第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（含热考模型）知识清单（挖空版）

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明（含热考模型）

思维导图

有关的线段

三

角

形

中

的

边

角

定义相邻两边组成的角

关内角

系内角和等于180。

、一边

命—有关的角-定义-------十[组成的角

题------另一边的延长线।

外角

与

性质外角=不相邻的两个内角之和

证

明

定义判断T牛事的语句

3

分类

命题与证明

证明

定理真命题继续推理的依据

知识清单

1.认识三角形

三角形的定义：由__________上的三条线段所组成的图形叫做三角形.

概念示例图示

顶点三角形两边的__________叫做三角形

的顶点.

边组成三角形的三条__________称为三

4'a'

角形的三条边.

内角在三角形中，每两条边所组成的a

__________叫做三角形的内角.

三角形的表示：用符号“_________”表示，顶点是:A、B、C的三角形记作“__________"，读作“__________”，

字母的顺序可以自由安排，即AABC,△ACB等均方勺_____三用形.

2.三角形的分类

.三边都—的三角形

。[底边和腰_______的等腰三角形

1）三角形__________分类：三角形'等腰三角,

乡《

[_________三角形

，________三1的形

'_______三角形

2）三角形__________分类：三角形‘斜三角形•

._______三角形

3.三角形的三边关系：任意_______—《第三边«壬意__________.（理论依据：__________）

4.三角形的高、中线、角平分线

三角形的高三角形的中线三角形的角平分线

从三角形的一个顶点向它的对三角形一个内角的平分线与它的对

三角形中，连接•个顶点和它对边

定义边所在的直线作__________,顶边相交，这个角的顶点与交点之间的

__________的线段.

点和垂足之间的线段.线段.

A

图示

B/

L)DD

作法过点A作ADJ_BC于点D.取BC边的中点D,连接AD.作NBAC的平分线AD,交BC于点D.

性质VAD是AABC中BC边的高VAD是AABC中BC边的中线VAI）是AABC中NBAC的角平分线

•••—，==-ZBAC

:.________=________=90°2

1

_______=_______=-^cAABC

2

5.三角形的内角和定理

定理：三角形三个内角和等于.

表达形式；在△ABC中，=180°

证明方法：

图示

B

/A\A\//A\

A/\

ABCKABcBXBC

方法

6.直角三角形的性质与判定

1）性质：直角三角形的两个.

2）写法：直角三角形可以用符号“_________”表示，直角三角形ABC可以写成.

3）判定：①文字表述：有两个角的三角形是直角三角形.

②几何表述：在AABC中，如果=90。，那么aABC是直角三角形.

7.三角形的外角

三角形外角的定义：三角形的与组成的角，叫做三角形的外角.A

图中的NACD为AABC的一个外角.

BCD

三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的；,

2）三角形的一个外角_________任何一个和它不相邻的内角.

三角形的外角和定理：三角形的外角和为_________.

点。为NA内部的一点

定义：_________的语句，叫做命题.

组成：命题是由_________和两部分组成，题设是,结论是.

表达形式：可以写成“”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

10.真命题、假命题

内容举例注意

真命如果题设_________,那么结论说明一个命题是真命题，需从已知出发，经过

题_________的命题，叫做真命题一步步推理，最后得出正确结论

假命命题中题设_________时，不能保判定一个命题是假命题，只要举出一个例子

题证结论一定成立的命题，叫做假命（反例），使它符合命题的题设，但不满足结论

题即可

【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，

但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事

物是“对顶角”，对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物

进行任何判断.

11.逆命题

逆命题：把原命题的________作为命题的题设，把原命题的_________作为命题的结论，所组成的命题叫

做原命题的逆命题.

互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的_________是第二个命题的__________,而第一个命题的

是第二个命题的________,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，

那么另一个命题就叫做它的逆命题.

易错辨析

序号易错点易错题注意事项

1利用三角形的三边关系时，忽略三角形1-3已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长

构成的条件度的范围：|a-b|VcVa+b

2利用分类讨论思想求等腰三角形边/角4-61）已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底

分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要

满足三角形的三边关系.

2）已知等腰三角形周长和一-条边的长，需分情

况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还

要满足三角形的三边关系.

3）已知等腰三角形一个角求另外两个角，需要

进行讨论.

3直角三角形问题中忽略直角的条件7-9直角三角形的两个锐角互余.

4与三角形的有关角度计算中，没有充分10-121）三角形的内角和为180°；

利用内角和和外角的性质而出错2）直角三角形中两锐角和为90°；

3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内

角的和.

1.有4根长度分别为2r/〃，3cm,4cm,6a〃的木棒，从中任意取3根，则这3根木棒恰好能首尾相接构

成三角形的周长是.

2.已知三角形的三边分别为2,«4,则占的整数值可能是.（填一种即可）

3.已知VAAC的三边长分别为3,5,明化简|以-9|十卜一2|=.

4.已知一个等腰三角形的一边长为4.

（1）若另一边长为5,则该等腰三角形的周长是；

（2）若另一边长为2,则该等腰三角形的周长为；

（3）若周长为9,则该等腰三角形的另两边长分别是.

5.已知A4C是等腰三角形.

（1）如果它的两条边的长分别为8cm和3cm,那么它的周长是cm；

（2）如果它的周长为18cm,一条边的长为4cm,那么它的腰长是cm.

6.等腰三角形48c中，ZA=40°,则N8的度数为.

7.已知V43c是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（）

A.1:1:1B.1：2：3C.2：3：4D.1：2：2

8.如图是两个直角三角形，则Na的度数是.

9.已知点少为中A8边上一点，连接CE,4=10。，4=50°,当，ACE为直角三角形时，则NACE

的度数是.

NBCE=900_/B=90。-50。=40。।°・如图・在7ABe中,点,9和点少分别是AC和AC卜一点,ZB=ZC.

AB=CD,BD=CE.若NAQK=42。，则N84C=

A

BD

11.如图，A3和C。相交于点0,ZC=ZCOA,NBDC=NBOD,”，。。分别平分/C40和N8QC,

若NC+/尸+NB=144。，则NC=

12.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50。，则该等腰三角形的顶角度数为

重难突破

重难点01三角形三边关系的应用

1.（24-25八年级上•安徽合肥•期末）若a,b,c是三角形的三边长，化简|。+沙-。|-|。-方.

2.（24-25八年级上•安徽淮南♦期末）先化简，再求值：/V-1*其中x与2,3构

成VA4C的三边，且工为整数.

3.（23-24八年级上•安徽芜湖•期中）已知。八c是VABC的三边长.

（1）若°ec满足（a-b）S-c）=0,试判断VABC的形状:

⑵化简：I+I+1.

4.（24-25八年级上•安徽蚌埠•阶段练习）已知。，b,c分别为VA8C的三边，且满足。+〃=女-2,

a-b=2c-6,求c的取值范围.

5.（23-24八年级上•安徽合肥•单元测试）在VA3c中，AB=7,BC=2.

（1）求AC长度的取值范围；

（2）若V4BC的周长为偶数，求VABC的周长，并判断此时VABC的形状.

重难点02利用三角形三边关系比较线段大小

6.（21-22八年级上•安徽六安•期中）在V人笈C中，AB>AC,AO是VAAC的角平分线，请比较A4—AC

与BD-ZX：的大小，并说明理由.

7.（20-21八年级上•安徽马鞍山•期中）如图，VABC中，E、尸分别在AB、4c上，DELDF,Q是

中点，试比较8E+b与EF的大小.

A

8.（23-24八年级上•全国•课堂例题）如图所示，AQ是VABC的内角平分线，P是A。上异于点A的任

意一点，试比较PC-PB与AC-A8的大小，并说明理由.

9.（2023八年级上•全国•专题练习）如图，点A、8在直线加的同侧，点B'是点8关于加的对称点，A*

交阳于点尸.

（1）4犷与4P+QB相等吗？为什么？

（2）在〃?上再取一点N,并连接AN与N8,比较AN+N6与AP+P8的大小，并说明理由.

10.（23-24八年级上•全国•课后作业）如图，点尸是VA4c的外角ND4C的平分线上的一点，你能比较

PB+PC与A8+AC的大小吗？说说你的理由.

重难点03画三角形的高、中线、角平分线

11.（24-25八年级上•安徽安庆•期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1,VA8C的三个顶

点都在格点上.

（1）画出A/3边上的高C。和中线CE；

⑵画出4c边上的高跖，并直接写出肝的长（提示：AC的长等于5）.

12.（24-25八年级上-安徽淮北-阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，NABC

的三个顶点都在格点上.

（1）画出AC边上的中线8D,并标出。的位置；

（2）画出8c边上的高线AE,并标出E的位置；

（3）VA3c的面积是

13.（24-25八年级上•安徽合肥•阶段练习）如图，已知VA4c.

（1）画中线AO.

⑵画△A3。的高屏;及ACD的高

⑶比较大小：BECF.（填“>”“二”或“<”）

重难点04利用等面积法求边长

14.（24-25八年级上•安徽淮北・期中）已知VA3C,AO是4c边上的中线，且AC=4,若△AB。的边A8

上的高为2,力C7）的边4c上的岛•为4,求A3的长.

15.（24-25八年级上•安徽滁州・期中）如图，晅和C力是V4BC的两条面线且相交于点0.

（1）已知44=65。，求N8OC的度数:

⑵若AB=12,AC=1(),求——的值.

BE

16.(23-24七年级下•陕西汉中•期末)如图，AO为VA3c的角平分线，于点E,DFJ.AC于

点、F,连接石尸交人。于点G.若A8=12,AC=8,8c=60,求OF的长.

17.(23-24八年级上•浙江绍兴•阶段练习)数学中常常利用面枳相等来证明其他的线段相等，这种方法

被称为“面积法”.已知等边VA8C,点P是平面上任意一点，设点/,到VA8C边A3、AC边的距离分别

为PD、PE,VA4c的4c边上的高为AW.回答以下问题：

⑴如图(1),若点P在三角形的8c边上，PD、PE、/U7存在怎样的数量关系？请给出证明过程.

(2)如图(2),当点夕在VA8C内，已知40=10,求PD+PE+尸产的值.

(3)如图(3),当点。在VA3C外，请直接写出AM与刊，PF、尸E的数量关系，不用证明.

重难点05利用三角形的中线求长度/面积

18.(24-25八年级上•安徽六安•期中)在VA3C中，BC=10,AB=2.

(1)若AC是偶数，求AC的长；

(2)已知8。是VA3c的中线，若△A8O的周长为13,求△3CQ的周长.

19.(24-25八年级上•安徽安庆,期中)如图，AO是VABC的中线，CE是MC力的中线.

(1)求证：ZAEC>ZB；

（2）若S*E=3cm，求VABC的面积.

20.（24-25八年级上-安徽淮北•期末）如图，直线［：y=x+5交x轴，y轴于48两点，直线/?：y=-1x-l

交*轴，y轴于G〃两点，直线第6相交于点发

（1）点月的坐标为；

⑵直线4，4与x轴围成的三角形面积为;

（3）过点£'的直线把V/比比面积两等分，求这条直线的表达式.

21.（24-25八年级上-安徽合肥•期中）如图，在VA8C中，跖是角平分线，点。在边AA上（不与点A,

8鱼合），连接CD交于点。.

（1）若C。是中线，8c=3,AC=2,求△8C。与,SCO的周长差;

⑵若CO是高，ZA8C=64。，求N8OC的度数.

重难点06求网格中的三角形面积

22.（24-25八年级上・安徽宿州・期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2,2）,8（2,0）,C（3,3）,P（叫

是VABC的边4c上的一点，VA8C经过平移后得到QEV,A,B,C的对应点分别为。，E,F.点、P

的对应点为尸（。-2/-4）.

.

(1)写出。，E,尸三点的坐标；

(2)在图中画出AEF；

(3)./)印的面积为____.

23.(24-25八年级上•安徽滁州•期中)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平

⑵过点/H乍VA3C的高线AO,则点〃的坐标为；

(3)将VA3c先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到用G，画出用G.

24.(24-25八年级上-安徽蚌埠-期末)在平面直角坐标系中，VA4c三个顶点的坐标分别为A(l,2),

3(3,0),C(6,3).

⑴画出V/WC关于)，轴对称的△A/G，△A/Gc的面积是

⑵在(1)的条件下，己知点-24+3),直线〃4轴，则点尸的坐标为—

25.(2024八年级上•安徽•专题练习)如图，在平面直角坐标系中，4-1,5),8(-1,0),C(-4,3).

⑴求出VA8c的面桃

⑵画出YABC关于y轴的对称图形△ABC；

⑶在x轴上找一点使点P到A、C两点的距离之和最小（保留作图痕迹）.

重难点07三角形高、中线、角平分线综合

26.（23-24八年级上•山西长治•期中）如图，AD,质分别是VA8C的中线和高，8E是ZsAB。的角平

分线

求NBA/的度数.

（2）若AB=8,4C=6,求中线AO长的取值范围.

27.（22-23八年级上•安徽合肥•期中）如图，ARAE,”分别是VABC的高线、角平分线和中线.

②N84E=NC4E；③工.尸=^5小阳；④2C与NCAO互余.其中正确的

是（填序号）.

（2）若/8=30。,/£>4£=16。，求NC的度数.

28.（21-22八年级上•安徽合肥•期末）如图，AD、AE、力夕分别是-1砥的高线、角平分线和中线.

BFED

⑴若「*=20,C六4,求力。的长.

（2）若N070°,/斤26°,求/优彷的度数.

29.（24-25八年级上-山西吕梁-阶段练习）如图，A。和斯分别是VA8C的高和角平分线，AE是边8C

的中线.

⑴若“8后的面积为6,则VA4C的面积为_________.

（2）若NC=70。，求ND4C的度数.

⑶在（2）的条件下，若/即C=6O°,求NAU4的度数.

重难点08利用分类讨论思想探讨等腰三角形的边/角

30.（23-24八年级上•安徽马鞍山•期中）已知等腰ABC,解答以下问题：

（1）若有一个内角为50。，求这个等腰三角形另外两个角的度数；

⑵若其周长为35cm,一边长是另一条边的3倍，求三角形的三条边长.

31.（21-22八年级上•安徽合肥•期中）己知等腰VA8C,解答以下问题：

（1）若有一个内角为40。，求这个等腰三角形另外两个角的度数；

（2）若等腰三角形的周长为27,两条边长分别是日和2々+1,求三边的长.

32.（22-23八年级上-安徽六安,期末）一个等腰三角形的周长是20cm,其中一边长为6cm,求另外两边

的长

33.（22-23八年级上•安徽•期末）在等腰V48c中，A8=8,BC=2m+2,AC=20,求。的值.

34.（22-23八年级上-安徽滁州-期中）（1）已知等腰VA3C的周长是32,且腰长比底边长的2倍少4,

求等腰VA8C的三边的长；

（2）已知/4,NB,—C是的三个内角，且NC—NA=7O。，N4—3NA=10。，求VA4c三个内角

的度数.

重难点09与角平分线/平行线有关的三角形内角和问题

35.（20-21八年级上•安徽亳州•期中）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE〃BC,ZADE=52°

ZC=68°,求NABE的度数.

36.（22-23七年级下•江苏苏州•阶段练习）如图，在VA4c中，点。在A8上，过点。作。后〃4C,交

人C于点E,。0平分NADE,交NACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,ZACE的平分线CQ与。产

⑵若4=50。，当的度数发生变化时，NDPC、/Q的度数是否发生变化？并说明理由；

（3）若APCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的NA的度数.

37.（24-25八年级上•湖北荆州•期中）如图，在VA6c中，A8=AC,Z/WC的角平分线交AC于点。,

过点A作A石〃3c交80的延长线于点E.

（1）若NE=38。,求NR4C的度数;

⑵若厂是OE上的一点，且BD=E尸,求证：AD=AF.

38.（24-25八年级上-天津•期中）如图，在四边形A8C。中，4。〃8cAE是/D4A的平分线，BG工AE,

垂足为点尸.

E

D

G

(1)求证：BG平分/ABE；

(2)若NQCB=94o,ND44=60。，求N4GC的度数.

重难点10与三角形有关的折叠问题

39.(20-21八年级上•安徽合肥•阶段练习)现有一张VA3c纸片，点。、E分别是VA6Cii上两点，若

沿直线OE折叠.

(1)如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则N1与/A的数量关系是—.

⑵如果折成图②的形状，猜想N1+N2与NA的数量关系是；

⑶如果折成图③的形状，猜想Nl、N2和NA的数量关系，并说明理由.

40.(23-24八年级上•安徽淮北•期末)如图，在中，将A4CB沿直线A4N折叠，使点C与点笈重

合，连接BM.

⑴若的周长为26,AB=\O,求AC的长.

⑵若4=75。，ZC=45°,求ZA8W的度数.

41.(23-24八年级上•安徽蚌埠•期中)在VABC中，NBAC=9O。，点。是边BC上一点，将△4B。沿A。

翻折后得到△AEO,边AE交BC于点F.若NC-NB=5O。，NBAD=f(0<x<45).

8

E

(1)求的度数；

(2)若」)中有两个角相等，求x的值.

42.(2023八年级下-浙江・专题练习)

(1)如图1,设NA=x,则Nl+N2=；

(2)把三角形纸片A3C顶角力沿OE折叠，点力落到点4处，记247)8为Nl,N/VEC为N2.

①如图2,Nl,N2与的数量关系是一；

②如图3,请你写出Nl,N2与/4的数量关系，并说明理由.

(3)如图4,把一个三角形纸片人EC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中

N”N2+N3+N4+Z5+N6=

43.(24-25八年级上•安徽合肥•期中)如图，点回〃分别在VA6c边A8和AC上，连接E尸，将VA3c

沿着直线石尸折叠，使得点力与点A'重合，连接4'8,A'C,A8平分一人BC,AC平分N/ICB.

(1)若44=50。，求/6AC的度数：

⑵若N/V殖+N4/C=H,N8AC=y。，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

重难点11与角平分线/平行线有关的三角形外角问题

44.(24-25八年级上•河北保定•期中)在V48C中，ZA=80°,比平分NABC,点，在射线班•上，连

接CP,点。在3C的延长线上.

备用图

(1)如图，ZACD=14()°.

①若CP〃八B,分别求N/WC和/BPC的度数；

②若直线CQ与VABC的一条边垂直，求ZAC尸的度数；

⑵若CP平分乙48,请章毯写出/3PC的度数.

45.(24-25八年级上-安徽安庆・期中)如图，点。，F,〃，后都在VA8C的边上，ZC=Z3,Zl+Z2=180°.

(2)若N1=N3,求证：4BHF=2X5.

46.(24-25八年级上•安徽六安•阶段练习)如图，在VAAC中，AQ是4c边上的高，称'是2A3c的平

分线，若NFBC=35,ZBFA=70.

⑴求—4A。和NC4。的度数;

⑵线段8C上是否存在一点P,使△QC为直角三角形，若存在，求出的度数；若不存在，请说明

理由.

47.（22-23七年级下•浙江金华•期末）如图，点£在8C的延长线上，连接DE,作NC。的角平分线分

别交线段40,0c于点月点£已知A4〃C。，AD//BC.

不DCL

⑴试说明ZBED=2ZDFE；

⑵若N8=105。，NDFE=28°,求NCOE的度数.

重难点12三角形内角与外角综合问题

48.（24-25八年级上•安徽合肥•期中）如图，在△A8。中，8是DC边上一点、,2N1=N2,Z3=4Z4,

ZZMC=110°,求N1和2DAB的度数.

49.（24-25八年级上•安徽宣城•期中）如图，AO平分N84C,NE4£>=NEOA.

（1）求证：ZE4C=ZB；

（2）若N3=45o,NC4/）:NE=2:5,求NE的度数.

50.（24-25八年级上•安徽合肥•期末）如图，在VA8C中，ZBAC=6ZB,48=40",点£在8c延长

线上，CO平分/ACE交R4延长线于点〃，求上。的度数.

D

51.（22-23八年级上•安徽滁州•阶段练习）如图，在V4BC中，AD平分NBAC交BC于点,D,郎平分

/ABC交AD于点E.

（1）若NC=52。,NB4C=68。，求的度数；

⑵若/BED=57。,求/C的度数.

重难点13与三角形有关的热考模型

52.（24-25八年级上•安徽淮北•期中）（1）问题引入：如图①，在V48C中，。是NABC和NACB的平

分线的交点，若NA=70。，则N30C=_______；如佟1②，«BO=-NABC,/BCO=-/ACB,ZA=a,

33

则/AOC=________（用含夕的式子表示）

A

图①图②

（2）如图③，NCBO=L/DBC,NBCO=L/ECB,

4=a,请猜想=________（用含a的式子

33

表示），并说明理由.

f

D/O'E

图③

NECB的n等分线，它们交于点0,/CBO='/DBC,

（3）类比研究：80,CO分别是VABC的外角NDBC,

n

NBCO’NECB,ZA=a,请猜想NBOC=_

n

53.（24-25八年级上•安徽淮北•期中）计算：如图1,已知ZA=45。，NDBC=85。,求NECA的度数.

归纳：/DBC与NEC8分别为VABC的两个外角，-4与NQ^+NECB之间的数量关系为

___________________，并给予证明.

应用：如图2,在VA3C纸片中剪去△CEO,得到四边形ABDE.若N2=125°，则Z1-ZC=.

拓展：如图3,在四边形人46中，BP,CQ分别平分外角NEBC,/FCB,设NA+N7）=a（0°＜。＜360。）

①试说明，了与。的数量关系:

②根据。值的情况，请直接判断8PC的形状（按角分类）.

54.（24-25八年级上•江西南昌•阶段练习）【模型理解】（1）如图1,A8和CO交于点。，求证:

AE,CE分别平分NBA。，NBCD,求证：ZB+Z£）=2ZE.

图2

55.（24-25八年级上•山东青岛•期末）【建立模型】如图1,在NA内部有一点P,连接6。、CP,求证:

ZP=Z1+ZA+Z2：

【尝试应用】如图2,利用上面的结论，直接写出五角星中，NA+N8+NC+NO+NE=度;

【拓展创新】如图3,将五角星戳去一个角后多出一个角，求/A+N8+NC+ND+NE+NG的度数.

【提升思维】如图4,将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和

Z4+NN+NC+N£>+NE+N产+NG++N/+Z7的度数是度.

56.（2024八年级上•全国•专题练习）阅读材料，问答下列问题:

【材料提出】

“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.

【探索研究】

探索一：如图1,在八字型中，探索NA、NB、«、/£>之间的数量关系为

探索二：如图2,若NB=36。，Z£>=14°,求/。的度数为:

探索三：如图3,CP