大题强化训练及变式训练（14）-（新高考九省联考题型）（解析版）

2024届大题强化训练及变式训练（14）1．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）67（分钟）（2）分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量的分布列，并利用数学期望公式求解.【解析】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：（分钟）（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人可能取值为：0，1，2则所以的分布列为：012.变式：某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100架新能源无人飞机单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为和的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程的概率；（参考数据：若随机变量，则）（3）该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型､卓越型和卓越型，统计分析可知卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例为，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）（3）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）由直方图中每个区间中点值乘以相应频率再相加可得；（2）根据正态分布的概率性质计算；（3）随机变量的可能取值为，分别求出其概率后得分布列，再由期望公式计算期望．【解析】（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：.（2），.（3）由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越A型､卓越型和卓越型的架数分别为3架､2架和1架，随机变量的可能取值为.，，随机变量的分布列如下表：0123.2．如图，在平面凸四边形中，.（1）求；（2）若，，求.【答案】（1）（2）4【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【解析】（1）由已知得：，故，所以．因为，故，由三角形内角范围知；（2）由，，故为边长为4的等边三角形，在中，，由正弦定理得，故，由于，所以，故，在中，由余弦定理得，即，得.变式：如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；(2)求的值及的长度.【答案】(1)(2)，【解析】（1）∵，，，，;（2），，，则.，，，，又，在中，由正弦定理可知，.3．已知函数，（1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围；（2）当时，求的极值点．【答案】（1）（2）答案见解析.【分析】（1）先由在定义域内是减函数得出对于，恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出，即可解答.（2）分和两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数的单调性即可求解.【解析】（1）由可得：函数定义域为，.因为在定义域内是减函数，所以对于，恒成立，即对于，恒成立.则对，恒成立.因为，所以，当且仅当时等号成立，则，所以故a的取值范围为.（2）因为，，所以当时，，则函数上单调递增，此时无极值点；当时，方程的判别式，方程两根为，.令，解得；令，解得或，则函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为，极大值点为.综上可得：当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，极大值点为.变式：已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若有三个极值点，求正数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）根据题意，求导得，然后分，与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，求导可得，然后将极值点问题转化为方程根问题，再构造函数求导，即可得到结果.【解析】（1），则当时，的两根为.①若在上单调递增；②若，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③若，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，无单调减区间，单调增区间为；当时，单调减区间为，单调增区间为和；当时，单调减区间为，单调增区间为和.（2）根据题意可知，函数的定义域为，则，由函数有三个极值点可知在上至少有三个实数根；显然，则需方程，也即有两个不等于3的不相等的实数根；由可得，令，则，显然当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；所以，画出函数与函数在同一坐标系下的图像，由图可得且时，在上有两个不等于3的相异的实数根，经检验可知当时，导函数在左右符号不同，即均是的变号零点，满足题意；因此实数的取值范围是.4．已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.【答案】（1）（2）是定值，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，解方程求出，再结合，即可得出答案.（2）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值.【解析】（1）依题意可知，由于，则直线的方程为，因为点到直线的距离为.所以，解得，所以，则，所以椭圆的标准方程.（2）设，直线的方程为.此时.联立直线与椭圆方程消去得，则有不妨设，因为三点共线，则，所以则有，因为三点共线，则则有，所以，所以，所以，所以，所以.变式：设异面直线与所成的角为，公垂线段为，且，、分别直线m、n上的动点，且，为线段中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程．（1）请根据自己建立的平面直角坐标系求出．（2）为的任意内接三角形，点为的外心，若直线的斜率存在，分别为，，，，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）过作直线，求出点在直线确定的平面上的投影与点的距离，再建立坐标系，求出轨迹方程.（2）设出点的坐标，及以点为圆心的圆的方程，利用点差法借助斜率坐标公式推理计算即得.【解析】（1）过作直线，则直线的夹角为，令它们确定的平面为，有，过作，交直线于点，连接，于是，而，则，取的中点，而是线段的中点，连接，则，，显然四边形为矩形，，而，因此，点在移动过程中，点到平面的距离，于是点轨迹所在平面平行于，点轨迹与点的轨迹形状完全相同，在平面内以直线相交构成的两组对顶角的平分线为坐标轴，建立平面直角坐标系，其中轴与直线都成，令直线的方程分别为，设，则，即，由，得，于是，即，所以方程为.（2）设，则，显然中任意两个都不相等，否则外心在轴上，直线斜率不存在，即，设的外接圆方程为，得，两式相减得，由，得，则有，同理，两式相减得：，则因此，所以，即为定值.5．若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.（1）判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.【答案】（1）不是“”数列（2），（3），证明见解析【分析】（1）根据“数列”的定义进行判断，说明理由；（2）根据是首项为2的“数列”，求出，由是等比数列，设公比为，由，可得，作差可得，利用前三项数列，可以求解和，进而求解等比数列的通项公式；（3）根据题意构造函数，求导并判断在上单调递增，由是“数列”与，反复利用，可得对于任意的，,进而得到，推出，再利用在上单调递增，得到，通过已知条件变形推出.【解析】（1）根据“数列”的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，所以不是“数列”.（2）由是首项为的“数列”，则，，由是等比数列，设公比为，由，则，两式作差可得，即由是“数列”，则，对于恒成立，所以，即对于恒成立，则，即，解得，，，又由，，则，即故所求的，数列的通项公式（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是“数列”，即，对于恒成立，因为，则，再结合，反复利用，可得对于任意，,则，即，则，即，，，，相加可得，则,又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.变式：定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”.(1)已知等比数列满足：，求证:数列为“－数列”；(2)已知数列{bn}满足:，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“－数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．【答案】见解析【解析】(1)设等比数列的公比为，所以，由，得，解得．因此数列为“M—数列”.(2)①