,4C的中点,

是△ABC的中位线，

：.DEIICF,即DGIICF,

*：DG=FC,

・•・四边形OFCG是平行四边形，

又〈DF上BC,

・•・平行四边形DFCG是矩形：

(2)解:*：DG=5,

：.CF=DG=5；

•：DFIBC,

:.乙DFB=90°,

在RtZ^8。尸中，Z-B=45°,OF=3,

•历念=焉=3心BF=^==3,

tan45°

：.BC=BF+CF=8：

•・•点。为4B的中点,

：.AB=2BD=6V2；

如图所示，过点4作_L8C于〃,

A

在Rt△48H中，AH=AB-sinB=6a♦sin45°=6,BH=AB,cosB=6企•cos450=6,

：.CH=BC-BH=2,

在RtAAUC中，山勾股定理.得PC-=x<4,2+=7母十2?=2VIU.

32.(2025•青海•中考真题)如图，在△力8c中，点O,。分别是边力从8C的中点，过点力作AEII8C交。0

的延长线于点巴连接AD,BE.

BDC

21/42

(1)求证：四边形AE8D是平行四边形：

⑵若HB=/C,试判断四边形AEBD的形状，并证明.

【答案】(1)见解析

⑵当48=AC时，四边形AE8D是矩形，理由见解析

【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质：

(1)先证明△力£。三△BDO(AAS),可得AE=BD,结合力EII8D可得结论；

(2)由4B=4C,点。是BC边上的中点，可得4D18C即乙4OB=90。，结合由(1)得四边形4EBD是平行

四边形，从而可得结论.

【详解】(1)证明：•・•点。为力B的中点

：.0A=0B,

'：AE\\BC

:•乙EAO=LOBD,4AEO=4BD。,

在△4E。和△80。中

(Z.EAO=Z.OBD

\z-AEO=乙BDO

(0A=0B

：.AAEOBOO(AAS),

：,AE=BD

VAEWBD

；・四边形AEBO是平行四边形；

(2)证明：当48=4。时,四边形止EBD是矩形,

理由如下：

•・•AB=AC,点。是BC边上的中点，

:.AD1BC^LADB=90°,

V由(1)得四边形4ER0是平行四边形，

・•・四边形AE8。是矩形.

33.(2025・湖南长沙•中考真题)如图，正方形力BCD中，点、E,尸分别在力8,CO上，RBE=DF.

⑴求证：四边形AEC尸是平行四边形；

(2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.

【答案】(1)见解析

(2)2737

22/42

【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识

点.

（1）根据四边形A8C0是正方形，得出718||C。且48=CO.结合BE=0凡得出力E=CF.垢合4E||C凡

即可证明四边形力ECF是平行四边形.

（2）过点E作EH1CD于点H.根据四边形力BCD是正方形，BC=12,得

出CD=BC=12,Zi?=（BCD=90°.结合乙EHC=90°,证出四边形E8CH是矩形.得出矶？=HC=5,EH=

BC=12.结合。尸=BE=5,得出H尸=2.在Rt^E”F中，由勾股定理求出EF.

【详解】（1）证明：•・•四边形48CC是正方形，

:,AB||CO且力B=CD.

又•.BE=DF,

AB-BE=CD-DF.

•••AE=CF.

乂•；AE\\CF.

二四边形是平行四边形.

（2）解：过点E作EHICC于点儿

;四边形是正方形，BC=12,

CD=BC=12,=乙BCD=90°.

又•；LEHC=90°,

・•・四边形EBC”是矩形.

EB=HC=5,EH=BC=12.

又••DF=BE=S,

：.HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.

在Rt△EHF中，由勾股定理得£F=>/EH2+FH2=V1224-22=V148=2>/37.

考点5平行四边形的性质与判定

34.（2025•安徽•中考真题）在如图所示的口/BCD中，E,G分别为边的中点，点F,H分别在边力B,

。。上移动（不与端点重合），且满足/F=CH,则下列为定值的是（）

23/42

DHC

A.四边形的周长B.的大小

C.四边形EFGH的面积D.线段尸〃的长

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全

等三角形转化面积关系，是解题的关键.利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形£TGH

各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断.

【详解】解：连接EG,

在CM8CD中，E,G分别为40,中点，

vAD||BCRAD=BC,AE=^-AD,BG=gBC,

•••AE||BG^AE=BG,

・•・四边形A8GE是平行四边形，

•••AD||EG,

同理EGIICD,且EG=AB=CD.

・•・四边形。CGE是平行四边形，

则aGEF与△GEH的面积分别为UMBGE与口EGCD面积的一半，

四边形EFG”的面积=S4GEF+S4GEH，

•••四边形EFGH的面积始终为口48CD面积的一半，是定值.

选项A：EF、FG等边长随F、，移动变化，周长不定，错误.

选项B：ZEFG随F位置改变，错误.

选项D：FH长度随人”移动改变，错误.

综上，四边形EFGH的面积是定值，

故选：C.

35.（2025•广东•中考真题）如图，CD是RtZkABC斜边48上的中线,过点4C分别作力EIIDC,CEWAB,AE

与CE相交于点瓦现有以下命题：

命题1：若连接BE交C小于点F,则SMFB=

24/42

命题2：若连接ED,MFD1AC.

命题3：若连接ED,MED=BC.

任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例.

【答案】命题1是真命题，证明见解析；命题2是真命题，证明见解析：命题3是真命题，证明见解析

【分析】命题1：连接DE,交4c于。，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到CD=DA=

DBfB,判定四边形40CE是平行四边形，进而得到四边形/1DCE是菱形，再由中位线的判定与性质得到

0D=\BC,最后利用三角形面积公式求解即可得证；

命题2：连接DE,交AC于0,如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到CD=ZM=DB=

^AB,判定四边形力0CE是平行四边形，进而得到四边形4DCE是菱形即可得证；

命题3：连接0E,交4C于0,如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到CO=04=08=

判定四边形力DCE是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形BCEO是平行四边形即可

得证.

【详解】解：命题1：若连接BE交C4于点巴贝IJSACF8=254七尸

命题1是真命题，证明如下：

连接交AC于0,如图所示：

二CD=DA=DB=-AB,

2

VAE||DC,CE\\ABf

四边形AOCE•是平行四边形，

vDA=DC,

•••四边形力。”是菱形，

AC1DE,且。4=0C,OE=OD,

•••D为48的中点，

D。是△48C的中位线，则0D=g8C,

S&CFB=.BC,S.CEF=•0E,则S^CFB=2s△〃?；

25/42

命题2：若连接ED,MFD1AC.

命题2是真命题，证明如下：

连接。E,交力。于0,如图所示：

CD=DA=DB=-AB,

2

•••AEIIDC,CEWAB,

••・四边形力。以"是平行四边形,

vDA=DC,

•••四边形MCE是菱形，

•••AC1DE；

命题3：若连接ED,贝l」ED=8C.

命题3是真命题，证明如下：

连接DE,交力C于。，如图所示：

CD=DA=DB=-AB,

2

•••AEIIDC,CEWAB,

四边形ADCE是平行四边形，

:.CE=AD,

:.CE=DB,

•••CEWAB,

••・四边形8CED是平行四边形，

:.ED-BC.

【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直知三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行

四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟记平

行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.

36.（2025•江苏苏州•中考真题）如图，C是线段4B的中点,^A=AECB,CD||BE.

26.42

DE

⑴求证：ADAC三AECB；

⑵连接若AB=16,求DE的长.

【答案】⑴详见解析

(2)8

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，

是解题的关键：

(1)中点得到AC=BC,平行线的性质，得到乙4CD=NB,利用ASA证明△EMC三△ECB即可；

(2)根据△fMCw^ECB,得到CD=BE,进而得到四边形C8ED为平行四边形，进而得到DE=8C,即可

得出结果.

【详解】(1)证明：:C是线段的中点，

AC=CB=-AB.

2

VCDIIBE,

:.Z.DCA=乙B.

在aD4c和aECB中，

Z.A=乙ECB,

AC=CB,

Z.DCA=乙B,

.*.△DACECB(ASA).

(2)vAB=16,C是线段48的中点，

•••BC=^AB=8.

2

vADACECB,

:.CD—BE.

又•••