广东省广州铁一中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

广东省广州铁一中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（）A. B.C. D.2．已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（）A. B.C.4 D.83．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.4．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B.C. D.5．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”6．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A.8 B.10C.15 D.167．已知椭圆的离心率为，则（）A. B.C. D.8．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（）A.互斥 B.相互独立C.互为对立 D.互斥且独立9．直线的倾斜角为（）A.150° B.120°C.60° D.30°10．二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.11．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）A. B.C. D.12．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.48二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______14．等比数列中，，，则数列的公比为____.15．已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD面积为_____.16．已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（1）求椭圆的离心率；（2）如图所示，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的标准方程18．（12分）已知：对任意，都有；：存在，使得（1）若“且”为真，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围19．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由20．（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?22．（10分）已知为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据导数概念和几何意义判断【详解】由题意得，图象上某点处的切线斜率随增大而减小，满足要求的只有A故选：A2、D【解析】先求抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，由弦长公式可求的最小值.【详解】因为直线为抛物线的准线，故即，故抛物线方程为：.设直线，则，，而，当且仅当等号成立，故的最小值为8，故选：D.3、B【解析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：4、A【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A5、A【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.【详解】因，且，由临界值表知，，，所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.故选：A6、A【解析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A7、D【解析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.【详解】因为，则，所以.故选：D8、B【解析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解：因为，，又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立故选：B.9、D【解析】由斜率得倾斜角【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选：D10、B【解析】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集.【详解】因为二次方程的两根为2，，又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集为或，故选：B11、B【解析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B12、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4##【解析】根据正态分布曲线的对称性求解【详解】因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4.故答案为：0.414、【解析】根据等比数列的定义，结合已知条件，代值计算即可求得结果.【详解】因为是等比数列，设其公比为，又，，故可得，解得.故答案为：.15、【解析】根据椭圆的方程，求得顶点的坐标，结合菱形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，可得，所以椭圆与坐标轴的交点分别为，此时构成的四边形为菱形，则面积为.故答案为：.16、2036【解析】先用换底公式化简之后，将表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.【详解】当时，，所以，若满足正整数，则，即，所以在内的所有“幸福数”的和为：,故答案为：2036.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意得，进而求解离心率即可；（2）根据题意得圆心是线段的中点，且，易知斜率存在，设其直线方程为，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】解：过点的直线方程为，∴原点到直线的距离，由，得，解得离心率.【小问2详解】解：由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程，联立，得.设，则，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.18、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均为真命题，分别求得为真命题，为真命题时，实数的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“且”为真命题，所以，均为真命题若为真命题，则，解得；若为真命题，则，当且仅当，即时，等号成立，此时故实数的取值范围是；【小问2详解】解：若“或”为真，“且”为假，则，一真一假当真，假时，则得；当假，真时，则得故实数的取值范围为19、（1）（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点【解析】（1）根据题意证得平面，进而证得平面，得到平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设点，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式列出方程，求得的值，即可得到答案.【小问1详解】解：因为四边形为正方形，则，，由，，，所以平面，因为平面，所以，又由，，，所以平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，由平面，且，不妨以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，易得平面的法向量为，则，由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值【小问2详解】解：设点，可得，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以点到平面的距离为，解得，即或因为，所以故当点为线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为.20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用抛物线的定义即求；（2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理法结合条件可得，即得.【小问1详解】因为动点到点的距离等于点到直线的距离，所以动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，由，得，所以动点的轨迹方程为.【小问2详解】由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，.联立，得，恒成立，由韦达定理，得，，假设存在一点，满足题意，则直线的斜率与直线的斜率满足，即，所以，所以解得，所以存在一点，满足，点的坐标为.21、（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；乙分厂加工件产品的总利润为元，所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务【点睛】本