第22章 相似形（高效培优单元测试·提升卷）解析版

第22章相似形单元测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

若急=焉"则&的值为（）

A.1B.±1C.1或-2D.2

【答案】C

【详解】解：0-——=------=——；=k,

b+ca+ca+b

.2a+2b2c

当〃+b+c¥0时,k=---------------

b+c+a+c+a+b

节4+/?+。=()时，则〃+c=-a.

2〃2a

k=----=—=-2,

b+c-a

综上所述，%的值为1或-2.

故选:C

2.如图，直线a〃〃〃c,直线AC交a、b、c分别于点A、B、C,直线。尸交。、b、c分别于点。，E,F,

则下列等式一定成立的是（）

ABADACDFABBEABDE

----=-----B.-----=-----C.-----=-----D.

BCBEBCEFACCF~EF~~BC

【答案】B

【详解】解：团直线a〃O〃c,

ARr）p

团A、芸=£f，原选项不符合题意;

BCEF

B、%号,原选项符合题意；

BCEF

An

C、—=—＞原选项不符合题意；

ACDF

D、空=黑,原选项不符合题息：

故选：B.

3.校园里一片小小的树叶，也蕴含着"黄金分割如图，点尸为A8的黄金分割点(AQ>8P),如果A8的

长度为10cm,那么AP的长度为1)

A.(75-ijcmB.(2逐一2kmC.(5后一5)cmD.(10>/5-lojcm

【答案】C

【详解】解：命为AB的黄金分割点(AP>8P),AB=10cm,

团AP=^^A8=^^xlO=06-5)cm,

故选:C.

AQ

4.在V人BC中，D,E分别为边A8,AC上的点，DE〃BC、若匕=g,AC=S,则AE=()

DB2

A.4B.4.2C.5.2D.4.8

【答案】D

【详解】解：如图，

^DE//BC,

「AEAD

0—=—,

ACAB

AE3

0——=-,

85

团AE=4.8,

故选:D.

5.D,E为VA8C边A8,AC上的两点，DE〃BC,—则VADE与△88的面积之比为（）

L）B2

A.1：6B.1：4C.2：3；D.1:3

【答案】A

【详解】解:崂=；,

AD1

..—=-.

AB3

♦;DE〃BC,

.-.△ABC^AADE.

S,nF(ADDE_AD\

SAM<AB

AADC、

.S&ADE=1S通8=3

S四边形DBCE8S.服

V1

■・•4AADE~~__

S&BCD6

故选:A.

6.如图，在正方形网格图中，VA4C与是位似图形，则位似中心是（）

【答案】D

【详解】解：如图：连接AA,CC,易得交点为“，即位似中心是点M.

A'

故选：D.

7.如图，根据图中给出的数据，一定能得到()

A.仄EDB.^ABE^ACB

C.aABCsAEDCJD.△AED^ACBA

【答案】c

【详解】解：•••8E=4，CE=6,CD=5,AD=7,

AC=AD+CD=12,BC=BE+CE=iO,

BC10c4cl2c

,/—=——=2,——=——=2,

CD5CE6

.BCAC

•.----=-----,

CDCE

•・•ZACB=ZECD,

^ABCs^EDC.

故选：C.

8.如图，在等腰三角形A8c中，AB=AC=4,N8=30。，P是8c上的动点，连接AP,以AP为斜边在

右侧作RhA尸E,且点七在”下方，Z4EP=90°,ZAPE=3()c,。为AB的中点，连接OE,则AE+OE

C.2x/3D.1+73

【答案】C

【详解】解：作AG_L3c于点G.连接GE.

^AB=AC=4,ZB=30°,

团AG=-AB=2，BG=V42-22=2\/3，

团8c=28G=4G，

0ZAEP=9O°.Z4PE=30°,

2

AEAG1

li-----------——,

APAB2

团？APE30?,

团NE4E=NBAG=600,

团NG4E=NBAP=60。-NE4G,

0Z^GAE^Z^BAP,

团N4GE=NB=30°,

团点七在射线GE上，延长G上交AC•于点N,作点A关于直线G上的对称点〃，连接上“，DH,

0Z4GF=3OO,ZGAC=60°.

回«&4=90°,

团点H在AC上，

⑦AE=EH,FH=AF=-AG=\,

2

此时点”是4c的中点，

0。£+EH>DH,

回当点。、E、〃共线时，AE+OE=£H+OE有最小值，最小值为。〃的长，

团。为A8的中点，点”是AC的«点,

团。”是VA8C的中位线，

0D/7=-BC=2x/3,

2

0AE+DE的最4、值为2&,

故选：C.

9.如图，四边形A8C。中，AB1BC,DC工BC,E是BC上的动点（不与点反。重合），AE±EI）,随

着点E的运动，CO的长度也随之变化，已知AB=3,BC=4,设BE=x,CD=yf则>关于工的函数图象

大致是（）

A

D

BEC

【详解】解：0AB1BC,DCIBC,AE±ED,

0Zfi=ZC=ZA£Z)=9O°,

图/4£B+NZ)EC=90。，

在RlAABE中，N8A£+ZA£8=90。，

回ZBAE=XDEC,

团△ABEFECZ),

ABBE

----=-----，

ECCD

团Aff=3,BC=4,设BE=x,

^\EC=BC—BE=4-x»

设CD=y,

3x

0-----二—,

4-xy

整理得：y=^^=--x2+-x(0<x<4),

333

这是一个二次函数，二次项系数-g<0,图象开I」向下,

故选：B

10.如图，在V人AC中NA=6O。，BM工AC于点M,CNA.AB于点、N,P为BC中点，连接PM,PN,

现有以下结论：①MN•BC+BNCM=BMCN；②=二空；③△分用为等边三角形；④当

ABAC

N48c=45。时，桀=2-6.其中正确的个数为（）

CM

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】解：设4V=a,AM=b,MN=c,

0Z4=6O°,8M_LAC于点M,CNtAB于点、N.

l21ZABM=ZAC7V=3（r,

团AC=2AN=2a,AB=2AM=力，

AN1__________________

0—=^7：=T»CN7A（：2-AN2=&1，8M=，4了=4/二回，BN=AB-AN=2b-a,

/\UACZ

CM=AC-AM=2a-b,

故②正确；

0—=—=ZMAN=NBAC,

ABAC2

团△AMNszXABC,

AMMN\

0-----=------=—>

ABBC2

^BC=2MN=2c

0Rl^BCN中BN2+CN2=BC2，

团（26_4『+（岛）2=（24，

整理得/-a2-b2=ab，

^MNBC+BNCM=c2c+（2a-b）（2b-a）=2c2+5ab-2a2-2b2=3ab

0BMCN=x/3a--J^b=3ab>

@MNBC+BNCM=BMCN,

故①说法正确；

团P为BC中点，BMLAC,CNLAB,

田PM=[BC=PN=c=MN,

2

团APMN为等边三角形，

故③正确；

当ZA8C=45。时，ZABC=NBCN=45。,

的BN=CN,

^2b-a=6a,

整理得

2

rzV3+1

BM也bS'

0——=-------=-------卢——=2+J3,

CM2a-b73+1

2a------a

2

故④结论错误，

综上所述，正确的有①②③，共3个.

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.已知两个等边三角形的面积匕为3:4,那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比为.

【答案】6:2

【详解】团等边三角形的每个内角都是60。，

团等边三角形都相似，

团两个等边三角形的面积比为3:4,

团两个等边三角形的角平分线的长度的比的平方为3:4,

团两个等边三角形的角平分线的长度的比6:4=6：2,

故答案为：73:2.

12.如图，VABC,点。为边8c的中点，点E在边上，连接。石交C4延长线于点尸，若EF;DE=1:2,

A尸二4cm,则AC的长为；

F

A

BDC

【答案】16cm

【详解】解：如图，过。作DQ〃AC,

BC~AC9DEDQ'

0EF:DE=1:2,AF=4cm，

41

回/乂=8,

回点。为边区。的中点,

QD1

0—―=—,

AC2

团AC=16(cm),

故答案为：16cm

13."跳眼法"是炮兵常用的一种简易测距方法.如图，点4为左眼，点8为右眼，点。为右手大拇指，点

C为敌人的位置，点。为敌人正弁侧方的某一个参照物(CO||AB),已知大多数人的眼距长约为6.4cm,

而手臂长08约为64cm.若CO的估测长度为50m,那么OC的大致距离为m.

【答案】500

证明由相似三角形的性质得出警，则可得出答案.

ABCD

【详解】解：•.•CQ〃44,

:.AABg4DCO,

.OBCO

根据题意得，OB=64cm,AB=6.4cm,CD=50m,

但誓=5(X)m.

即CO的大致距离为500m.

故答案为：500.

14.如图，AABCSAADE,NBAC=NDAE=90,4?=3,AC=4点。在线段8c上运动，当点。从点

3运动到点C时,

（1）当40=1时，则CE=：

（2）设P为线段。石的中点，在点。的运动过程中，CP的最小值是

【答案】+42

【详解】解：（1）团△ABCs^AOE,

ABAC

团---=---,

ADAE

0ZRAC=ZmE=9O°,

...ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,

即ZBAD=ZCAE,

ABAC

0---=---,

ADAE

0&4BD^^ACE，

BDAB3

0---=---=—,

CEAC4

团匝＞=l,

4

0CE=-,

4

故答案为：p

(2)同△ADDUCE,

(21Z4BD=ZACE,

团NR4C=90。，

0Z4BD+ZACB=9O°.

国NAC8+NACE=90°，

团NDCE=90°,

团。为线段QK的中点，

⑦DP=PE,

0CP=-D£,

2

0A4BCs/^ADE,

,DEBC

'~AD~~AB'

AB

G1AD的值最小时.，OE的值最小，此时CP的值最小,

(3AB=3,AC=4,N84C=90。，

^BC=y/AB2+AC2=V32+42=5，

AR.ar3x4

根据垂线段最短可知，当A。/8c时，此时AO=受令===2.4,

oC5

ADBC2.4x5

回QE==4,

AB

团CP的最小值为，4=2,

故答案为：2.

三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.己知5=号=三，a-c=—]2,求白一2〃+3c的值.

4。J

【详解】解：设3=?=]=则a=24,b=32,c=53

/J

0^-c=-12，

团2A-5%=-12,

解得左=4,

[34=8,。=12,c=20,

同。-2b+女=8-2x12+3x20=44.

16.如图，V43C中，点。在边AC上，满足NA6C+N8D4=180。，若BC=6,C£>=4,求A。的长.

【详解】解：0zTA^C+ZZ?ZM=18O°,N3DC+N3DA=180。，

^ABDC=ZABC,

乂叵NC=NC,

Pl7s△4/JC,

mACBCHllAC6

BCCD64

04C=9,

^AD=AC-CD=5.

17.如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被

两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子NE长2米，乙灯照射的影子”/长3米，

已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯A8和CQ的高度相同，两路灯相距8。为15米，求路灯48的高.

杯、，奉

'V/

、W，

./仅___________

BFNED

【详解】解：由题意知：MN=1.6,EN=2,FN=3,BD=15,AB//MN//CD,

:心EMNs^EAR,^FMN^FCD,

,MNENMN_FN

~AB~~EB'~CD~~FD'

又・,・AB=CD,

ENFN

---=---,

EBFD

•2_3

,而-15+5-EB'

解得EB=8,

MNEN\.62

AB=6.4,

答:路灯AB的高为6.4米.

18.如图，在V4BC中，/。=90°,/48。的平分线8。交4。于点。，DELBD,交A4于点E.

B

⑴求证：AADES^ABD；

（2）若4c=8,3C=6,求线段AE长.

【详解】（1）证明：QW）是/A8C的角平分线,

:.ZABD=ZDBC,

⑦DE工BD,

^ZBDE=90°,

:.ZADE+ZBDC=90°,

□ZC=90°,

ZCBD+ZBDC=90°,

:.NCBD=ZADE,

:.NADE=NABD,

•/Z4=ZA,

1.△ADESAABD；

（2）解：如图所示，过点。作QH_LA8于〃，

B

在RtZ\A8C中，由勾股定理得知=>/2+喳=10,

QBO是-ABC的角平分线，DH1AB,ZC=9O0,

⑦CD=HD,

团SsABC~S)CD+S，

0—x6CD+—x10DH=—x6x8,

222

团CD=DH=3，

0/V>=5，

回△ADESA48£),

ADAE5AE

回n——=一,即HI1——二一,

ABAD105

^AE=-

2

19.如图，点E在平行四边形ABC。的边C。的延长线上，连接储交人。于点F.

(1)求证：AF:DF=AB:DE.

(2)若AF=2ED,求AA8尸与四边形BCDF的面枳比的值.

【详解】(1)证明：回四边形ABC。是平行四边形,

^AB//CD,

团AABFs△。斯，

ABAF

0----=-----,

DEDF

即AF:OF=MOE；

AB4尸

(2)解：^AF=2FD,AABFs^DEF,——=——,

DEDF

团丝=丝=2,

S,\DF)DEDF

回四边形ABC。是平行四边形，

团A8=CO,AD\\BC,

当旦2

DEDE

DE11

团---=----=—

CE1+23

团AD||8C,

中Z\EFDS/\EBC,

设工。M=。,

团S&CEB=9。，%A8F=4a，

回S]q边形HC”=S^CEB-S^DEF=9a-a=8a,

0AABF与四边形BCDF的面积比的值为4a：8。=1：2.

20.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,V人BC的顶点均在网格格点上，且点4(2,8),

⑴以原点。为位似中心，在第一象限画出△A&G，使得△A&G与VA8C位似，且位似比为1:2：

⑵在(1)的条件下，^4司G与VABC的面积比为；

⑶若点为VABC上一点，写出点M的对应点M'的坐标为.

【详解】(1)解：如图所示，AA4G即为所求.

（2）解:团与VAB。位似，且位似比为1:2；

团△/1,4Gs△ABC,相似比为1:2,

团皂屿=（耳」，

S"8c（2J4

即△A&G与7ABe的面积比为1:4.

故答案为：1:4.

（3）解：自△A4G与VA8C位似，且位似比为1:2；

团点M（a,b）为VA8C上一点，写巴点M的对应点M的坐标为.

故答案为：

21.如图，在矩形488中，点E为CZ）的中点，点G为AE的中点，点尸为BC上的一个动点，且尸G=3AE,

⑴求/A庄•的度数：

（2）求证：ZAFB=ZCEF；

（3）若A8=4,BC=6,求线段的长.

【详解】（1）解：0点G为4石的中点，FG^AE,

^FG=AG=EG=-AE,

2

0ZE4G=ZAFG,4FEG=4EFG,

0ZFAG+ZAFG+/FEG+/EFG=180°,

团2(ZAFG+ZEFG)=180°,

团Z4FG+NE有G=90°,BPZAFF=90°.

(2)证明：团四边形A88是矩形，

0ZI7-ZC-9O0.

[?1ZCFE+ZCEF=90°.

团N4M=90。，

0ZCFE+ZAFB=90°.

^ZAFB=ZCEF.

(3)解：0点E为C。的中点，AB=CD=4,

团CE=—CD=—x4=2.

22

0Zfi=ZC,ZAFB=/CEF,

□4ABFSAFCE.

ABBF

P.----------.

FCCE

设8产=不，贝1」/。二8。-8/二6—工，

4x

0--=-,

6-x2

解得岛=2,x2=4.

经检验，x,=2,々=4是原方程的解且符合题意.

团线段班'的长为2或4.

22.在VA8C中，。，石分别为AA4C的中点，尸为AC上一点，且N4FE=NA,过点。作0M〃所交AC

于点M.

⑴如图1,若EF=2,求AB的长;

(2)点G在他上，且"DG=/C,

①如图2,求证：ADEGSAECF；

②如图3,从线段CE上取一点〃，连接使NCFH=N8.若BG=l,求E”的长.

【详解】(1)证明：如图1:

团DE分别为AB/C的中点,

团OE〃AC,A8=2AD，

^DM//EF,

^ZAFE=ZAMD,OEEW是平行四边形,

田DM=EF=2,

^ZAFE=ZA,

0Z4MD=ZA.

回AD=DM=2,

回Afi=2AD=2x2=4.

(2)①证明：如图2：

回QE分别为A及BC的中点,

^\DE//AC,

^ZBDE=ZA,ZDEG=ZC,

^ZAFE=ZA,

^ZBDE-ZAFE,

团ZBDG+NGDE=NC+NFEC，

团血)G=/C,

⑦NGDE=/FEC,

团ADEGs^ECF；

②解：如图3：

图NBDG=NC=NDEB,NR=NR、

色△BDGSABED,

BDBGnn,

团而"访'即：BD-=BG.BE,

[?]Z4FE=ZA/CFH=/B,

(?lZC=I8()o-ZA-ZB=18()o-ZAFE-ZC/7/=ZE/77,

又0/FEH=Z.CEF,

同AEFHSAECF,

EHEF

团----=-----,

EFEC

田EF:EHEC，

^DE//ACtDM//EF,

团四边形DEFM是平行四边形，

团EF=DM=DA=BD,

田BGBE=EHEC,

团BE=EC»

OEH=BG=1.

23.已知点A在正方形ABC。内，点E在边人力上，8E是线段AA'的垂直平分线，连接A'E，A!B.

Ka:aC

B

图1图2图3

(1)如图1,若84的延长线经过点。，AE=\,求AB的长：

(2)如图2,点尸是AY的延长线与。